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人教A版高中数学必修2同步检测第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.2平面与平面垂直的判定A级 基础巩固一、选择题1．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角( )A．相等 B．互补C．不确定D．相等或互补答案：C2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β解析：因为m∥n，n⊥β，所以m⊥β.又m⊂α，所以α⊥β.答案：C3．如图所示，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角BPAC的大小为( )A．90° B．60° C．45° D．30°解析：因为PA⊥平面ABC，BA⊂平面ABC，CA⊂平面ABC，8
人教A版高中数学必修2同步检测所以BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC为二面角BPAC的平面角，又∠BAC＝90°.答案：A4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体ABCD，则在几何体ABCD中，下列结论正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC.答案：D5．已知m，n为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列命题中正确的是( )A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α⊥γ，β⊥γ⇒α∥βC．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nD．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m⇒n⊥β解析：α∥β，m⊥α⇒m⊥β，n∥β⇒m⊥n.答案：C二、填空题8
人教A版高中数学必修2同步检测6.如图所示，检查工作的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是________．解析：如图，因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊂β，OC⊂β且OB∩OC＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β.又OA⊂α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.答案：面面垂直的判定定理7．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．解析：可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°.答案：45°8.如图所示，在三棱锥SABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝1，SA＝，则二面角SBCA的大小为________．解析：如图所示，取BC的中点O，连接SO，AO.8
人教A版高中数学必修2同步检测因为AB＝AC，O是BC的中点，所以AO⊥BC，同理可证SO⊥BC，所以∠SOA是二面角SBCA的平面角．在△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝60°，AB＝1，所以AO＝1·sin60°＝.同理可求SO＝.又SA＝，所以△SOA是等边三角形，所以∠SOA＝60°，所以二面角SBCA的大小为60°.答案：60°三、解答题9.在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：面A1CD1⊥面C1BD.证明：因为ABCDA1B1C1D1为正方体，所以AC⊥BD，因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥BD.又因为AA1∩AC＝A，所以BD⊥平面ACA1，又因为A1C⊂平面ACA1，所以BD⊥A1C，同理BC1⊥A1C，因为BD∩BC1＝B，所以A1C⊥平面C1BD，因为A1C⊂平面A1CD1，8
人教A版高中数学必修2同步检测所以面A1CD1⊥面C1BD.10．如图所示，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC的中点．(1)证明SO⊥平面ABC；(2)求二面角ASCB的余弦值．(1)证明：如图所示，由题设AB＝AC＝SB＝SC＝SA.连接OA，△ABC为等腰直角三角形，所以OA＝OB＝OC＝SA，且AO⊥BC.又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，且SO＝SA.从而OA2＋SO2＝SA2，所以△SOA为直角三边形，SO⊥AO.又AO∩BC＝O，所以SO⊥平面ABC.(2)解：取SC的中点M，连接AM，OM.由(1)知SO＝OC，SA＝AC，得OM⊥SC，AM⊥SC.所以∠OMA为二面角ASCB的平面角．由AO⊥BC，AO⊥SO，SO∩BC＝O，得AO⊥平面SBC.8
人教A版高中数学必修2同步检测所以AO⊥OM.又AM＝SA，AO＝SA，故sin∠AMO＝＝＝.所以二面角ASCB的余弦值为.B级 能力提升1．在空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么有( )A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC解析：因为AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，所以AD⊥平面DBC.又因为AD⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面DBC.答案：D2．矩形ABCD的两边AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝，则二面角ABDP的度数为________．解析：过点A作AE⊥BD，连接PE，则∠AEP为所求角．因为由AB＝3，AD＝4知BD＝5，又AB·AD＝BD·AE，所以AE＝.8
人教A版高中数学必修2同步检测所以tan∠AEP＝＝.所以∠AEP＝30°.答案：30°3．(2015·课标全国Ⅰ卷节选)如图所示，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.证明：平面AEC⊥平面AFC.证明：连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝.在Rt△FDG中，可得FG＝.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF8
人教A版高中数学必修2同步检测＝.从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.8
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