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2.2.4 平面与平面平行的性质 【选题明细表】知识点、方法题号面面平行的性质1、2、6、11面面平行的性质应用4、7、8综合应用3、5、10基础巩固1.下列命题中不正确的是( A )(A)两个平面α∥β,一条直线a平行于平面α,则a一定平行于平面β(B)平面α∥平面β,则α内的任意一条直线都平行于平面β(C)一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面,那么三角形所在平面与这个平面平行(D)分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线解析:选项A中直线a可能与β平行,也可能在β内,故选项A不正确;三角形两边必相交,这两条相交直线平行于一个平面,那么三角形所在的平面与这个平面平行,所以选项C正确;依据平面与平面平行的性质定理可知,选项B,D也正确,故选A.2.已知两条直线m、n,两个平面α、β,给出下面四个命题:①α∩β=a,b⊂α⇒a∥b或a,b相交;②α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n;③m∥n,m∥α⇒n∥α;④α∩β=a,a∥b⇒b∥β或b∥α.其中正确命题的序号是( C )(A)①③(B)②④(C)①④(D)②③解析:对于②,α∥β,m⊂α,n⊂β可能得到m∥n,还有可能是直线m,n异面;对于③,m∥n,m∥α,当直线n不在平面α内时,可以得到n∥α,但是当直线n在平面α内时,n不平行于平面α.故选C.3.α,β,γ为三个不重合的平面,a,b,c为三条不同的直线,则有下列命题,不正确的是( C )①⇒a∥b; ②⇒a∥b; ③⇒α∥β;④⇒α∥β; ⑤⇒α∥a; ⑥⇒a∥α.(A)④⑥(B)②③⑥(C)②③⑤⑥(D)②③解析:①正确;②中,a与b可平行,也可相交,异面,错;③中,α与β也可相交,错;④正确;⑤中a可能在α内,错;⑥中,a可能在α内,错.故选C.4.平面α截一个三棱锥,如果截面是梯形,那么平面α必定和这个三棱锥的( C )(A)一个侧面平行(B)底面平行(C)仅一条棱平行(D)某两条相对的棱都平行解析:当平面α∥某一平面时,截面为三角形,故选项A、B错.
当平面α∥SA时,如图截面是四边形DEFG,又SA⊂平面SAB,平面SAB∩α=DG,所以SA∥DG,同理SA∥EF,所以DG∥EF,同理当α∥BC时,GF∥DE,因为截面是梯形,所以四边形DEFG中仅有一组对边平行,故α仅与一条棱平行.故选C.5.(2015河南登封一中月考)如图a∥α,A是α的另一侧的点,B,C,D∈a,线段AB,AC,AD交α于E,F,G,若BD=4,CF=4,AF=5,则EG= . 解析:因为a∥α,a⊂平面ABD,平面ABD∩平面α=EG,所以a∥EG.由相似比=,所以EG===.答案:6.设α,β,γ为三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n⊂γ,且 ,则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题. ①α∥γ,n⊂β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m⊂γ.解析:“α∩β=m,n⊂γ,且α∥γ,n⊂β,则m∥n”或“α∩β=m,n⊂γ,且n∥β,m⊂γ,则m∥n”.答案:①或③7.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,M是A1C1的中点,平面AB1M∥平面BC1N,AC∩平面BC1N=N.
求证:N为AC的中点.证明:因为平面AB1M∥平面BC1N,平面ACC1A1∩平面AB1M=AM,平面BC1N∩平面ACC1A1=C1N,所以C1N∥AM,又AC∥A1C1,所以四边形ANC1M为平行四边形,所以AN=C1M=A1C1=AC,所以N为AC的中点.能力提升8.(2015赣州博雅高中月考)过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线的条数有( C )(A)4(B)5(C)6(D)7解析:如图所示,E,F,G,H分别是所在棱的中点,显然EF,EH,HG,GF,EG,FH都与平面ABB1A1平行,故选C.9.如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,平面ABC∥平面A1B1C1.若D是棱CC1的中点,在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1?并证明你的结论.解:当E为棱AB的中点时,DE∥平面AB1C1.证明如下:如图所示,取BB1的中点F,连接EF,FD,DE,AC1.因为D,E,F分别为CC1,AB,BB1的中点,所以EF∥AB1.因为AB1⊂平面AB1C1,EF⊄平面AB1C1,所以EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1.因为EF∩FD=F,所以平面EFD∥平面AB1C1.因为DE⊂平面EFD,所以DE∥平面AB1C1.探究创新
10.如图,已知α∥β,点P是平面α、β外的一点(不在α与β之间),直线PB、PD分别与α、β相交于点A、B和C、D.(1)求证:AC∥BD;(2)已知PA=4cm,AB=5cm,PC=3cm,求PD的长;(3)若点P在α与β之间,试在(2)的条件下求CD的长.(1)证明:因为PB∩PD=P,所以直线PB和PD确定一个平面γ,则α∩γ=AC,β∩γ=BD.又α∥β,所以AC∥BD.解:(2)由(1)得AC∥BD,所以=.所以=.所以CD=(cm),所以PD=PC+CD=(cm).(3)由(1)得AC∥BD,所以△PAC∽△PBD.所以=,即=.所以=,所以PD=(cm).所以CD=PC+PD=3+=(cm).
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