资料简介
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系A组1.三棱锥的四个面中,任两个面的位置关系是( ) A.相交B.平行C.异面D.不确定解析:三棱锥的四个面中,任两个面相交,交线分别是三棱锥的棱.答案:A2.若a是平面α外的一条直线,则直线a与平面α内的直线的位置关系是( )A.平行B.相交C.异面D.平行、相交或异面解析:若a∥α,则a与α内的直线平行或异面;若a与α相交,则a与α内的直线相交或异面.答案:D3.如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两个平面的位置关系一定是( )A.平行B.相交C.平行或相交D.垂直相交解析:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1⊂平面ABB1A1,CD⊂平面ABCD,且A1B1∥CD,此时两平面相交.A1B1⊂平面A1B1C1D1,此时平面ABCD∥平面A1B1C1D1.答案:C4.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(平面AA1C1C、平面ABC1D1、平面ADC1B1、平面BB1D1D、平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中,与棱AA1平行的平面共有( )A.2个B.3个C.4个D.5个解析:如图,结合图形可知AA1∥平面BB1C1C,AA1∥平面DD1C1C,AA1∥平面BB1D1D.
答案:B5.若直线a不平行于平面α,且a不在平面α内,则下列结论成立的是( )A.a与α内的所有直线异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内存在唯一的直线与a平行D.α内的直线与a都相交解析:因为直线a与平面α不平行,也不在α内,所以直线a与平面α相交,所以a与α内的直线位置关系是相交或异面,故选B.答案:B6.过平面α外一点M,作直线l∥α,则这样的直线l有 条. 解析:过平面外一点,可作该平面的无数条平行线,这无数条直线都在过该点且与该平面平行的平面内.答案:无数7.过平面外两点,可作 个平面与已知平面平行. 解析:若过两点的直线与已知平面相交,则作不出平面与已知平面平行;若过两点的直线与已知平面平行,则可作一个平面与已知平面平行.答案:0或18.已知平面α∥平面β,直线a⊂α,则直线a与平面β的位置关系为 . 解析:∵α∥β,∴α与β无公共点.∵a⊂α,∴a与β无公共点,∴a∥β.答案:a∥β9.简述下列问题的结论,并画图说明:(1)直线a⊂平面α,直线b∩a=A,则b和α的位置关系如何?(2)直线a⊂α,直线b∥a,则直线b和α的位置关系如何?解:(1)由图①可知:b⊂α或b∩α=A.(2)由图②可知:b⊂α或b∥α.
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为B1C1,A1D1的中点.求证:平面ABB1A1与平面CDFE相交.证明:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为B1C1的中点,∴EC与B1B不平行,则延长CE与BB1必须相交于一点H,∴H∈EC,H∈B1B.又知B1B⊂平面ABB1A1,CE⊂平面CDFE,∴H∈平面ABB1A1,H∈平面CDFE,故平面ABB1A1与平面CDFE相交.B组1.已知直线a,b都与平面α相交,则a,b的位置关系是( )A.相交B.平行C.异面D.以上都有可能解析:如图,在正方体中取平面ABCD为平面α,取AA1所在直线为直线a,BB1所在直线为直线b,则a∥b,取A1B所在直线为直线b,则a,b相交,取BC1所在直线为直线b,则a,b异面,故三种情况都有可能.答案:D2.若夹在两个平面间的三条平行线段相等,则这两个平面的位置关系是( )A.平行B.相交C.重合D.平行或相交
解析:如图,夹在平面A1B1C1D1与平面ABCD之间的线段AA1=BB1=CC1,平面AA1D1D与平面AA1B1B之间取D1D的中点E,BB1中点F,D1B1=DB=EF.答案:D3.如果空间的三个平面两两相交,那么( )A.不可能只有两条交线B.必相交于一点C.必相交于一条直线D.必相交于三条平行线解析:空间三个平面两两相交,可能相交于一点,也可能相交于一条直线,还可能相交于三条平行线,故选A.答案:A4.已知直线a,平面α,β,且a∥α,a∥β,则平面α与β的位置关系是 . 解析:因为a∥α,a∥β,所以平面α与β相交(如图①)或平行(如图②).答案:相交或平行5.下列命题正确的有 .(填序号) ①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内;②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;③若直线l与平面α相交,则l与平面α内的任意直线都是异面直线;④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交;⑤若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面.
解析:①显然是正确的;②中,直线l还可能与α相交,所以②是错误的;③中,直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面,所以③是错误的;④中,异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定,它们可以相交,可以平行,还可以在该平面内,所以④是错误的;⑤中,直线l与平面α没有公共点,所以直线l与平面α内的直线没有公共点,即它们平行或异面,所以⑤是正确的.答案:①⑤6.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有 条. 解析:如图,与平面ABB1A1平行的直线有6条:D1E1,E1E,ED,DD1,D1E,DE1.答案:67.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,面对角线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何?解:∵B1∈平面A1B1C1D1,D1∈平面A1B1C1D1,∴B1D1⊂平面A1B1C1D1.∵B1∈平面BB1C1C,D1∉平面BB1C1C,∴直线B1D1∩平面BB1C1C=B1.同理直线B1D1与平面AA1B1B、平面AA1D1D、平面CC1D1D都相交.在平行四边形B1BDD1中,B1D1∥BD,B1D1与BD无公共点,∴B1D1与平面ABCD无公共点,∴B1D1∥平面ABCD.8.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系,并证明你的结论.
解:a∥b,a∥β.证明如下:由α∩γ=a知a⊂α,且a⊂γ,由β∩γ=b知b⊂β,且b⊂γ.∵α∥β,a⊂α,b⊂β,∴a,b无公共点.又∵a⊂γ,且b⊂γ,∴a∥b.∵α∥β,∴α与β无公共点.又a⊂α,∴a与β无公共点,∴a∥β.
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