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铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构10.1空间几何体——柱体、锥体、台体和球的概念【知识网络】1、棱柱、棱锥、棱台的几何特征，它们的形成特点及平移的概念，简单作图方法。2、圆柱、圆锥、圆台、球及简单几何体的几何特征，它们的形成特点和画法。3、简单几何体的形状，善于将复杂的几何体转化为简单的几何体。解决棱台的有关问题时，注意联系棱锥的性质；在画棱柱、棱锥、棱台时，注意做到实虚分明。4、识别一些复杂几何体的组成情况，注意球与球面，多面体与旋转体的区别。了解处理旋转体的有关问题一般作出轴截面，然后在轴截面中去寻找各元素的关系。【典型例题】例1：（1）在棱柱中（）A．只有两个面平行B．所有的棱都平行C．所有的面都是平行四边形D．两底面平行，且各侧棱也互相平行答案：D。解析：由棱柱的概念知。（2）一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为4∶9，则此棱锥的侧棱被分成上下两部分之比为（）A．4∶9B．2∶1C．2∶3D．2∶答案：B。解析：截得小棱锥与原棱锥的侧棱之比为2：3，故此棱锥的侧棱被分成上、下两部分之比为2：1。（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，，则以斜边c所在直线为轴可得旋转体，当用一个平面垂直于斜边去截这个几何体时，所得截面圆的直径的最大值是（）A、B、C、5D、10答案：B。解析：最大截面圆的直径为Rt△ABC斜边上高的2倍。（4）填表 底面形状侧面形状对角面形状平行底面的截面与底面关系三棱柱 四棱柱 五棱柱 答案： 底面形状侧面形状对角面形状平行底面的截面与底面关系三棱柱三角形 平行四边形 无 全等三角形
铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构四棱柱四边形 平行四边形平行四边形 全等四边形五棱柱五边形 平行四边形平行四边形 全等五边形（5）在半径为30m的圆形广场上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度应为____________．答案：。解析：作出圆锥的轴截面：光源高度。例2：在三棱锥P—ABC中，PA=PB=PC=2，∠APB=∠BPC=∠APC=30°，一只蚂蚁从A点出发沿四面体表面绕一周，再回到A点，问蚂蚁经过的最短路程是多少？答案：解：如图⑴三棱锥P—ABC，沿棱PA展开得图⑵，蚂蚁经过的最短路程应是，又∵∠APB=∠BPC=∠APC=30°，∴=。⑴⑵例3：试画出图形并加以说明，正方体的截面可能是什么图形？若正方体的棱长为1，当截面边数最少时截面的最大面积是多少？答案：正方体的截面可能是三角形及其内部、四边形及其内部、五边形及其内部、六边形及其内部.当截面边数最少时截面的最大面积是.例4：如图（1）是一个半径为3，圆心角为120°的扇形，现将它卷成一个圆锥，沿虚线粘好如图（2），求圆锥的底面圆半径。（1）（2）答案：由于扇形恰好卷成一个圆锥，扇形的弧长AB即为圆锥底面的圆周长，设圆锥的底面圆半径为，则圆弧AB，在扇形中，由于∠AOB=120°，故圆弧AB即是半径为3的圆周长的，∴圆弧AB=。∴2π，故=1故所求圆锥的底面圆半径为1。
铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构【课内练习】1．给出下列命题（1）多面体是由若干个平面多边形所围成的图形（2）棱柱、棱锥、棱台是简单多面体（一个几何体表面经过连续变形变为球面的多面体叫简单多面体）（3）有一个平面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥（4）有两个面是相同边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台其中正确命题的个数是（）A、1B、2C、3D、4答案：B。解析：⑴⑵正确。2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是（）A、圆锥B、圆柱C、球体D、以上都可能答案：B。解析：用平行于轴的平面去截圆柱，得到的截面是四边形。3．将梯形沿某一方向平移形成的几何体是（）A、四棱柱B、四棱锥C、四棱台D、五棱柱答案：A。解析：多边形平移形成的几何体是棱柱，梯形是四边形。4．用一张4cm×8cm的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则轴截面的面积为（接头忽略不计）。答案：。解析：以4cm或8cm为底面周长，所得圆柱的轴截面面积均为。5．四棱台有个顶点，个面，条边。答案：8；6；12。6．旋转体中母线上（除与轴相交的点之外）每一个点在绕轴旋转的过程中形成的轨迹（运动的点的集合）都是一个。答案：圆。7．将一个半径为5cm的半圆卷成圆锥的侧面，则圆锥的母线长为cm。答案：5。解析：扇形卷成圆锥的侧面时，圆锥的母线长等于扇形的半径，半圆可看成圆心角为180°的扇形。8．已知甲命题：棱柱是直棱柱；并给出下列4个乙命题：①棱柱有一条侧棱与底面垂直；②棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直；
铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构③棱柱有一个侧面与底面多边形的一条边垂直；④棱柱有一个侧面是矩形且与底面垂直。其中乙命题是甲命题的（1）必要不充分条件的序号是；（2）充要条件的序号是。（注：把所有满足题意的乙命题的序号都填上）答案：（1）②；（2）①④。9．如图是正方体的表面展开图，A、B、C、D是展开图上的四点，求在正方体中，∠ACB和∠DCA的度数分别为多少？当正方体的棱长为2时，△ACD的面积等于多少？答案：将正方体的表面展开图还原成正方体如下图所示，由于正方体的各个面均为正方形，∴△ACB是以∠ABC为直角的等腰直角三角形。故∠ACB=45°，又AC、CD、AD均为全等正方形的对角线，从而AC=CD=DA，故∠DCA=60°。当正方体的棱长为2时，则AC=CD=DA=，即△ACD是以为边长的正三角形，从而。10．如图所示，在直角坐标系中有一直角三角形OAB，现将该三角形分别绕x轴、y轴各旋转一周，得到两个几何体，这两个几何体是同一种类型的几何体吗？答案：解：不是同一种类型的几何体，如图所示⑴，Rt△OAB绕y轴旋转一周得到的几何体仅是一个圆锥，而它绕x轴旋转一周得到的几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥而组成，如图⑵所示。⑴⑵
铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构【作业本】A组1．下列命题正确的是（）A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥的底面一定是三角形C．棱台的底面是两个相似的正方形D。棱台的侧棱延长后必交于一点答案：D。解析：棱柱、棱锥、棱台的底面是任意多边形。2．一个等腰梯形绕着它的对称轴旋转半周所得的几何体是（）A、圆柱B、圆台C、圆锥D、以上均不对答案：B。解析：由圆台的形成过程知.3．下列命题中：①空间中与定点的距离等于定长的点的集合是球面；②球面上三个不同的点，一定都能确定一个圆；③一个平面与球相交，其截面是一个圆面。其中正确命题的个数为（）A、0B、1C、2D、3答案：D。4．已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的直角三角形ABC且SA=SB=SC=，，设S、A、B、C四点均在以O为球心的球面上，则球的表面积是________。答案：24π。解析：如图所示，S在底面ABC上射影O是Rt△ABC的外心即AB的中点，易得OA=OB=OC=OS，故球半径为，球的表面积为24π。5．将一个形状为长方体的橡皮切三刀，这块橡皮最多被割成块.答案：8块。6．如图所示，已知△ABC。（1）如果你认为△ABC是水平放置的三角形，试以它为底，画一个三棱柱；（2）如果你认为△ABC是竖直放置的三角形，试以它为底，再画一个三棱柱。答案：（1）答：如图（1）所示；（2）答：如图（2）所示
铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构⑴⑵7．一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的度数是多少？答案：以连排的三个正方形中间的一个为底面，将平面图还原成正方体如图，由于正方体各个面是边长相等的正方形，故△ABC的三边AB、BC、AC分别是三个正方形的对角线。∴AB=BC=AC，故∠ABC=60°。8．一块扇形铁皮AOB，∠AOB=60°，OA=72cm，要剪下一扇环ABCD作圆台的侧面，圆台的下底面比上底面大，并且由剩下的扇形COD内剪下一个面积最大的圆形铁皮，使它恰好作为圆台的上底面，问OD应取多长？答案：解：设圆台上、下底面半径分别为、R，如图所示，∵扇形OCD内面积最大的圆是其内切圆⊙，E为切点，圆弧AB长为，∴，∴OD的长为36cm。B组1．一棱台被平行于底面的平面截成上、下两个棱台，它们的体积分别是和，则和的函数图像大致是（）oxyoxyoxyoxyABCD答案:C。解析：设棱台的体积为V（为定量），则x+y=V，故选C。2．边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是（）
铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构A、10cmB、C、D、答案：D。解析：沿EF将圆柱的母线剪开，并展开侧面，则在侧面展开图中，EF=5，∴最短距离为cm。3．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某人画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形如下，则（ ）A.以下四个图形都是正确的B.只有（2）（4）是正确的C.只有（1）（2）（3）是正确的D.只有（1）（2）是正确的....①②③④答案：D。4．如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BC=，BB1=2，∠ABC=90°，E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为。答案：。解析：将△A1B1C1绕A1B1折起，则EF=，侧面绕B1B1折面平面，则EF=，将△A1B1C1绕A1C1折起，则EF=，经比较最短路径为。5．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为_______.答案：3π。解析：将正四面体看作由单位正方体的面对角线所形成，则四面体的外接球，即为正方体的外接球，其直径为正方体的对角线长。故此球表面积为3π。6．画一个六面体：（1）使它是一个四棱柱；（2）使它由两个三棱锥组成；（3）使它是五棱锥。答案：（1）如图甲是一个四棱柱；（2）如图乙是一个由两个三棱锥组成的几何体；（3）如图丙是一个五棱锥。
铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构甲乙丙。7．如图，，将五边形绕边所在的直线旋转一周，由此形成一个几何体。问：（1）这个几何体由哪些简单几何体构成？（2）你能画出这个几何体的大致形状吗？解：（1）这个几何体从上到下依次由圆台、圆柱、圆锥构成。（2）右图8．如图，半径为1的球内切于一个圆锥，当圆锥的底面半径为多少时，圆锥的体积最小？解答：解：设圆锥的底面半径为r，高为h，则由相似三角形知，∴圆锥的体积∴，∴当时，，当时，，∴当V=4时，V取最小，此时即圆锥的底面半径为时，圆锥的体积最小，最小值为。
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