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课时达标检测(三十九)直线、平面垂直的判定与性质[练基础小题——强化运算能力]1.若m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题正确的是(  )A.若m⊂β,α⊥β,则m⊥αB.若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥βC.若m⊥β,m∥α,则α⊥βD.若α⊥γ,α⊥β,则β⊥γ解析:选C A中m与α的位置关系不确定,故错误;B中α,β可能平行或相交,故错误;由面面垂直的判定定理可知C正确;D中β,γ平行或相交,故错误.2.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,则四面体PABC中共有直角三角形个数为(  )A.4B.3C.2D.1解析:选A 由PA⊥平面ABC可得△PAC,△PAB是直角三角形,且PA⊥BC.又∠ABC=90°,即AB⊥BC,所以△ABC是直角三角形,且BC⊥平面PAB,又PB⊂平面PAB,所以BC⊥PB,即△PBC为直角三角形,故四面体PABC中共有4个直角三角形.3.如图,PA⊥⊙O所在平面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,AE⊥PC,AF⊥PB,给出下列结论:①AE⊥BC;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC,其中正确的结论有________.解析:①AE⊂平面PAC,BC⊥AC,BC⊥PA⇒AE⊥BC,故①正确;②AE⊥PC,AE⊥BC,PB⊂平面PBC⇒AE⊥PB,AF⊥PB,EF⊂平面AEF⇒EF⊥PB,故②正确;③AF⊥PB,若AF⊥BC⇒AF⊥平面PBC,则AF∥AE与已知矛盾,故③错误;由①可知④正确.答案:①②④4.设a,b为不重合的两条直线,α,β为不重合的两个平面,给出下列命题:①若a∥α且b∥α,则a∥b;②若α⊥β,则一定存在平面γ,使得γ⊥α,γ⊥β;③若α⊥β,则一定存在直线l,使得l⊥α,l∥β.上面命题中,所有真命题的序号是________.解析:①中a与b可能相交或异面,故①是假命题.②中存在γ,使得γ与α,β都垂直,故②是真命题.③中只需直线l⊥α且l⊄β就可以,故③是真命题.6/6 答案:②③[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1.设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则能得出a⊥b的是(  )A.a⊥α,b∥β,α⊥βB.a⊥α,b⊥β,α∥βC.a⊂α,b⊥β,α∥βD.a⊂α,b∥β,α⊥β解析:选C 对于C项,由α∥β,a⊂α可得a∥β,又b⊥β,得a⊥b,故选C.2.如图,O是正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线中与B1O垂直的是(  )A.A1DB.AA1C.A1D1D.A1C1解析:选D 连接B1D1(图略),则A1C1⊥B1D1,根据正方体特征可得BB1⊥A1C1,故A1C1⊥平面BB1D1D,B1O⊂平面BB1D1D,所以B1O⊥A1C1.3.如图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在(  )A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部解析:选A 连接AC1(图略),由AC⊥AB,AC⊥BC1,得AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平面ABC,∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.4.设a,b,c是空间的三条直线,α,β是空间的两个平面,则下列命题中,逆命题不成立的是(  )A.当c⊥α时,若c⊥β,则α∥βB.当b⊂α时,若b⊥β,则α⊥βC.当b⊂α,且c是a在α内的射影时,若b⊥c,则a⊥bD.当b⊂α,且c⊄α时,若c∥α,则b∥c解析:选B A的逆命题为:当c⊥α时,若α∥β,则c⊥β.由线面垂直的性质知c⊥β,故A正确;B的逆命题为:当b⊂α时,若α⊥β,则b⊥β,显然错误,故B错误;C的逆命题为:当b⊂α,且c是a在α内的射影时,若a⊥b,则b⊥c.由三垂线逆定理知b⊥c,故C正确;D的逆命题为:当b⊂α,且c⊄α时,若b∥c,则c∥α.由线面平行判定定理可得c∥α,故D正确.5.如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°6/6 .将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥ABCD,则在三棱锥ABCD中,下列结论正确的是(  )A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC解析:选D ∵在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,故CD⊥平面ABD,则CD⊥AB.又AD⊥AB,AD∩CD=D,AD⊂平面ADC,CD⊂平面ADC,故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC,∴平面ADC⊥平面ABC.6.如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为(  )A.B.1C.D.2解析:选A 设B1F=x,因为AB1⊥平面C1DF,DF⊂平面C1DF,所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1=,设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h,则DE=h.又2×=h,所以h=,DE=.在Rt△DB1E中,B1E==.由面积相等得×=x,得x=.二、填空题7.如图,在三棱锥DABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的有________(写出全部正确命题的序号).①平面ABC⊥平面ABD;②平面ABD⊥平面BCD;③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE;④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE.解析:由AB=CB,AD=CD知AC⊥DE,AC⊥BE,从而AC⊥平面BDE,所以平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE,故③正确.6/6 答案:③8.如图所示,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析:如图,连接AC,BD,则AC⊥BD,∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BD.又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC,∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.答案:DM⊥PC(或BM⊥PC等)9.设l,m,n为三条不同的直线,α为一个平面,给出下列命题:①若l⊥α,则l与α相交;②若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α;③若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α;④若l∥m,m⊥α,n⊥α,则l∥n.其中正确命题的序号为________.解析:①显然正确;对于②,只有当m,n相交时,才有l⊥α,故②错误;对于③,由l∥m,m∥n,得l∥n,由l⊥α,得n⊥α,故③正确;对于④,由l∥m,m⊥α,得l⊥α,再由n⊥α,得l∥n,故④正确.答案:①③④10.(2016·兰州质检)如图,在直角梯形ABCD中,BC⊥DC,AE⊥DC,且E为CD的中点,M,N分别是AD,BE的中点,将三角形ADE沿AE折起,则下列说法正确的是________.(写出所有正确说法的序号)①不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN∥平面DEC;②不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN⊥AE;③不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN∥AB;④在折起过程中,一定存在某个位置,使EC⊥AD.解析:由已知,在未折叠的原梯形中,AB∥DE,BE∥AD,所以四边形ABED为平行四边形,所以BE=AD,折叠后如图所示.①过点M作MP∥DE,交AE于点P,连接NP.因为M,N分别是AD,BE的中点,所以点P为AE的中点,故NP∥EC.又MP∩NP=P,DE∩CE=E,所以平面MNP∥平面DEC,故MN∥平面DEC,①正确;②6/6 由已知,AE⊥ED,AE⊥EC,所以AE⊥MP,AE⊥NP,又MP∩NP=P,所以AE⊥平面MNP,又MN⊂平面MNP,所以MN⊥AE,②正确;③假设MN∥AB,则MN与AB确定平面MNBA,从而BE⊂平面MNBA,AD⊂平面MNBA,与BE和AD是异面直线矛盾,③错误;④当EC⊥ED时,EC⊥AD.因为EC⊥EA,EC⊥ED,EA∩ED=E,所以EC⊥平面AED,AD⊂平面AED,所以EC⊥AD,④正确.答案:①②④三、解答题11.如图,四棱锥PABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.求证:(1)AP∥平面BEF;(2)BE⊥平面PAC.证明:(1)设AC∩BE=O,连接OF,EC,如图所示.由于E为AD的中点,AB=BC=AD,AD∥BC,所以AE∥BC,AE=AB=BC,因此四边形ABCE为菱形,所以O为AC的中点.又F为PC的中点,因此在△PAC中,可得AP∥OF.又OF⊂平面BEF,AP⊄平面BEF.所以AP∥平面BEF.(2)由题意知ED∥BC,ED=BC.所以四边形BCDE为平行四边形,因此BE∥CD.又AP⊥平面PCD,所以AP⊥CD,因此AP⊥BE.因为四边形ABCE为菱形,所以BE⊥AC.又AP∩AC=A,AP,AC⊂平面PAC,所以BE⊥平面PAC.12.如图所示,已知长方体ABCDA1B1C1D1,点O1为B1D1的中点.(1)求证:AB1∥平面A1O1D;6/6 (2)若AB=AA1,在线段BB1上是否存在点E使得A1C⊥AE?若存在,求出;若不存在,说明理由.解:(1)证明:如图1所示,连接AD1交A1D于点G,∴G为AD1的中点,连接O1G,在△AB1D1中,∵O1为B1D1的中点,∴O1G∥AB1.∵O1G⊂平面A1O1D,且AB1⊄平面A1O1D,∴AB1∥平面A1O1D.(2)若在线段BB1上存在点E使得A1C⊥AE,连接A1B交AE于点M,如图2所示.∵BC⊥平面ABB1A1,AE⊂平面ABB1A1,∴BC⊥AE.又∵A1C∩BC=C,且A1C,BC⊂平面A1BC,∴AE⊥平面A1BC.∵A1B⊂平面A1BC,∴AE⊥A1B.在△AMB和△ABE中,∠BAM+∠ABM=90°,∠BAM+∠BEA=90°,∴∠ABM=∠BEA.∴Rt△ABE∽Rt△A1AB,∴=.∵AB=AA1,∴BE=AB=BB1,即在线段BB1上存在点E使得A1C⊥AE,此时=.6/6 查看更多

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