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课后导练基础达标1Rt△ABC在平面α内的射影是△A1B1C1，设直角边AB∥α，则△A1B1C的形状为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上三种情况都有可能解析：设∠B为直角，由条件知AB∥α,由线面平行的性质知AB∥A1B1，又BC⊥AB，∴BC⊥A1B1，又知BB1⊥α,∴BB1⊥A1B1,∴A1B1⊥面BB1C，∴A1B1⊥B1C，∴△A1B1C为直角三角形.答案：A2设有直线m,n和平面α、β，则下列命题中，正确的是（）A.若m∥n,mα,nβ,则α∥βB.若m⊥α,m⊥n,nβ,则α∥βC.若m∥n,n⊥β,mα,则α⊥βD.若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β解析：A错，当α与β相交时，也有可能m∥n且mn,nβ;B错，当α∩β=n时，也满足条件；C对，因为m∥n,n⊥β,∴m⊥β,又mα,∴α⊥β;D错，因为m∥n,m⊥α,∴n⊥α,又n⊥β,∴α∥β.答案：C3关于直线a,b,l以及平面α、β，下列命题中正确的是（）A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a∥α,b⊥a,则b⊥αC.若aα,bα,且l⊥a,l⊥b,则l⊥αD.若a⊥α,a∥β,则α⊥β解析：A错.满足条件的a,b可平行，可相交也可异面；B错，例如，正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥面ABCD且A1D1⊥A1B，但A1B与面ABCD不垂直；C错，若a与b相交，则l⊥α,否则l不一定垂直α;D对.答案：D4(2006广东，5)给出以下四个命题，其中真命题的个数是（）①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直.A.4B.3C.2D.1解析：①②④正确.①线面平行的性质定理；②线面垂直的判定定理；③这两条直线可能相交或平行；④面面垂直的判定定理.答案：B5空间四边形ABCD中，若AD⊥BC,BD⊥AD，那么有（）
A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ABC⊥平面ADBC.平面ABC⊥平面DBCD.平面ADC⊥平面DBC解析：∵AD⊥BC,BD⊥AD,BC∩BD=B,∴AD⊥面BCD.又AB面ADC，∴面ADC⊥面BCD，故选D.答案：D6如图所示，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，则图中互相垂直的平面共有（）A.3对B.4对C.5对D.6对解析：∵PA⊥面ABCD，且PA面PAB，PA面PAD，PA面PAC，∴面PAB和面PAC和面PAD都与面ABCD垂直，又AD⊥PA，AD⊥AB，∴AD⊥面PAB，又AD面PAD，∴面PAB⊥面PAD，同理可证面PBC⊥面PAB，面PCD⊥面PAD.答案：D7如图，P是二面角α-AB-β的棱AB上一点，分别在α、β上引射线PM、PN,截PM=PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，则二面角α-AB-β的大小是_________________.解析：过M在α作MO⊥AB于点O，连NO，设PM=PN=a,又∠BPM=∠BPN=45°,∴△OPM≌△OPN，∴ON⊥AB，∴∠MON为所求二面角的平面角，连MN，∵∠MPN=60°,∴MN=a，又MO=NO=a,∴MO2+NO2=MN2.∴∠MON=90°.答案：90°8如图，已知∠BSC=90°，∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC，求证：平面ABC⊥平面SBC.
证法一：利用定义证明：∵∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC,∴△ASB和△ASC是等边三角形，则有SA=SB=SC=AB=AC，令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形，取BC的中点D，连AD、SD则AD⊥BC，SD⊥BD，所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角，在Rt△BSC中，∵SB=SC=a,∴SD=a,BD=a，在△ADS中，AD=a，∵SD2+AD2=SA2,∴∠ADS=90°,即二面角A-BC-S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.证法二：利用判定定理∵SA=AB=AC,∴点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心，∵△BSC为直角三角形，∴A在△BSC上的射影D为斜边BC的中点，∴AD⊥平面SBC，又∵平面ABC过AD，∴平面ABC⊥平面SBC.综合应用9已知：m、l为直线,α,β为平面,给出下列命题：①若l垂直于α内的两条相交直线,则l⊥α②若l平行于α,则l平行于α内的所有直线③若mα,lβ,且l⊥m,则α⊥β④若lβ,且l⊥α,则α⊥β⑤若mα,lβ,且α∥β,则m∥l其中正确命题的序号是_________.解析：由直线与平面垂直的判定定理知，①正确；
对于②，若l∥α,mα,则l与m可能平行，也可能是异面直线，故②不正确；对于③，满足题设的平面α、β有可能平行或相交（但不垂直），不能推出α⊥β,故③是错误的；由面面垂直的判定定理知，④是正确的；对于⑤，m与l可能平行，也可能是异面直线，故⑤是错误的.故正确的命题是①④.∴应填①④.答案：①④10在正方体ABCD-A1B1C1D1中，找一个平面与平面DA1C1垂直，则该平面是________（写出满足条件的一个平面即可）.解析：连结AD1，在正方形ADD1A1中，AD1⊥A1D，又AB⊥面ADD1A1，A1D面ADD1A1,∴AB⊥A1D，又AD1∩AB=A,∴A1D⊥面ABD1，又A1D面DA1C1，故平面ABD1⊥平面DA1C1.答案：平面ABD1（注：凡平面内有直线BD1的皆可）11如图，在空间四边形ABCD中，AB=CB,AD=CD,E、F、G分别是AD、DC、CA的中点，求证：平面BEF⊥平面BDG.证明：连结E，F，∵E,F分别为AD，DC中点，∴EF∥AC，又∵AB=BC，AD=CD，G为中点，∴DG⊥AC，BG⊥AC,∴EF⊥DG，EF⊥BG，又BG∩DG=G,∴EF⊥面BDG，又∵EF面BEF.故平面BEF⊥平面BDG.拓展探究12如图所示，已知P是边长为a的菱形ABCD所在平面外一点，∠ABC=60°，PC⊥平面ABCD，PC=a,E为PA的中点.
(1)求证：平面EDB⊥平面ABCD；(2)求二面角A-EB-D的正切值.证明：（1）设AC∩BD=O,则O为AC中点，又∵E为PA中点，∴EO∥PC,又∵PC⊥面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，又知EO面EDB，故平面EDB⊥平面ABCD（2）由（1）知EO⊥AO，又知四边形ABCD为菱形，∴AO⊥BD,又BD∩EO=O，∴AO⊥面BDE，过O作OF⊥BE于点F，又AO⊥BE，AO∩OF=O，∴BE⊥面AOF，∴BE⊥AF，∴∠AFO为所求二面角的平面角.由BC=AB=a,∠ABC=60°知AC=a,BO=a,又EO=PC=a,∴BE==a,∴OF=a,又AO=a,在Rt△AOF中，tanAFO=,故二面角A-EB-D的正切值为.
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