资料简介
2.3.2 平面与平面垂直的判定【课时目标】 1．掌握二面角的概念，二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小．2．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理判定两个平面垂直．1．二面角：从一条直线出发的________________所组成的图形叫做二面角．________________叫做二面角的棱．________________________叫做二面角的面．2．二面角的平面角如图：在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为________，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的________叫做二面角的平面角．3．平面与平面的垂直(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是________________，就说这两个平面互相垂直．(2)面面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的________，则这两个平面垂直．符号表示：⇒α⊥β．一、选择题1．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是( )A．①③B．②④C．③④D．①②2．下列命题中正确的是( )A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥βC．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥βD．若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β3．设有直线M、n和平面α、β，则下列结论中正确的是( )①若M∥n，n⊥β，M⊂α，则α⊥β；②若M⊥n，α∩β＝M，n⊂α，则α⊥β；③若M⊥α，n⊥β，M⊥n，则α⊥β．A．①②B．①③C．②③D．①②③4．过两点与一个已知平面垂直的平面( )A．有且只有一个B．有无数个C．有且只有一个或无数个D．可能不存在5．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝
，则二面角B－AC－D的余弦值为( )A．B．C．D．6．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )A．BC∥面PDFB．DF⊥面PAEC．面PDF⊥面ABCD．面PAE⊥面ABC二、填空题7．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．8．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．9．已知α、β是两个不同的平面，M、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①M⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④M⊥α．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________________．三、解答题10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．求证：平面BEF⊥平面BGD．11．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝．(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A—BE—P的大小．
能力提升12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．(1)求证：BC⊥平面PAC．(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．1．证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
2．利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据并有利于证明，不能随意添加．3．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的的．2．3．2 平面与平面垂直的判定答案知识梳理1．两个半平面 这条直线 这两个半平面2．垂足 ∠AOB3．(1)直二面角 (2)垂线 a⊂α作业设计1．B [①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角．故选B．]2．C3．B [②错，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直．]4．C [当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．]5．B [如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角．∵DO＝OB＝BD＝，∴∠BOD＝60°．]6．C [如图所示，∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF．∴A正确．由BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE．∴DF⊥平面PAE．∴B正确．∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．∴D正确．]7．45°解析 可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°．8．5解析 由PA⊥面ABCD知面PAD⊥面ABCD，面PAB⊥面ABCD，又PA⊥AD，PA⊥AB且AD⊥AB，
∴∠DAB为二面角D—PA—B的平面角，∴面DPA⊥面PAB．又BC⊥面PAB，∴面PBC⊥面PAB，同理DC⊥面PDA，∴面PDC⊥面PDA．9．①③④⇒②(或②③④⇒①)10．证明 ∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC，∴AC⊥平面BGD．又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．∵EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD．11．(1)证明 如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．又AB∥CD，所以BE⊥AB．又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB．又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．(2)解 由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE．又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝，则∠PBA＝60°．故二面角A—BE—P的大小是60°．12．证明 (1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC．因为EF⊄平面ABC．BC⊂平面ABC．所以EF∥平面ABC．(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1．又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．(1)证明 ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC．又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC．(2)解 ∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC．又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE．∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°．∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．
查看更多
