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2.3.1直线与平面垂直的判定A级 基础巩固一、选择题1．已知平面α及α外一条直线l，给出下列命题：①若l垂直于α内两条直线，则l⊥α；②若l垂直于α内所有直线，则l⊥α；③若l垂直于α内任意一条直线，则l⊥α；④若l垂直于α内两条平行直线，则l⊥α.其中，正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2D．3解析：根据直线与平面垂直的定义可知，②③正确，①④不正确．答案：C2.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )A．60°B．45°C．30°D．120°解析：∠ABO是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝，即∠ABO＝60°.答案：A3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )A．平面DD1C1CB．平面A1DB1
C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB解析：因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，所以AD1⊥平面A1DB1.答案：B4.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是( )A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直解析：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．答案：C5.如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数是( )A．1B．2C．3D．4解析：⇒⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，所以直角三角形有△PAB，△PAC，△ABC，△PBC.答案：D二、填空题6．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则直线l和三角形的第三边AB的位置关系是________．解析：因为l⊥AC，l⊥BC，且AC∩BC＝C，所以l⊥平面ABC.又AB⊂平面ABC，故l⊥AB.答案：垂直
7．已知正三棱锥SABC的所有棱长都相等，则SA与平面ABC所成角的余弦值为________．解析：因为SABC为正三棱锥，所以设点S在底面ABC上的射影为△ABC的中心O，连接SO，AO，如图所示，则∠SAO为SA与底面ABC所成的角，设三棱锥的棱长为a，在Rt△SOA中，AO＝·asin60°＝a，SA＝a，所以cos∠SAO＝＝.答案：8．如图所示，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________．解析：因为EA⊥α，CD⊂α，根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.同样，因为EB⊥β，CD⊂β，则有EB⊥CD.又EA∩EB＝E，所以CD⊥平面AEB.又因为AB⊂平面AEB，所以CD⊥AB.答案：垂直三、解答题9．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证：B1O⊥平面PAC.证明：连接AB1，CB1，D1B1，OP，
PB1，BD，设AB＝1.所以AB1＝CB1＝D1B1＝.因为O为正方形ABCD的中心，所以AO＝CO，所以B1O⊥AC.因为OB＝OB2＋BB＝，PB＝PD＋B1D＝，OP2＝PD2＋DO2＝，所以OB＋OP2＝PB，所以B1O⊥PO.又因为PO∩AC＝O，所以B1O⊥平面PAC.10．如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.证明：因为AD⊥平面ABE，AD∥BC，所以BC⊥平面ABE.又AE⊂平面ABE，所以AE⊥BC.因为BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，所以AE⊥BF.又因为BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，所以AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，所以AE⊥BE.B级 能力提升1．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( )A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在解析：若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．答案：B
2．在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中点，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．解析：如图所示，取BC的中点E，连接DE，AE，则AE⊥平面BB1C1C.所以AE⊥DE，因此AD与平面BB1C1C所成角即为∠ADE，设AB＝a，则AE＝a，DE＝，有tan∠ADE＝，所以∠ADE＝60°.答案：60°3．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1.(1)求证：AB1⊥平面A1BC1.(2)若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值．(1)证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，所以AB1⊥BA1.由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面AA1B1B.又因为AB1⊂平面AA1B1B，所以A1C1⊥AB1.又因为BA1∩A1C1＝A1，所以AB1⊥平面A1BC1.(2)解：连接A1D.设AB＝AC＝AA1＝1，因为AA1⊥平面A1B1C1，所以∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角．在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边的中点，
所以A1D＝×B1C1＝.在Rt△A1DA中，AD＝＝.所以sin∠A1DA＝＝，即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为.
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