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直线与平面平行的判定和性质

2023-08-21
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直线与平面平行的判定和性质直线与平面平行的定义直线与平面的位置关系直线和平面平行的判定定理直线和平面平行的性质定理例题12练习123456 直线与平面平行的定义如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们说这条直线和这个平面平行。首页直线与平面的位置关系直线在平面内——有无数个公共点直线与平面相交——有且只有一个公共点直线与平面平行——没有公共点首页直线和平面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。∥ba∥α符号表示首页证明证法：假设a∩α=P.∵a∥b,∴Pb在面α内过P作c∥b则c∥a，这与a∩c=P矛盾.∴假设错误，故a∥α.首页例1、求证空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面.已知：空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点.求证：EF∥面BCD.首页证明证明：连结BD首页直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.已知：a∥α，aβ,α∩β=b.求证：a∥b首页证明 a∥b证明：首页例2、在图所示的一块木料中，棱BC平行于面A1C1（1）要经过面A1C1内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？（2）所画的线和面AC是什么位置关系？D1ABCDA1B1C1P首页练习1、如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内.已知：a∥α,A∈α，A∈b，且b∥a.求证：bα.首页证明证明：假设bα设经过点A和直线a的平面为β，α∩β=b′∵a∥α,∴a∥b′（线面平行则线线平行）又a∥b，∴b∥b′这与b∩b′=A矛盾.∴假设错误，故bα.首页练习2、求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，这条直线和它们的交线平行.已知：面α∩面β=l，a∥α，a∥β,求证：a∥l.首页证明证明：设过a的平面γ交α于b，首页练习3、已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.首页证明证明：连结AC，设AC交BD于O，连结MO.∵四边形ABCD是平行四边形∴O是AC的中点，又M是PC的中点∴MO∥PA，又MO面BDMPA面BDM.∴PA∥面BDM.又经过PA与点G的平面交面BDM于GH.∴AP∥GH.首页 4如图，平面MNPQ∥AC，BD∥面MNPQ.（1）求证：MNPQ是平行四边形；（2）如果AC=BD=a，求证：四边形MNPQ的周长为定值；（3）如果AC=a,BD=b,AC与BD成θ角，求四边形MNPQ面积的最大值，并确定此时M的位置.首页证明（1）因为AC平行于面MNPQ，过AC的平面ACB交面MNPQ于MN，所以AC平行于MN，同理AC平行于PQ，由平行公理得MN平行于PQ，同理可证MQ平行于NP，所以四边形MNPQ是平行四边形.（2）因为MN平行于AC，所以，又AC=a，所以MN==a，因为MQ平行于BD.所以=.又BD=a，所以MQ=a，所以四边形MNPQ的周长=2（MN+MQ）=2a（）=2a（定值）首页（3）设AM=x，AB=l由（2）知：NP=设平行四边形MNPQ的面积为S.则S=MN·NP·sinMNP∴当x=，即M为AB的中点时，S最大最大值为sinθ.首页 5如图，EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，求证：BD∥面EFGH，AC∥面EFGH.首页证明首页 6、正方体AC1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM=DN,求证：MN//面AA1B1B。AD1C1B1DCBA1MN首页查看更多

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