天天资源网 / 高中数学 / 教学同步 / 人教A版 / 必修2 / 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 / 2.2.4 平面与平面平行的性质 / 平面与平面平行
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本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn10.6平面与平面平行【知识网络】1、平行平面的定义及判定；2、两平面平行的性质定理及应用；3、平行平面之间的距离。【典型例题】例1：（1）下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两平面平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有（）A、1B、2C、3D、4答案：C。解析：（2）（3）（4）正确。（2）已知平面∥平面，直线L平面,点P直线L,平面、间的距离为8，则在内到点P的距离为10，且到L的距离为9的点的轨迹是（）A、一个圆B、四个点C、两条直线D、两个点答案：B。解析：在β内到P的距离为10的点的轨迹是一个圆，到L的距离为9的点的轨迹是两条平行直线，所以满足上述条件的点的轨迹是4个点。（3）与空间四点等距离的平面有（）A．7个B．2个C．9个D．7个或无穷多个答案：D。解析：当四点共面时，有无穷多个平面，当四点不共面时，根据位置分别有4个和3个平面。（4）正方体中，平面和平面的位置关系为答案：平行。解析：根据两平面平行的判定定理即得。（5）下列命题：①平面内有无数个点到平面的距离相等，则∥；②若直线与两平面、都不垂直，则、不平行；③若直线、是异面直线，且Ì，Ì，则∥，则真命题的个数是。答案：0个；解析：利用数形结合的方法可判断。例2：．设平面α∥平面β，AB、CD是两条异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、D∈β，求证：MN∥平面α.答案：证明：连结BC、AD，取BC的中点E，连结ME、NE，则ME是△BAC的中位线，故ME∥AC，MEα，∴ME∥α.同理可证，NE∥BD.又α∥β，设CB与DC确定的平面BCD与平面α交于直线CF，则CF∥BD，∴NE∥CF.而NE平面α，CFα，∴NE∥α.又ME∩NE=E，∴平面MNE∥α，而MN平面MNE，∴MN∥平面α.
例3：．如图：直三棱柱，底面三角形ABC中，，，棱，M、N分别为A1B1、AB的中点①求证：平面A1NC∥平面BMC1；②求异面直线A1C与C1N所成角的余弦值；③求直线A1N与平面ACC1A1所成角的正弦值。答案：∵直三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别为A1B1，AB的中点，，平面A1NC∥平面BMC1（2）异面直线A1C与C1N所成角的余弦值为。（3）直线A1N与平面ACC1A1所成角的正弦值为。例4：如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=a.（1）求证：平面AD1B1∥平面C1DB；（2）求证：A1C⊥平面AD1B1；（3）求平面AB1D1与平面BC1D之间的距离.答案：（1）证明：∵D1B1∥DB，∴D1B1∥平面C1DB.同理，AB1∥平面C1DB.又D1B1∩AB1=B1，∴平面AD1B1∥平面C1DB.（2）证明：∵A1C1⊥D1B1，∴易证A1C⊥D1B1.同理，A1C⊥AB1，D1B1∩AB1=B1.∴A1C⊥平面AD1B1.（3）解：设A1C∩平面AB1D1=M，A1C∩平面BC1D=N，O1、O分别为上底面A1B1C1D1、下底面ABCD的中心.则M∈AO1，N∈C1O，且AO1∥C1O，MN的长等于平面AD1B1与平面C1DB的距离，即MN=A1M=NC=A1C=a.【课内练习】1．下列说法正确的是（）A．平面和平面只有一个公共点B．两两相交的三条直线共面C．不共面的四点中，任何三点不共线D．有三个公共点的两平面必重合答案：C。解析：A中α和β可能无公共点，B中三条直线最多可确定三个平面，D中三个公共点共线时平面不重合。2．和是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面和平行的是（）A、和都垂直于平面B、内不共线的三点到的距离相等C、是平面内的直线且D、是两条异面直线且
答案：D。解析：对于可平行也可相交；对于B三个点可在平面同侧或异侧；对于在平面内可平行，可相交。对于D正确证明如下：过直线分别作平面与平面相交，设交线分别为与，由已知得，从而，则，同理，。3．是两个不重合的平面，在下列条件中，不能判定平面的条件是（）A、是内一个三角形的两条边，且 B、内有不共线的三点到的距离都相等 C、都垂直于同一条直线 D、是两条异面直线，，且答案：B。解析：B中α、β的位置关系可相交。4．已知α、β是不同的两个平面，直线，命题无公共点；命题.则的（）A充分而不必要的条件B必要而不充分的条件C充要条件D既不充分也不必要的条件答案：B。解析：α∥β时可推出无公共点。5．给出以下六个命题：①垂直于同一直线的两个平面平行；②平行于同一直线的两个平面平行；③平行于同一平面的两个平面平行；④与同一直线成等角的两个平面平行；⑤一个平面内的两条相交直线于另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行；⑥两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，则这两个平面平行。其中正确的序号是___________；答案：①③⑤。解析：②④⑥中两个平面可相交。6．已知直线m、n和平面α、β满足:α∥β,m⊥α,m⊥n,则n与β之间的位置关系是答案：nβ或n∥β。解析：作图分析即可。7．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1，CC1的中点。（1）求证：平面EB1D1∥平面FBD；（2）设AC∩BD=0，求证：平面A1OA⊥平面B1D1E。解析：（1）取DD1的中点G，连AG，FG，可证四边形ABFG和AGD1E都是平行四边形，得BF∥ED1，从而ED1∥平面FBD，又可证B1D1∥平面FBD，因而平面EB1D1∥平面FBD。（2）取AB的中点Ｍ，连ＯＭ，Ａ１Ｍ，则ＯＭ⊥面AB1。在平面ＡＢ１中，由△A1AM≌△B1A1E，可得A1M⊥B1E，易证A1O⊥EB1，同理A1O⊥ED1，∴A1D⊥面EB1D1，即面A1OA⊥面B1D1E。8．如图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE答案：过M作MG∥BC，交AB于点G（如下图），连结NG∵MG∥BC，BC平面BCE，MG平面BCE，∴MG∥平面BCE又==，∴GN∥AF∥BE，
同样可证明GN∥平面BCE又面MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCE又MN平面MNG∴MN∥平面BCE9．如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，AB=a.（1）求证：平面AMN∥平面EFDB；（2）求异面直线BE与MN之间的距离.解析：（1）证明：∵MN∥EF，∴MN∥平面EFDB.又AM∥DF，∴AM∥平面EFDB.而MN∩AM=M，∴平面AMN∥平面EFDB.（2）解：∵BE平面EFDB，MN平面AMN，且平面AMN∥平面EFDB，∴BE与MN之间的距离等于两平行平面之间的距离.作出这两个平面与平面A1ACC1的交线AP、OQ，作OH⊥AP于H.∵DB⊥平面A1ACC1，∴DB⊥OH.而MN∥DB，∴OH⊥MN.则OH⊥平面AMN.∵A1P=a，AP=a，设∠A1AP=θ，则cosθ==，∴OH=AO·sinθ=a·a=a.∴异面直线BE与MN的距离是a.10．在四面体P—ABC中，PA=PB=PC，∠BPC=α，∠CPA=β，APB=θ，且。（1）求证：平面PAB⊥平面ABC；（2）设PA中点为M，点P在平面ABC上的射影为O，O在AC上的射影为N，求证：平面OMN∥平面PBC。解析：（1）设PA=PB=PC=a，由及余弦定理得BC2+CA2=AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，∵PA=PB=PC，∴点P在平面ABC上的射影O为△ABC的外心，即O为AB的中点，又PO平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC。（2）∵ON⊥AC，BC⊥AC，∴ON∥BC，又BC面PBC，∴ON∥平面PBC，又O、M分别为AB、PA的中点，∴OM∥PB，∵PB平面PBC，∴OM∥平面PBC，∵OM∩ON=0，∴平面OMN∥平面PBC。
【作业本】A组1．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（）A．平行B．相交C．平行或相交D．垂直相交答案：C。解析：作图可知。2．若平面α∥平面β，直线，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中（）A、不一定存在与平行的直线B、只有两条与平行的直线C、存在无数条与平行的直线D、存在唯一与平行的直线答案：D。解析：由与B确定的平面与β有唯一交线。ABCDC1B1D1A1EE1F1F3．如图，在长方体中，AB=6，AD=4，.分别过BC、的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为,.若,则截面的面积为()A.B.C.D.16答案：C。解析：由两个截面平行，则三部分都可看作棱柱，所以底面积之比为1:4:1，即AE=2，∴=。4．a、b、ｃ为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上）答案：①⑤。解析：②中的位置可能相交、平行、异面。③中α、β的位置可能相交，④⑥中可能在α内。5．已知a、b是两条直线，、是两个平面，有下列4个命题：①若，，则；②若a、b异面，，，，则；③若，，，则；④若，，，则。其中正确的是。答案：③、④。解析：①中a可能在α内，②中α、β可能相交。6．已知球的两个平行截面的面积分别是49π、400π，且两个截面之间的距离为9，求球的表面积。解析：如图为球的一个大圆截面，，则，同理。（1）当两截面在球心同侧时，R=625，S球=（2）当两截面在球心异侧时，无解。综上所求球的表面积为2500π。7．如图，已知三棱锥A—BCD中，AD=BC=a，P为面ABC内的一点．(1)过P作一截面，使该截面与AD，BC均平行；
(2)求该截面的周长；(3)求该截面面积的最大值，及取得最大值时的条件．答案：(1)过P作EF∥BC分别交AB，AC于E，F．过F作FG∥AD．过E，F，G的平面交BD于H，则截面EFGH为所求．(2)周长为2a，EF⊥FG时，取得．故当EF为△ABC的中位线，且AD⊥BC时截面8.如下图，已知平面α∥平面β∥平面γ，且β位于α与γ之间.点A、D∈α，C、F∈γ，AC∩β=B，DF∩β=E.（1）求证：=；（2）设AF交β于M，ACDF，α与β间距离为h′，α与γ间距离为h，当的值是多少时，△BEM的面积最大?解析：（1）证明：连结BM、EM、BE.∵β∥γ，平面ACF分别交β、γ于BM、CF，∴BM∥CF.∴=.同理，=.∴=.（2）解：由（1）知BM∥CF，∴==.同理，=.∴S=CF·AD（1－）sin∠BME.据题意知，AD与CF是异面直线，只是β在α与γ间变化位置.故CF、AD是常量，sin∠BME是AD与CF所成角的正弦值，也是常量，令h′∶h=x.只要考查函数y=x（1－x）的最值即可，显然当x=，即=时，y=－x2+x有最大值.
∴当=，即β在α、γ两平面的中间时，S最大.B组1．平面、的公共点多于两个，则（）A、、重合B、、相交C、、至少有一条公共直线D、、至多有一条公共直线答案：C。解析：α和β有相交和重合的可能。2．设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面α、β，对于下面四种情况：①b∥α，②b⊥α，③α∥β，④α⊥β.其中可能的情况有（）A.1种B.2种C.3种D.4种答案：C解析：①③④都有可能，②不可能，否则有b⊥a与已知矛盾.3．已知三条直线m、n、，三个平面、、，下列四个命题中正确的是（）A．B．C．D．答案：D。解析：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。4．已知a、b是直线，、、是平面，给出下列命题：①若∥，a，则a∥②若a、b与所成角相等，则a∥b③若⊥、⊥，则∥④若a⊥,a⊥，则∥其中正确的命题的序号是________________。答案：（1）（4）。解析：②中a,b还有相交和异面的可能，③中α和r的位置关系不定。5．设平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=３4，则CS=_____________.
答案：68或解析：如图（2），由α∥β知AC∥BD，∴==，即=.∴SC=.图（1）中显然CS=68。6．如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：（1）AP⊥MN；（2）平面MNP∥平面A1BD.答案：（1）连结BC1、B1C，则B1C⊥BC1，BC1是AP在面BB1C1C上的射影.∴AP⊥B1C.又B1C∥MN，∴AP⊥MN.（2）连结B1D1，∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN不在平面A1BD上，∴PN∥平面A1BD.同理，MN∥平面A1BD.又PN∩MN=N，∴平面PMN∥平面A1BD.7．如下图，两条线段AB、CD所在的直线是异面直线，CD平面α，AB∥α，M、N分别是AC、BD的中点，且AC是AB、CD的公垂线段.（1）求证：MN∥α；（2）若AB=CD=a，AC=b，BD=c，求线段MN的长.解析：（1）证明：过B作BB′⊥α，垂足为B′，连结CB′、DB′，设E为B′D的中点，连结NE、CE，则NE∥BB′且NE=BB′，又AC=BB′，∴MCNE，即四边形MCEN为平行四边形（矩形）.∴MN∥CE.又CEα，MNα，∴MN∥α.（2）解：由（1）知MN=CE，AB=CB′=a=CD，B′D==，∴CE==，即线段MN的长为.8．如图已知平面α∥β∥γ，A，C∈α，B，D∈γ，异面直线AB和CD分别与β交于E和G，连结AD和BC分别交β于F，H．
(2)判断四边形EFGH是哪一类四边形；(3)若AC=BD=a，求四边形EFGH的周长．解析：(1)由AB，AD确定的平面，与平行平面β和γ的交线分别为(2)面CBD分别交β，γ于HG和BD．由于β∥γ，所以HG∥BD．同理EH∥AC．故EFGH为平行四边形．
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