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2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系A级 基础巩固一、选择题1．空间两条直线a、b与直线l成异面直线，则a、b的位置关系是( )A．平行或相交 B．异面或平行C．异面或相交D．平行或异面或相交解析：a与b可能平行或相交或异面．答案：D2．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( )A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行解析：由于∠AOB与∠A1O1B1是空间角，不一定在同一平面上，如图①.图①此时OB与O1B1不平行．若这两个角在同一平面上时，如图②，OB∥O1B1且方向相同；如图③，OB与O1B1不平行．图② 图③综上所述，OB与O1B1不一定平行．答案：D3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AD1与DC1所成角为( )-6-
A．120°B．90°C．60°D．30°解析：连接AB1和B1D1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB1＝AD1＝B1D1，AB1∥DC1，所以异面直线AD1与DC1所成的角即为直线AB1与AD1所成的角．又△AB1D1为等边三角形，所以∠B1AD1＝60°，即异面直线AD1与DC1所成的角为60°.答案：C4．在空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且PQ＝2，QR＝，PR＝3，那么异面直线AC和BD所成的角是( )A．90° B．60° C．45° D．30°解析：∠PQR(或其补角)为所求，由勾股定理的逆定理可知∠PQR＝90°.答案：A5.如图，已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列结论一定不可能的是( )A．l与AD平行B．l与AB异面C．l与BD垂直D．l与CD所成的角为30°解析：假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，可得l∥B1C1，这与“l与B1C1不平行”矛盾，所以l与AD不平行．答案：A二、填空题6．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，则异面直线A1C与B1C1所成的角为________．解析：由题意可知BC∥B1C1，故A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角，连接A1B，在△A1BC中，BC＝A1C＝A1B＝，故∠A1CB＝60°.则异面直线A1C与B1C1所成的角为60°.-6-
答案：60°7．下列图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．解析：题干图①中，GH∥MN，因此，GH与MN共面．图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面．图③中，连接MG，GM∥HN，因此，GH与MN共面．图④中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，所以GH与MN异面．所以②④中GH与MN异面．答案：②④8．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．解析：在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD∥BC，所以AE与AD所成的角即为AE与BC所成的角，即是∠EAD.连接DE，在Rt△ADE中，设AD＝a，则DE＝a，AE＝＝a，故cos∠EAD＝.所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为.答案：三、解答题9.如图，已知长方体的长和宽都是4cm，高是4cm.(1)求BC和A′C′所成的角的度数．(2)求AA′和BC′所成的角的度数．解：(1)在长方体中，BC∥B′C′，所以∠A′C′B′为BC与A′C′所成的角．-6-
因为A′B′＝B′C′＝4cm，∠A′B′C′＝90°，所以∠A′C′B′＝45°，所以BC和A′C′所成的角为45°.(2)在长方体中，AA′∥BB′，所以∠C′BB′为AA′与BC′所成的角．因为BB′＝4cm，B′C′＝4cm，所以∠C′BB′＝60°，所以AA′和BC′所成的角为60°.10.如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1-ABCD的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．证明：设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.因为E是AA1的中点，所以EQA1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1B1C1，所以EQB1C1(平行公理)．所以四边形EQC1B1为平行四边形．所以B1EC1Q.又因为Q，F是DD1，C1C两边的中点，所以QDC1F.所以四边形QDFC1为平行四边形，所以C1QDF，所以B1EDF.所以四边形B1EDF为平行四边形．B级 能力提升1．某正方体的平面展开图如图所示，则在这个正方体中( )-6-
A．NC与DE相交B．CM与ED平行C．AF与CN平行D．AF与CM异面解析：根据题意得到直观图如图所示：NC与DE异面，CM与ED平行，AF与CN异面，AF与CM相交．答案：B2.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________．解析：如图所示，取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，所以∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，所以∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，所以MN＝5.答案：5-6-
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