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平面与平面平行的性质课时测试（带答案）时提升作业(八)平面与平面平行的性质一、选择题(每小题3分，共18分)1(2013•安徽高考)在下列说法中，不是公理的是( )A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【解析】选A选项具体分析结论A两个平面平行的性质定理不是公理B空间图形的公理2是公理空间图形的公理1是公理D空间图形的公理3是公理2(2014•广州高二检测)设a，b，为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列说法中，正确的个数为( )(1)若α∥β，aα，bβ则a∥
b(2)若α∥β，aα，B∈β，则在β内过点B存在唯一一条直线与a平行(3)若α∥β，β∥γ，则α∥γA1个B2个3个D0个【解析】选B(1)错误，a与b无公共点，则a∥b或a与b异面(2)正确，由面面平行的性质定理知(2)正确，(3)正确3(2014•西安高一检测)一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )A异面B相交平行D不能确定【解析】选设α∩β=l，a∥α，a∥β，过直线a作与α，β都相交的平面γ，记α∩γ=b，β∩γ=则a∥b，且a∥，所以b∥又b⊈β，β，所以b∥β又bα，α∩β=l，所以b∥l，a∥
l4(2014•成都高二检测)平面α截一个三棱锥，如果截面是梯形，则平面α必定和这个三棱锥的( )A底面平行B一个侧面平行平行于两条相对的棱D仅与一条棱平行【解题指南】画出三棱锥结合面面平行的性质逐一验证【解析】选D当平面α平行于某一个面时，截面为三角形，故A，B错，当平面α∥SA时，如图所示SA平面SAB，平面SAB∩α=DG，所以SA∥DG，同理SA∥EF，所以DG∥EF，同理若B∥α时得到GF∥DE，因为截面是梯形，所以只能有一条棱与之平行(2014•重庆高一检测)棱长为2的正方体ABD-A1B11D1中，是棱AA1的中点，过，，D1作正方形的截面，则截面的面积为( )A9B18D【解题指南】由点、线、面的位置关系作出截面，依据图形求出面积即可【解析】选B如图，由面面平行的性质知截面与平面AB1的交线N是△AA1B的中位线，所以截面是梯形D1N，其中N=，D1=2N=D1=，所以梯形的高为h==，所以S=(+2)×=6如图所示，P是三角形AB所在平面外一点，平面α∥平面AB，α分别交线段PA，PB，P于A′，B′，′若PA′∶AA′=2∶，求△A′B′′与△AB的面积比为( )A2∶B2∶74∶49D9∶2【解题指南】相似三角形面积之比等于边长之比的平方【解析】选因为平面α∥平面AB，平面α∩平面PAB=A′B′，平面AB∩平面PAB=AB，所以A′B′∥AB所以A′B′∶AB=PA′∶
PA又PA′∶AA′=2∶，所以A′B′∶AB=2∶7同理B′′∶B=2∶7，A′′∶A=2∶7，所以△A′B′′∽△AB，所以S△A′B′′∶S△AB=4∶49二、填空题(每小题4分，共12分)7平面α∥平面β，△AB和△A′B′′分别在平面α和平面β内，若对应顶点的连线共点，则这两个三角形________【解析】由于对应顶点的连线共点，则AB与A′B′共面，由平面与平面平行的性质知AB∥A′B′，同理A∥A′′，B∥B′′，故两个三角形相似答案：相似8(2014•吉安高二检测)如图正方体ABD-A1B11D1中过BD1的平面，分别与AA1，1交于，N，则四边形BND1的形状为________【解析】设过BD1的平面为α，因为平面ABB1A1∥平面DD11，α∩平面ABB1A1=B，α∩平面DD11=D1N，所以B∥D1N，同理可得BN∥D1，所以四边形BND1为平行四边形答案：平行四边形9(2013•汉中高一检测)已知平面α∥β∥γ，两条直线l，分别与平面α，β，γ相交于点A，B，和点D，E，F已知AB=6，而=
，则A=________【解析】三平行平面截空间两条直线所得线段成比例，则=；而=，所以=，所以=，所以B=9，所以A=AB+B=1答案：1三、解答题(每小题10分，共20分)10(2014•成都高二检测)平面四边形ABD的四个顶点A，B，，D均在平行四边形A′B′′D′所确定的平面α外且在平面α的一侧，AA′，BB′，′，DD′互相平行，求证：四边形ABD是平行四边形【证明】因为四边形A′B′′D′是平行四边形，所以A′D′∥B′′，因为AA′∥BB′，且AA′，A′D′是平面AA′D′D内的两条相交直线，BB′，B′′是平面BB′′内的两条相交直线，所以平面AA′D′D∥平面BB′′，又因AD，B分别是平面ABD与平面AA′D′D，平面BB′′的交线，故AD∥B，同理可证AB∥D，所以四边形ABD是平行四边形11如图，ABD-A1B11D1是正四棱柱，E是棱B的中点求证：BD1∥平面1DE【解题指南】证线面平行，可转化为面面平行，方法一过BD1作平行平面或转化为线线平行，方法二在面内找一平行线【证明】方法一：如图所示，取AD的中点，连接B，D1，E，则有ED，1D1D，所以E1D1，所以四边形E1D1是平行四边形，所以1E∥
D1，又1E⊈平面BD1，D1平面BD1，所以1E∥平面BD1，又DBE，所以四边形BED是平行四边形，所以DE∥B，又DE⊈平面BD1，B平面BD1，所以DE∥平面BD1，又DE平面1DE，1E平面1DE，DE∩1E=E，所以平面1DE∥平面BD1，又BD1平面BD1，BD1⊈平面1DE，所以BD1∥平面1DE方法二：如图所示，连接D1，交D1于点F，连接EF，则点F是D1的中点，又E是棱B的中点，所以EF∥BD1，又BD1⊈平面1DE，EF平面1DE，所以BD1∥平面1DE一、选择题(
每小题4分，共16分)1如图所示，在棱长为2的正方体ABD-A1B11D1中，A1B1的中点是P，则过点A1作与截面PB1平行的截面为( )A三角形B梯形矩形D平行四边形【解析】选D作出截面如图所示平面A1EF，其中E，F分别为AB，1D1的中点由正方体中相对面互相平行，利用面面平行的性质定理可证四边形为平行四边形2正方体ABD-A1B11D1的棱长为3，点E在A1B1上且B1E=1，平面α∥平面B1E，若平面α∩平面AA1B1B=A1F，则AF的长为( )A1B12D3【解析】选A因为平面α∥平面B1E，平面α∩平面AA1B1B=A1F，平面B1E∩平面AA1B1B=BE，所以A1F∥BE，又A1E∥BF，所以四边形A1EBF是平行四边形，所以A1E=BF=2，AF=13，N，P为三个不重合的平面，a，b，为三条不同的直线，则下列说法中，不正确的是( )A①② B②③ ②④ D③④【解析】选B①，④分别是直线和平面平行的传递性，正确；②中a与b还可能异面或相交；③中与N还可能相交【拓展延伸】“平行”关系结论大荟萃空间的平行关系，有些具有“传递性”，有些不具有，本题中的各种说法用字描述为：①平行于同一条直线的两条直线平行②平行于同一个平面的两条直线不一定平行③
平行于同一条直线的两个平面不一定平行④平行于同一个平面的两个平面平行⑤平行于同一个平面的直线与平面不一定平行4(2014•杭州高二检测)设平面α∥平面β，A，∈α，B，D∈β，直线AB与D交于S，若AS=18，BS=9，D=34，则S=( )A68B68或D2【解题指南】本题有两种情况，(1)交点S在两平面之间，(2)交点S在两平面同侧【解析】选如图(1)所示，AB，D交于S，因为α∥β，所以A∥BD所以=，即=，故S=如图(2)所示，AB，D交于S，因为α∥β，所以A∥BD，所以=，即=得S=68二、填空题(每小题分，共10分)(2014•宿迁高一检测)如图，在三棱柱AB-A1B11中，是A11的中点，平面AB1∥平面B1N，A∩平面B1N=N，若AN=A，则=________【解析】因为平面AB1∥平面B1N，平面A1A1∩平面AB1=A，平面B1N∩平面A1A1=1N，所以1N∥A，又A∥A11，所以四边形AN1为平行四边形，所以AN=1=A11=
A，所以N为A的中点，=答案：【变式训练】如图所示，平面四边形ABD所在的平面与平面α平行，且四边形ABD在平面α内的平行投影A1B11D1是一个平行四边形，则四边形ABD的形状一定是________【解析】由平行投影定义知，AA1∥BB1，而ABD所在的平面与平面α平行，则AB∥A1B1，所以四边形ABB1A1为平行四边形，同理四边形1D1D为平行四边形，所以ABD，从而四边形ABD为平行四边形答案：平行四边形6如图，四棱锥P-ABD的底面是平行四边形，PA=PB=AB=2，E，F分别是AB，D的中点，平面AGF∥平面PE，PD∩平面AGF=G，ED与AF相交于点H，则GH=________【解题指南】先证明点H是DE的中点，再由平面AGF∥平面PE推出GH∥PE，最后在等边三角形PAB中求PE，利用三角形中位线的性质求GH【解析】因为四边形ABD是平行四边形，所以AB∥D，AB=D因为E，F分别是AB，D的中点，所以AE=FD，又∠EAH=∠DFH，∠AEH=∠FDH，所以△AEH≌△FDH，所以EH=DH因为平面AGF∥
平面PE，平面PED∩平面AGF=GH，平面PED∩平面PE=PE，所以GH∥PE，又由H是DE的中点，所以G是PD的中点因为PA=PB=AB=2，所以PE=2×sin60°=，所以GH=PE=答案：三、解答题(每小题12分，共24分)7在正方体ABD-A1B11D1中，如图(1)求证：平面AB1D1∥平面1BD(2)试找出体对角线A1与平面AB1D1和平面1BD的交点E，F，并证明：A1E=EF=F【解析】(1)因为在正方体ABD-A1B11D1中，ADB11，所以四边形AB11D是平行四边形，所以AB1∥1D又因为1D平面1BD，AB1⊈平面1BD所以AB1∥平面1BD同理B1D1∥平面1BD又因为AB1∩B1D1=B1，AB1平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面1BD(2)如图，连接A11交B1D1于点1，连接A1与A1交于点E又因为A1
平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1与平面AB1D1的交点连接A交BD于，连接1与A1交于点F，则点F就是A1与平面1BD的交点下面证明A1E=EF=F因为平面A11∩平面AB1D1=E1，平面A11∩平面1BD=1F，平面AB1D1∥平面1BD，所以E1∥1F在△A11F中，1是A11的中点，所以E是A1F的中点，即A1E=EF；同理可证F∥AE，所以F是E的中点，即F=FE，所以A1E=EF=F8如图，线段PQ分别交两个平行平面α，β于A，B两点，线段PD分别交α，β于，D两点，线段QF分别交α，β于F，E两点，若PA=9，AB=12，BQ=12，△AF的面积为72，求△BDE的面积【解题指南】求△BDE的面积，看起似乎与本节内容无关，事实上，已知△AF的面积，若△BDE与△AF的对应边有联系的话，可以利用△AF的面积求出△BDE的面积【解析】因为平面QAF∩α=AF，平面QAF∩β=BE，又α∥β，所以AF∥BE同理可证：A∥BD，所以∠FA与∠EBD相等或互补，即sin∠FA=sin∠EBD由FA∥BE，得BE∶AF=QB∶QA=12∶24=1∶2，所以BE=AF由BD∥A，得A∶BD=PA∶PB=9∶21=3∶
7，所以BD=A又因为△AF的面积为72，即AF•A•sin∠FA=72所以S△DBE=BE•BD•sin∠EBD=•AF•A•sin∠FA=•AF•A•sin∠FA=×72=84所以△BDE的面积为84
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