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第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2直线、平面平行的判定及其性质2.2.4平面与平面平行的性质A级 基础巩固一、选择题1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a、b的位置关系是( )A．平行 B．相交C．异面D．不确定解析：两平行平面α，β被第三个平面γ所截，则交线a、b平行．答案：A2．已知l是过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，B1，D1的平面与下底面ABCD所在平面的交线，下列结论中错误的是( )A．D1B1∥lB．BD∥平面AD1B1C．l∥平面A1B1C1D1D．l⊥B1C1解析：因为正方体的上底面与下底面平行，由面面平行的性质定理可得选项A正确，再由线面平行的判定定理可得选项B、C正确．选项D错误，因为D1B1∥l，所以l与B1C1所成角是45°.答案：D3．五棱柱的底面为α和β，且A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，且AD∥BC，则AB与CD的位置关系为( )A．平行B．相交C．异面D．无法判断
解析：因为AD∥BC所以ABCD共面，由面面平行的性质定理知AB∥CD.答案：A4．P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝( )A．2∶25B．4∶25C．2∶5D．4∶5解析：易知平面ABC∥平面A′B′C′，所以AC∥A′C′，BC∥B′C′，AB∥A′B′.所以△A′B′C′∽△ABC.又因为PA′∶AA′＝2∶3，所以＝＝.所以＝.答案：B5．下列说法正确的个数是( )①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；④平行直线被三个平行平面截得的线段对应成比例．
A．1B．2C．3D．4解析：①正确；②错误，这两条相等的线段可能相交或异面；③错误，直线可能在另一个平面内；④正确．答案：B二、填空题6.如图所示，在三棱柱ABCA′B′C′中，截面A′B′C与平面ABC交于直线a，则直线a与直线A′B′的位置关系为________．解析：在三棱柱ABCA′B′C′中，A′B′∥AB，AB⊂平面ABC，A′B′⊄平面ABC，所以A′B′∥平面ABC.又A′B′⊂平面A′B′C，平面A′B′C∩平面ABC＝a，所以A′B′∥a.故填平行．答案：平行7.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．解析：因为平面AC∥α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，所以AB∥A1B1，同理可证CD∥C1D1，又A1B1∥C1D1，所以AB∥CD，同理可证AD∥BC，所以四边形ABCD
是平行四边形．答案：平行四边形8．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为________．解析：由题意知，因平面α∥平面BC1E，所以A1F綊BE，所以Rt△A1AF≌Rt△BB1E，所以B1E＝FA＝1.答案：1三、解答题9.如图所示，已知E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1棱AA1，CC1上的点，且AE＝C1F.求证：四边形EBFD1是平行四边形．证明：如图，在平面A1ADD1中，作EG∥AD交D1D于点G，连接GC，易证EG綊AD綊BC，所以四边形GEBC为平行四边形，所以EB綊GC.
又AE＝C1F，所以D1G綊FC，所以四边形D1GCF为平行四边形，所以D1F綊GC，所以EB綊D1F，所以四边形EBFD1是平行四边形．10.如图所示，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AC＝15cm，DE＝5cm，AB∶BC＝1∶3，求AB，BC，EF的长．解：如图所示，连接AF，交β于点G，连接BG，GE，AD，CF.因为平面α∥平面β∥平面γ，所以BG∥CF，GE∥AD.所以＝＝＝.所以＝.
所以AB＝cm，EF＝3DF＝15cm，BC＝AC－AB＝cm.B级 能力提升1．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是( )A．α∩β＝a，b⊂α⇒a∥bB．α∩β＝a，a∥b⇒b∥a，且b∥βC．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥βD．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b解析：A项中，α∩β＝a，b⊂α，则a，b可能平行也可能相交；B项中，α∩β＝a，a∥b，则可能b∥α，且b∥β，也可能b在平面α或β内；C项中，a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，根据面面平行的判定定理，若再加上条件a∩b＝A，才能得出α∥β；D项为面面平行的性质定理的符号语言，正确．答案：D2．如图，棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．解析：在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为平面MCD1∩平面DCC1D1＝CD1，
所以平面MCD1∩平面ABB1A1＝MN，且MN∥CD1，所以N为AB的中点(如图)，所以该截面为等腰梯形MNCD1；因为正方体的棱长为2，易知，MN＝，CD1＝2，MD1＝，所以等腰梯形MNCD1的高MH＝＝.所以截面面积为(＋2)×＝.答案：3.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？解：如图，设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.
假设平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，可得AP∥D1M，所以BQ∥D1M∥AP.因为P为DD1的中点，所以M为AA1的中点，所以Q为CC1的中点，故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
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