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高一数学教案:2.1.3空间中直线与直线之间的位置关系一、素质教育目标(一)知识教学点1.公理4,即平行公理.2.等角定理及推论.(二)能力训练点1.利用联想的方法,掌握并应用由平面内引伸到空间中的平行公理.2.充分利用构造的方法证明等角定理,为下一节两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与唯一性.3.通过本节课的学习,让学生认识到在平面几何中成立的结论或定理等,在用于非平面图形时,须先证明.二、教学重点、难点、疑点及解决方法三、课时安排1课时.四、教与学的过程设计(一)复习两条直线的位置关系(幻灯显示)师:空间中两条直线的位置关系有哪几种?生:三种:相交、平行、异面.异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.相交直线和平行直线也称为共面直线.师:异面直线的画法常用的有哪几种? 生:三种.如图1-38,a与b都是异面直线.师:如何判定两条直线是异面直线?生:(1)间接证法:根据定义,一般用反证法.(2)直接证法:根据例题结论:过平面外一点与平面内一点的(二)平行公理师:在平面几何中,如图1-40,若a∥b,c∥b,则a与c平行吗?生:平行.师:也就是说,在平面中,若两条直线a、c都和第三条直线b平行,则a∥c.这个命题在空间中是否成立呢? 师:实际上,在空间中,若a∥b,c∥b,则a∥c也成立.我们把这个结论作为一个公理,不必证明,可直接应用.平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行.如图1-41,三棱镜的三条棱,若AA′∥BB′,CC′∥BB′,则有AA′∥CC′.下面请同学们完成下列的例题,巩固应用平行公理.例已知四边形ABCD是空间四边形(四个顶点不共面的图1-41四边形),E、H分别是边AB、AD的中点,F、G分别是边CB、CD师分析:要证明四边形EFGH是梯形,即要证明四边形EFGH的一组对边平行,另一组对边不平行;或证明一组对边平行且不相等.具体用哪一种方法,我们来分析一下题意:E、H分别是边AB、AD的中证明:如图1-42,连结BD.∵EH是△ABD的中位线, 根据公理4,EH∥FG,又∵FG>EH,∴四边形EFGH是梯形.(三)等角定理师:平行公理不仅是今后论证平行问题的主要依据,也是证明等角定理的基础.等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,那么这两个角相等.已知:∠BAC和∠B′A′C′的边AB∥A′B′,AC∥A′C′,并且方向相同.求证:∠BAC=∠B′A′C′.师分析:在平面内,这个结论我们已经证明成立了.在空间中,这个结论是否成立,还需通过证明.要证明两个角相等,常用的方法有:证明两个三角形全等或相似,则对应角相等;证明两直线平行,则同位角、内错角相等;证明平行四边形,则它的对角相等,等等.根据题意,我们只能证明两个三角形全等或相似,为此需要构造两个三角形,这也是本题证明的关键所在.证明:对于∠BAC和∠B′A′C′都在同一平面内的情况,在平面几何中已经证明.下面我们证明两个角不在同一平面内的情况.如图1-43,在AB、A′B′,AC、A′C′上分别取AD=A′D′、AE=A′E′,连结AA′、DD′、EE′,DE、D′E′.∵AB∥A′B′,AD=A′D′,∴AA′DD′是平行四边形. 根据公理4,得:DD′∥EE′.又可得:DD′=EE′∴四边形EE′D′D是平行四边形.∴ED=E′D′,可得:△ADE≌△A′D′E′.∴∠BAC=∠B′A′C′.师:若把上面两个角的两边反向延长,就得出下面的推论.推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.从上面定理的证明可以知道:平面里的定义、定理等,对于非平面图形,需要经过证明才能应用.下面请同学们完成练习.(四)练习(P.14练习1、2.)1.把一张长方形的纸对折两次,打开后如图1-44那样,说明为什么这些折痕是互相平行的?答:把一张长方形的纸对折两次,打开后得4个全等的矩形,每个矩形的竖边是互相平行的,再应用平行公理,可得知它们的折痕是互相平行的.△ABC≌△A′B′C′. ∴四边形BB′C′C是平行四边形.∴BC=B′C′.同理可证:AC=A′C′,AB=A′B′.∴△ABC≌△A′B′C′.(五)总结这节课我们学习了平行公理和等角定理及其推论.平行公理是论证平行问题的主要根据,也是确定平面的基础.等角定理给下一节两条异面直线所成角的定义奠定了基础.这节课我们还明确了在平面几何中成立的结论或定理等,在用于非平面图形时,须先证后用.五、作业教材P.17习题二4、5、6、7、8. 查看更多

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