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2.2.4 平面与平面平行的性质学习目标核心素养1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的性质定理并加以证明．(重点)2．能用文字语言、符号语言和图形语言准确描述平面与平面平行的性质定理，并知道其地位和作用．(重点)3．能运用平面与平面平行的性质定理，证明一些与空间面面平行关系有关的简单问题．(难点)通过学习平面与平面平行的性质，提升直观想象、逻辑推理的数学核心素养．平面与平面平行的性质定理文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言思考：如果两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？[提示] 不一定．它们可能异面．1．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是( )A．平行 B．相交C．异面D．平行或异面A [因为圆台的上、下底面互相平行，所以由平面与平面平行的性质定理可知m∥n.]2．已知平面α∥平面β，直线l∥α，则( )A.l∥βB.l⊂βC.l∥β或l⊂βD.l,β相交C [假设l与β相交，又α∥β，则l与α相交，与l∥α矛盾，则假设不成立，则l∥β或l⊂β.]3．已知平面α∥β，直线a⊂α，有下列命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直．-7-
其中真命题的序号是________．② [由面面平行的性质可知，过a与β相交的平面与β的交线才与a平行，故①错误；②正确；平面β内的直线与直线a平行，异面均可，其中包括异面垂直，故③错误．]平面与平面平行性质定理的应用[探究问题]1．平面与平面平行性质定理的条件有哪些？[提示] 必须具备三个条件：①平面α和平面β平行，即α∥β；②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.以上三个条件缺一不可．2．线线、线面、面面平行之间有什么联系？[提示] 联系如下：【例1】 如图，已知平面α∥平面β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．[解] 因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.所以＝，即＝.所以BD＝.-7-
1．将本例改为：若点P在平面α，β之间(如图所示)，其他条件不变，试求BD的长．[解] 与本例同理，可证AB∥CD.所以＝，即＝，所以BD＝24.2.将本例改为：已知平面α∥β∥γ，两条直线l、m分别与平面α、β、γ相交于点A、B、C与D、E、F.已知AB＝6，＝，则AC＝________．15 [由题可知＝⇒AC＝·AB＝×6＝15.]3．将本例改为：已知三个平面α、β、γ满足α∥β∥γ，直线a与这三个平面依次交于点A、B、C，直线b与这三个平面依次交于点E、F、G.求证：＝.[证明] 连接AG交β于H，连BH、FH、AE、CG.因为β∥γ，平面ACG∩β＝BH，平面ACG∩γ＝CG，所以BH∥CG.同理AE∥HF，所以＝＝.-7-
应用平面与平面平行性质定理的基本步骤：平行关系的综合应用【例2】 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：GH∥平面PAD.[证明] 如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.∵ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥MO，而AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴PA∥平面BMD，又∵PA⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.又PA⊂平面PAD，GH⊄平面PAD，∴GH∥平面PAD.1．证明直线与直线平行的方法-7-
(1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质；平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等．(2)公理4.(3)线面平行的性质定理．(4)面面平行的性质定理．2.证明直线与平面平行的方法：(1)线面平行的判定定理．(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．如图，三棱锥ABCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.求证：CD∥平面EFGH.[证明] 由于四边形EFGH是平行四边形，∴EF∥GH.∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又∵EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.1．常用的面面平行的其他几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．2．证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“见了已知想性质，见了求证想判定”，也就是说“发现已知，转化结论，沟通已知与未知的关系”．这是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段．-7-
1．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是( )A．平行 B．异面C．相交D．平行或异面或相交D [如图①②③所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交．]① ② ③2．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D．有且只有一条与a平行的直线D [由于α∥β，a⊂α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确．]3．用一个平面去截三棱柱ABCA1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分别于点E，F，G，H.若A1A>A1C1，则截面的形状可以为________．(填序号)①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形．②⑤ [当FG∥B1B时，四边形EFGH为矩形；当FG不与B1B平行时，四边形EFGH为梯形．]4．如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC的中点，M，N分别是AE，CD1的中点．求证：MN∥平面ADD1A1.[证明] 如图所示，取CD的中点K，连接MK，NK.-7-
因为M，N，K分别为AE，CD1，CD的中点，所以MK∥AD，NK∥DD1，所以MK∥平面ADD1A1，NK∥平面ADD1A1.又MK∩NK＝K，MK，NK⊂平面MNK，所以平面MNK∥平面ADD1A1.因为MN⊂平面MNK，所以MN∥平面ADD1A1.-7-
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