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2．3．2 平面与平面垂直的判定课时分层训练1．从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是( )A．60° B．120°C．60°或120°D．不确定解析：选C 若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.2．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有( )A．α⊥γ且l⊥mB．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥mD．α∥β且α⊥γ解析：选A B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．3．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是( )A．α⊥γ，β⊥γB．α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC．a∥β，a∥αD．a∥α，a⊥β解析：选D 由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β.4．下列命题中正确的是( )A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥βC．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥βD．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β解析：选C 当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确．5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值为( )A.B.C.D.解析：选C 如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD的中点，
∵A1D＝A1B，∴在△A1BD中，A1O⊥BD.又∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∴∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角．设AA1＝1，则AO＝.∴tan∠A1OA＝＝.6．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫做x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．解析：由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．答案：平行7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是________(填“垂直”或“不垂直”)．解析：如图，在正方体中，CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD.又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，∴BD⊥平面AA1C1C.又BD⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面AA1C1C.答案：垂直8．若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角P－BC－A的大小为________．解析：如图，取BC的中点O，连接OA，OP，则∠POA为二面角P－BC－A的平面角，OP＝OA＝，PA＝，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.答案：90°9．如图，在圆锥PO中，AB是⊙O的直径，C是上的点，D为AC的中点．证明：平面POD⊥平面PAC.
证明：如图，连接OC，因为OA＝OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD.又PO⊥底面ABC，AC⊂底面ABC，所以AC⊥PO.因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD.又AC⊂平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.10．如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小．解：∵E为SC中点，且SB＝BC，∴BE⊥SC.又DE⊥SC，BE∩DE＝E，∴SC⊥平面BDE，∴BD⊥SC.又SA⊥平面ABC，可得SA⊥BD.又SC∩SA＝S，∴BD⊥平面SAC，从而BD⊥AC，BD⊥DE，∴∠EDC为二面角E－BD－C的平面角．设SA＝AB＝1.在△ABC中，∵AB⊥BC，∴SB＝BC＝，AC＝，∴SC＝2.在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，∴∠EDC＝60°，即二面角E－BD－C为60°.1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，则下列说法正确的是( )A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m解析：选A ∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．2．(2019·河南名校联盟联考)设点P是正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1的中点，平面α过点P，且与直线BD1垂直，平面α∩平面ABCD＝m，则m与A1C所成角的余弦值为( )A.B.
C.D.解析：选B 由题意知，点P是正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1的中点，平面α过点P，且与直线BD1垂直，平面α∩平面ABCD＝m，根据面面平行的性质，可得m∥AC，所以直线m与A1C所成角即为直线AC与直线A1C所成的角，即∠ACA1为直线m与A1C所成角，在Rt△ACA1中，cos∠ACA1＝＝＝，即m与A1C所成角的余弦值为，故选B.3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.在翻折的过程中，可能成立的结论是( )A．①③B．②③C．②④D．③④解析：选B 对于①，因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，故①不可能成立；对于②，如图，设点D的在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时，有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，故②可能成立；对于③，当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，故③可能成立；对于④，因为点D的射影不可能在FC上，故④不可能成立．故选B.4．如图，在四面体P－ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中不一定成立的是( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDF⊥平面ABC解析：选D 因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立．又E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE.因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立．又DF⊂平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，C成立．要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，则必须有AE⊥PD或AE⊥PF
，由条件知此垂直关系不一定成立，故选D.5．正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成角为60°，则该四棱锥的高为________．解析：如图，过点S作SO⊥平面ABCD，连接OC，则∠SCO＝60°，∴SO＝sin60°·SC＝×2＝3.答案：36．已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则二面角D－BC－A的大小为________．解析：如图，由题意知AB＝AC＝BD＝CD＝，BC＝AD＝2.取BC的中点E，连接DE，AE，则AE⊥BC，DE⊥BC，所以∠DEA为所求二面角的平面角．易得AE＝DE＝，又AD＝2，所以∠DEA＝90°.答案：90°7．如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成角的正弦值是________．解析：如图，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，则OC⊥l.设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ，由图得sinθ＝＝·＝sin30°·sin60°＝.答案：8．已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD＝O.将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC＝a，得到三棱锥A－BCD，如图．(1)当a＝2时，求证：AO⊥平面BCD.
(2)当二面角A－BD－C的大小为120°时，求二面角A－BC－D的正切值．解：(1)证明：在△AOC中，AC＝a＝2，AO＝CO＝.∴AC2＝AO2＋CO2，∴AO⊥CO.∵AO⊥BD，BD∩CO＝O，∴AO⊥平面BCD.(2)折叠后，BD⊥AO，BD⊥CO，∴∠AOC是二面角A－BD－C的平面角，即∠AOC＝120°.在△AOC中，AO＝CO＝，∴AC＝.如图，过点A作CO的垂线交线段CO的延长线于点H.∵BD⊥CO，BD⊥AO，CO∩AO＝O，∴BD⊥平面AOC.∵AH⊂平面AOC，∴BD⊥AH.又∵CO⊥AH，CO∩BD＝O，∴AH⊥平面BCD.∴AH⊥BC.过点A作AK⊥BC，垂足为K，连接HK.∵AK∩AH＝A，∴BC⊥平面AHK.∵HK⊂平面AHK，∴BC⊥HK.∴∠AKH为二面角A－BC－D的平面角．在△AHO中，AH＝，OH＝，∴CH＝CO＋OH＝＋＝.在Rt△CKH中，HK＝CH＝.在Rt△AHK中，tan∠AKH＝＝＝.∴二面角A－BC－D的正切值为.
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