资料简介
1.3.2球的体积和表面积
球的体积和表面积公式(1)体积公式:V=πR3.(2)表面积公式:S=4πR2.
【思考】从公式看,球的表面积和体积分别是关于哪个量的函数?提示:从公式看,球的表面积(或体积)只与球的半径有关,给定球的半径R有唯一确定的S(或体积V)与之对应,故表面积和体积是关于球的半径R的函数.
【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)球的表面可以展开成平面.()(2)两个球的半径之比为1∶2,则其表面积之比为1∶4.()
(3)两个球的半径之比为1∶2,则其体积之比为1∶4.()
提示:(1)×.球的表面不能展开成平面图形,故错误.(2)√.根据球的表面积公式可知此说法正确.(3)×.两个球的半径之比为1∶2,则其体积之比为1∶8.
2.直径为6的球的表面积和体积分别是()A.144π,144πB.144π,36πC.36π,144πD.36π,36π【解析】选D.R=3,S=4πR2=36π,V=πR3=36π.
3.两个半径为1的铁球,熔化成一个大球,这个大球的半径为()A.2B.C.D.【解析】选C.设大球半径为r,则πr3=2×,所以r=.
类型一 球的表面积和体积【典例】1.(2019·株洲高一检测)两个球的体积之比为8∶27,那么这两个球的表面积之比为()A.2∶3B.4∶9C.∶D.∶
2.(1)若球的表面积为64π,则它的体积为__________.(2)若球的体积为π,则它的表面积为__________.
3.若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径相等,求圆锥侧面积与球的表面积之比.
【思维·引】1.以球的表面积和体积公式为依据,先由体积之比推出半径之比,然后推出表面积之比2.(1)借助球的表面积公式先列方程求半径,进而计算球的体积.
(2)借助球的体积公式先列方程求半径,进而计算球的表面积.3.根据题目条件列出方程,用圆锥的高表示底面半径和母线,然后代入公式求比值.
【解析】1.选B.设这两个球的半径分别为r,R,则,所以,则这两个球的表面积之比为=()2=.2.(1)设球的半径为R,则4πR2=64π,解得R=4,所以球的体积V=πR3=π·43=π.
(2)设球的半径为R,则πR3=π,解得R=5,所以球的表面积S=4πR2=4π×52=100π.答案:(1)π(2)100π
3.设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为l,球的半径为R,则由题意得π(2R)2·h=πR3,所以R=h,r=2h,所以l=h,所以S圆锥侧=πrl=π×2h×h=2πh2,S球=4πR2=4πh2,所以.
【内化·悟】利用球的表面积和体积主要可以解答哪两类问题?提示:(1)已知球半径可以利用公式求它的表面积和体积;(2)已知体积或表面积也可以求其半径.
【类题·通】求球的表面积与体积的一个关键和两个结论(1)关键:把握住球的表面积公式S球=4πR2,球的体积公式V球=πR3是计算球的表面积和体积的关键,半径与球心是确定球的条件.把握住公式,球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了.
(2)两个结论:①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方;②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.
【习练·破】1.把一个铁制的底面半径为r,高为h的实心圆锥熔化后铸成一个铁球,则这个铁球的半径为()
A.B.C.D.【解析】选C.因为πr2h=πR3,所以R=.
2.(1)火星的直径约为地球直径的一半,地球的体积约是火星体积的多少倍?(2)木星的表面积约为地球表面积的120倍,木星的体积约是地球体积的多少倍?
【解析】(1)设火星的半径为R,则地球的半径为2R,因此=8.
故地球的体积约是火星体积的8倍.(2)设木星和地球的半径分别为r,R.依题意,有4πr2=120×4πR2,解得r=2R,所以.故木星的体积约是地球体积的240倍.
【加练·固】圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是________cm.
【解析】设球的半径为r,放入3个球后,圆柱液面高度变为6r.则有πr2·6r=8πr2+3·πr3,即2r=8,所以r=4cm.答案:4
类型二 与球有关的组合体问题【典例】1.(2019·资阳高一检测)已知一个几何体的三视图如图所示,图中四边形是边长为1的正方形,虚线所示为半圆,那么该几何体的体积为()
A.1-B.1-C.1-D.1-
2.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=()
A.1B.2C.4D.8
3.如图所示,图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周所形成的几何体的体积为________.
【思维·引】1.根据三视图及其数据得出几何体的直观图为棱长为1的正方体中挖空了一个半球,利用组合体的体积公式求解即可.2.先判断该组合体的结构特征,然后根据表面积列方程,求出半径r.
3.先判断该组合体的结构特征,然后求出有关几何量求其体积.
【解析】1.选B.因为题干图为某几何体的三视图,图中四边形为边长为1的正方形,虚线所示为半圆,几何体是正方体挖去一个半球,球的半径为,几何体的体积为:1-××=1-.
2.选B.如图,该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体,球的半径为r,圆柱的底面半径为r,高为2r,
则表面积S=×4πr2+πr2+4r2+πr·2r=(5π+4)r2.又S=16+20π,所以(5π+4)r2=16+20π,所以r2=4,r=2.
3.由题知旋转一周后形成的几何体是一圆台去掉一个半球,其中圆台的体积为V=×(π×22++π×52)×4=,半球的体积V=××π×23=,则所求体积为.答案:
【内化·悟】由三视图计算与球有关的组合体的表面积和体积,应注意什么?提示:关键是还原组合体,并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义,在此基础上可以设计算法计算表面积和体积.
【类题·通】解决与球有关的组合体问题的解题技巧(1)与球有关的组合体问题:解题时要认真分析图形,明确切点位置,明确有关元素间的数量关系,并且作出合适的截面图.
(2)球与旋转体的组合,通过作它们的轴截面解题.(3)球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心、切点或接点作出截面图.
【习练·破】(2019·包头高一检测)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()
A.(3+2)πB.(4+4)πC.(3+4)πD.(4+2)π
【解析】选A.由题意可知几何体是上部为半球,下部是两个圆锥的组合体,球的半径为1,圆锥的底面半径为1,高为1,所以几何体的表面积为:2π×12+2××2π×+π×12=(3+2)π.
【加练·固】1.已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成,俯视图由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为()
A.B.C.D.
【解析】选C.由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥,下方是半球,所以V=××1+×=+.
2.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积和体积分别为________与________.
【解析】由三视图可知,其对应的几何体是一个组合体,上半部分是一个直径为2的球,下半部分是一个棱柱,棱柱的底面是边长为2的正方形,高为4,则该几何体的表面积S=4π×12+2×22+4×2×4=40+4π,几何体的体积:V=π×13+22×4=16+π.答案:40+4π16+
类型三 有关球的切、接问题【典例】1.一块硬质木料的三视图如图所示,正视图是边长为3cm的正方形,俯视图是3cm×4cm的矩形,将该木料切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径最接近()
A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm
2.(2019·亳州高一检测)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为________.3.已知四面体的各面都是边长为a的正三角形,求它外接球的体积及内切球的半径.
【思维·引】1.先判断最大球的半径是多少,然后计算.2.解答本题的依据是:若正方体内接于球,则2R=a(a为正方体的棱长).3.方法一:找到球心的位置,建立方程求外接球半径,然后求外接球的体积及内切球的半径.方法二:补形为正方体.
【解析】1.选A.由题意得最大球的半径为直角三角形(直角边长为3和4)内切圆的半径,所以r==1.2.设此球的半径为R,由题意得正方体的棱长为2,所以2R=,所以R=,所以该球面的表面积为4πR2=12π.答案:12π
3.方法一:如图,设SO1是四面体S-ABC的高,则外接球的球心O在SO1上.
设外接球半径为R.因为四面体的棱长为a,O1为正△ABC的中心,所以AO1=×a=a,SO1=a.在Rt△OO1A中,R2=A=A+(SO1-R)2,即R2=,解得R=a,
所以所求外接球体积V球=πR3=πa3.所以OO1即为内切球的半径,OO1=a,所以内切球的半径为a.
方法二:以四面体的各棱为正方体的面对角线,将其补形为正方体.由于过不共面的四点有且只有一个球,所以该四面体的外接球就是正方体的外接球.设正方体的棱长为x,外接球的半径为R,则2R=x且a=x,所以R=a,所求外接球体积V球=πR3=πa3,设该四
面体的内切球的半径为r,利用体积分割法可知此多面体的体积为4×××a2×r=a2r.利用补形法可知此多面体的体积可由正方体的体积减去四个三棱锥得到,即,所以a2r=a3,解得r=a.
【素养·探】在解球的外接几何体问题中,经常利用核心素养中的数学运算,通过研究球与其外接几何体的结构特征,找到相关几何量之间的关系,然后进行计算.将本例2条件改为“三个相邻面的面积分别为2,3,6的长方体”,求该长方体外接球的表面积.
【解析】设长方体的棱长分别为a,b,c,则所以(abc)2=36,于是设球的半径为R,则4R2=a2+b2+c2=14,所以这个球面的表面积为4πR2=14π.
【类题·通】常见的与球有关的切接问题(1)正方体的内切球.球与正方体的六个面都相切,称球为正方体的内切球,此时球的半径为r1=,过在一个平面上的四个切点作截面如图①.
(2)球与正方体的各条棱相切.球与正方体的各条棱相切于各棱的中点,过球心作正方体的对角面有r2=,如图②.(3)长方体的外接球.长方体的八个顶点都在球面上,称球为长方体的外接球,
根据球的定义可知,长方体的体对角线是球的直径,若长方体过同一顶点的三条棱长为a,b,c,则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3=,如图③.
(4)正方体的外接球.正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R=a.
【习练·破】1.(2019·济南高一检测)设正方体的表面积为24cm2,一个球内切于该正方体,那么这个球的体积是()
A.πcm3B.πcm3C.πcm3D.πcm3【解析】选A.因为正方体的全面积为24cm2,所以正方体的棱长为2cm,又因为球内切于该正方体,所以这个球的直径为2cm,则这个球的半径为1cm,所以球的体积V=πcm3.
2.底面为正方形,顶点在底面上的投影为底面中心的棱锥P-ABCD的五个顶点在同一球面上,若该棱锥的底面边长为4,侧棱长为2,则这个球的表面积为_______.
【解析】正四棱锥P-ABCD外接球的球心在它的高PO1上,记为O,OP=OA=R,PO1=4,OO1=4-R,或OO1=R-4(此时O在PO1的延长线上).在Rt△AO1O中,R2=8+(R-4)2得R=3,所以球的表面积S=36π.
答案:36π
【加练·固】1.(2017·全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为________.
【解析】球的直径是长方体的体对角线,所以2R=,S=4πR2=14π.答案:14π
2.球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是()A.B.C.D.π
【解析】选C.设正方体的棱长为a,球的半径为R,则3a2=4R2,所以a2=R2,球的表面积S1=4πR2,正方体的表面积S2=6a2=6×R2=8R2,所以S1︰S2=.
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