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5.5 三角恒等变换5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式第1课时 两角差的余弦公式学习目标核心素养1.了解两角差的余弦公式的推导过程.(重点)2.理解用向量法导出公式的主要步骤.(难点)3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算.(重点、易混点)1.通过两角差的余弦公式的推导,培养数学运算素养.2.借助公式的变形、正用、逆用,提升逻辑推理素养.两角差的余弦公式公式cos(α-β)=cos_αcos_β+sin_αsin_β适用条件公式中的角α,β都是任意角公式结构公式右端的两部分为同名三角函数积,连接符号与左边角的连接符号相反1.sin14°cos16°+sin76°cos74°=( )A. B.C.-D.-10
B [∵sin14°=cos76°,cos74°=sin16°,∴原式=cos76°cos16°+sin76°sin16°=cos(76°-16°)=cos60°=.]2.cos(-15°)的值是( )A.B.C.D.D [cos(-15°)=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=×+×=.]3.cos65°cos20°+sin65°sin20°=________. [cos65°cos20°+sin65°sin20°=cos(65°-20°)=cos45°=.]给角求值问题【例1】 (1)cos的值为( )A. B.C.D.-](2)求下列各式的值:①cos75°cos15°-sin75°sin195°;②sin46°cos14°+sin44°cos76°;③cos15°+sin15°.(1)D [cos=cos=-cos10
=-cos=-coscos-sinsin=-×-×=-.](2)解:①cos75°cos15°-sin75°sin195°=cos75°cos15°-sin75°sin(180°+15°)=cos75°cos15°+sin75°sin15°=cos(75°-15°)=cos60°=.②sin46°cos14°+sin44°cos76°=sin(90°-44°)cos14°+sin44°cos(90°-14°)=cos44°cos14°+sin44°sin14°=cos(44°-14°)=cos30°=.③cos15°+sin15°=cos60°cos15°+sin60°sin15°=cos(60°-15°)=cos45°=.1.解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是:(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差,正用公式直接求值.(2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.2.两角差的余弦公式的结构特点:(1)同名函数相乘:即两角余弦乘余弦,正弦乘正弦.(2)把所得的积相加.1.化简下列各式:10
(1)cos(θ+21°)cos(θ-24°)+sin(θ+21°)sin(θ-24°);(2)-sin167°·sin223°+sin257°·sin313°.[解] (1)原式=cos[θ+21°-(θ-24°)]=cos45°=.(2)原式=-sin(180°-13°)sin(180°+43°)+sin(180°+77°)·sin(360°-47°)=sin13°sin43°+sin77°sin47°=sin13°sin43°+cos13°cos43°=cos(13°-43°)=cos(-30°)=.给值(式)求值问题[探究问题]1.若已知α+β和β的三角函数值,如何求cosα的值?提示:cosα=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ.2.利用α-(α-β)=β可得cosβ等于什么?提示:cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β).【例2】 (1)已知sinα-sinβ=1-,cosα-cosβ=,则cos(α-β)=( )A.- B.-C. D.(2)已知sin=,α∈,求cosα的值.[思路点拨] (1)先将已知两式平方,再将所得两式相加,结合平方关系和公式C(α-β)求cos(α-β).(2)由已知角+α与所求角α的关系即α=-寻找解题思路.(1)D [因为sinα-sinβ=1-,10
所以sin2α-2sinαsinβ+sin2β=2, ①因为cosα-cosβ=,所以cos2α-2cosαcosβ+cos2β=2, ②①,②两式相加得1-2cos(α-β)+1=1-++所以-2cos(α-β)=-所以cos(α-β)=.(2)[解] ∵α∈,∴+α∈,∴cos=-=-=-.∵α=-,cosα=cos=coscos+sinsin=-×+×=.]1.将例2(2)的条件改为“sin=,且
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