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第七章地图投影与高斯投影[本章提要]本章介绍从椭球面上大地坐标系到平面上直角坐标系的正形投影过程。研究如何将大地坐标、大地线长度和方向以及大地方位角等向平面转化的问题。重点讲述高斯投影的原理和方法，解决由球面到平面的换算问题，解决相邻带的坐标坐标换算。讨论在工程应用中，工程测量投影面与投影带选择。§7.1高斯投影概述1投影与变形地图投影：就是将椭球面各元素（包括坐标、方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。研究这个问题的专门学科叫地图投影学。可用下面两个方程式（坐标投影公式）表示：式中是椭球面上某点的大地坐标，而是该点投影后的平面直角坐标。投影变形：椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面。将这个曲面上的元素（（距离、角度、图形）投影到平面上，就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一差异称为投影变形。投影变形的形式：角度变形、长度变形和面积变形。地图投影的方式：（1）等角投影——投影前后的角度相等，但长度和面积有变形；（2）等距投影——投影前后的长度相等，但角度和面积有变形；（3）等积投影——投影前后的面积相等，但角度和长度有变形。2控制测量对地图投影的要求（1）应当采用等角投影（又称为正形投影）采用正形投影时，在三角测量中大量的角度观测元素在投影前后保持不变；在测制的地图时，采用等角投影可以保证在有限的范围内使得地图上图形同椭球上原形保持相似。（2）在采用的正形投影中，要求长度和面积变形不大，并能够应用简单公式计算由于这些变形而带来的改正数。（3）能按分带投影3高斯投影的基本概念（1）基本概念：如图1所示，假想有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线（此子午线称为中央子午线或轴子午线）相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面，如图2所示，此投影为高斯投影。高斯投影是正形投影的一种。14
图1图2（2）分带投影l高斯投影带：自子午线起每隔经差自西向东分带，依次编号1,2,3,…。我国带中央子午线的经度，由起每隔而至,共计11带（13～23带），带号用表示，中央子午线的经度用表示，它们的关系是,如图所示。l高斯投影带：它的中央子午线一部分同带中央子午线重合，一部分同带的分界子午线重合，如用表示带的带号，表示带中央子午线经度，它们的关系图8-4所示。我国带共计22带（24～45带）。（3）高斯平面直角坐标系在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午线和赤道的交点14
作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标轴，以赤道的投影为横坐标轴。在我国坐标都是正的，坐标的最大值（在赤道上）约为330km。为了避免出现负的横坐标，可在横坐标上加上500OOOm。此外还应在坐标前面再冠以带号。这种坐标称为国家统一坐标。例如，有一点=19123456.789m，该点位在带内，其相对于中央子午线而言的横坐标则是：首先去掉带号，再减去500000m,最后得=-376543.211m。（4）高斯平面投影的特点①中央子午线无变形；②无角度变形，图形保持相似；③离中央子午线越远，变形越大。5椭球面三角系化算到高斯投影面将椭球面三角系归算到高斯投影面的主要内容是：（1）将起始点的大地坐标归算为高斯平面直角坐标；为了检核还应进行反算，亦即根据反算。（2）通过计算该点的子午线收敛角及方向改正，将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面上相应边的坐标方位角。（3）通过计算各方向的曲率改正和方向改正，将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角。（4）通过计算距离改正，将椭球面上起算边的长度归算到高斯平面上的直线长度。（5）当控制网跨越两个相邻投影带，需要进行平面坐标的邻带换算。14
§7.2正形投影的一般条件高斯投影首先必须满足正形投影的一般条件。图1为椭球面，图2为它在平面上的投影。在椭球面上有无限接近的两点和，投影后为和，其坐标均已注在图上，为大地线的微分弧长，其方位角为。在投影面上，建立如图2所示的坐标系，的投影弧长为。图2图37椭球面到平面的正形投影一般公式——称柯西-黎曼条件：平面正形投影到椭球面上的一般条件：§7.3高斯平面直角坐标系与大地坐标系1高斯投影坐标正算公式（1）高斯投影正算：已知椭球面上某点的大地坐标，求该点在高斯投影平面上的直角坐标，即的坐标变换。14
（2）投影变换必须满足的条件l中央子午线投影后为直线；l中央子午线投影后长度不变；l投影具有正形性质，即正形投影条件。（3）投影过程在椭球面上有对称于中央子午线的两点和,它们的大地坐标分别为（）及（），式中为椭球面上点的经度与中央子午线的经度差：,点在中央子午线之东,为正，在西则为负，则投影后的平面坐标一定为和。（4）计算公式当要求转换精度精确至0.OOlm时，用下式计算：2高斯投影坐标反算公式（1）高斯投影反算：已知某点的高斯投影平面上直角坐标，求该点在椭球面上的大地坐标，即的坐标变换。（2）投影变换必须满足的条件l坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴；l轴上的长度投影保持不变；l投影具有正形性质，即正形投影条件。（3）投影过程根据计算纵坐标在椭球面上的投影的底点纬度，接着按计算（）及经差，最后得到、。（4）计算公式14
当要求转换精度至时，可简化为下式：3高斯投影相邻带的坐标换算（1）产生换带的原因高斯投影为了限制高斯投影的长度变形，以中央子午线进行分带，把投影范围限制在中央子午线东、西两侧一定的范围内。因而，使得统一的坐标系分割成各带的独立坐标系。在工程应用中，往往要用到相邻带中的点坐标，有时工程测量中要求采用带、带或任意带，而国家控制点通常只有带坐标，这时就产生了带同带（或带、任意带）之间的相互坐标换算问题，如图所示：（2）应用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算l计算过程把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标。首先把某投影带（比如Ⅰ带）内有关点的平面坐标，利用高斯投影反算公式换算成椭球面上的大地坐标，进而得到；然后再由大地坐标，利用投影正算公式换算成相邻带的（第Ⅱ带）的平面坐标14
。在这一步计算时，要根据第Ⅱ带的中央子午线来计算经差，亦即此时。l算例在中央子午线的Ⅰ带中，有某一点的平面直角坐标，，现要求计算该点在中央子午线的第Ⅱ带的平面直角坐标。l计算步骤①．根据,利用高斯反算公计算换算,，得到，。②．采用已求得的,，并顾及到第Ⅱ带的中央子午线，求得，利用高斯正算公式计算第Ⅱ带的直角坐标,③．为了检核计算的正确性，要求每步都应进行往返计算4子午线收敛角公式（1）子午线收敛角的概念如图所示，、及分别为椭球面点、过点的子午线及平行圈在高斯平面上的描写。由图可知，所谓点子午线收敛角就是在上的切线与坐标北之间的夹角，用表示。在椭球面上，因为子午线同平行圈正交，又由于投影具有正形性质，因此它们的描写线及也必正交，由图可见，平面子午线收敛角也就是等于在点上的切线同平面坐标系横轴的倾角。（2）由大地坐标计算平面子午线收敛角公式（3）由平面坐标计算平面子午线收敛角的公式14
上式计算精度可达1"。如果要达到0.001"计算精度，可用下式计算：（4）实用公式l已知大地坐标计算子午线收敛角l已知平面坐标计算子午线收敛角§7.4椭球面上观测成果归化到高斯平面上计算1概述由于高斯投影是正形投影，椭球面上大地线间的夹角与它们在高斯平面上的投影曲线之间的夹角相等。为了在平面上利用平面三角学公式进行计算，须把大地线的投影曲线用其弦线来代替。控制网归算到高斯平面上的内容有：（1）起算点大地坐标的归算——将起算点大地坐标归算为高斯平面直角坐标。（2）起算方向角的归算。（3）距离改化计算——椭球面上已知的大地线边长（或观测的大地线边长）归算至平面上相应的弦线长度。（4）方向改计算——椭球面上各大地线的方向值归算为平面上相应的弦线方向值。2方向改化（1）概念如图所示，若将椭球面上的大地线方向改化为平面上的弦线ab方向，其相差一个角值,即称为方向改化值。（2）方向改化的过程如图所示，若将大地线方向改化为弦线ab方向。过,点，在球面上各作一大圆弧与轴子午线正交，其交点分别为,，它们在投影面上的投影分别为和。由于是把地球近似看成球，故和都是垂直于轴的直线。在,点上的方向改化分别为和。当大地线长度不大于10km，坐标不大于l00km时，二者之差不大于0.05"，因而可近似认为=。14
（3）计算公式球面角超公式为：适用于三、四等三角测量的方向改正的计算公式：式中，为a、b两点的y坐标的自然的平均值。3距离改化（1）概念如图所示，设椭球体上有两点及其大地线，在高斯投影面上的投影为及。是一条曲线，而连接两点的直线为如前所述由化至所加的改正，即为距离改正。（2）长度比和长度变形①长度比:指椭球面上某点的一微分元素，其投影面上的相应微分元素，则称为该点的长度比。②长度变形:由于长度比恒大于1，故称为长度变形。（3）长度比的计算公式式中：表示按大地线始末两端点的平均纬度计算的椭球的平均曲率半径。为投影线两端点的平均横坐标值。（4）长度比和长度变形的特点Ø长度比随点的位置而异，但在同一点上与方向无关；Ø当y=0(或l=0)时，m=1，即中央子午线投影后长度不变；Ø当y≠0(或l≠0)时，即离开中央子午线时，长度设形（m-1）恒为正，离开中央子午线的边长经投影后变长。Ø长度变形（）与（或14
）成比例地增大，对于在椭球面上等长的子午线来说，离开中央子午线愈远的那条，其长度变形愈大。（5）距离改化计算公式或§7.5工程测量投影面与投影带选择1概述对于工程测量，其中包括城市测量，既有测绘大比例尺图的任务，又有满足各种工程建设和市政建设施工放样工作的要求。如何根据这些目的和要求合适地选择投影面和投影带，经济合理地确立工程平面控制网的坐标系，在工程测量是一个重要的课题。2工程测量中选择投影面和投影带的原因（1）有关投影变形的基本概念平面控制测量投影面和投影带的选择，主要是解决长度变形问题。这种投影变形主要是由于以下两种因素引起的：①实测边长归算到参考椭球面上的变形影响，其值为：式中：为归算边高出参考椭球面的平均高程，为归算边的长度，为归算边方向参考椭球法截弧的曲率半径。归算边长的相对变形：值是负值，表明将地面实量长度归算到参考椭球面上，总是缩短的；值与,成正比，随增大而增大。②将参考椭球面上的边长归算到高斯投影面上的变形影响，其值为：式中：，即为投影归算边长,为归算边两端点横坐标平均值，为参考椭球面平均曲率半径。投影边长的相对投影变形为14
值总是正值，表明将椭球面上长度投影到高斯面上，总是增大的；值随着平方成正比而增大，离中央子午线愈远，其变形愈大。（2）工程测量平面控制网的精度要求工程测量控制网不但应作为测绘大比例尺图的控制基础，还应作为城市建设和各种工程建设施工放样测设数据的依据。为了便于施工放样工作的顺利进行，要求由控制点坐标直接反算的边长与实地量得的边长，在长度上应该相等，这就是说由上述两项归算投影改正而带来的长度变形或者改正数，不得大于施工放样的精度要求。一般来说，施工放样的方格网和建筑轴线的测量精度为1/5000～1/20000。因此，由投影归算引起的控制网长度变形应小于施工放样允许误差的1/2，即相对误差为1/10000～1/40000，也就是说，每公里的长度改正数不应该大于10～2.5cm。3投影变形的处理方法（1）通过改变从而选择合适的高程参考面，将抵偿分带投影变形，这种方法通常称为抵偿投影面的高斯正形投影；（2）通过改变，从而对中央子午线作适当移动，来抵偿由高程面的边长归算到参考椭球面上的投影变形，这就是通常所说的任意带高斯正形投影；（3）通过既改变（选择高程参考面），又改变（移动中央子午线），来共同抵偿两项归算改正变形，这就是所谓的具有高程抵偿面的任意带高斯正形投影。4工程测量中几种可能采用的直角坐标系（1）国家带高斯正形投影平面直角坐标系当测区平均高程在l00m以下，且值不大于40km时，其投影变形值及均小于2.5cm，可以满足大比例尺测图和工程放样的精度要求。，在偏离中央子午线不远和地面平均高程不大的地区，不需考虑投影变形问题，直接采用国家统一的带高斯正形投影平面直角坐标系作为工程测量的坐标系。（2）抵偿投影面的带高斯正形投影平面直角坐标系在这种坐标系中，依然采用国家带高斯投影，但投影的高程面不是参考椭球面而是依据补偿高斯投影长度变形而选择的高程参考面。在这个高程参考面上，长度变形为零。于是，当一定时，可求得：则投影面高为：14
算例：某测区海拔=2000（m），最边缘中央子午线100（km），当=1000（m）时，则有
而超过允许值（10～2.5cm）。这时为不改变中央子午线位置，而选择一个合适的高程参考面，经计算得高差：将地面实测距离归算到：（3）任意带高斯正形投影平面直角坐标系在这种坐标系中，仍把地面观测结果归算到参考椭球面上，但投影带的中央子午线不按国家带的划分方法，而是依据补偿高程面归算长度变形而选择的某一条子午线作为中央子午线。这就是说，在（8-173）式中，保持不变，于是求得算例：某测区相对参考椭球面的高程=500m，为抵偿地面观测值向参考椭球面上归算的改正值，依上式算得即选择与该测区相距80km处的子午线。此时在=80km处，两项改正项得到完全补偿。但在实际应用这种坐标系时，往往是选取过测区边缘，或测区中央，或测区内某一点的子午线作为中央子午线，而不经过上述的计算。（4）具有高程抵偿面的任意带高斯正形投影平面直角坐标系在这种坐标系中，往往是指投影的中央子午线选在测区的中央，地面观测值归算到测区平均高程面上，按高斯正形投影计算平面直角坐标。由此可见，这是综合第二、三两种坐标系长处的一种任意高斯直角坐标系。显然，这种坐标系更能有效地实现两种长度变形改正的补偿。（5）假定平面直角坐标系当测区控制面积小于100km2时，可不进行方向和距离改正，直接把局部地球表面作为平面建立独立的平面直角坐标系。这时，起算点坐标及起算方位角，最好能与国家网联系，如果联系有困难，可自行测定边长和方位，而起始点坐标可假定。这种假定平面直角坐标系只限于某种工程建筑施工之用。14
本章作业1．为什么要研究投影？我国目前采用的是何种投影？2．控制测量对投影提出什么样的基本要求？
3．椭球是一个不可展曲面，将此曲面上的测量要素转换到平面上去，必然会产生变形，此种变形一般可分为哪几类？我们可采取什么原则对变形加以控制和运用?4．某点的平面直角坐标X、Y是否等于椭球面上该点至赤道和中央子午线的距离？为什么？5．高斯投影应满足哪些条件？60带和30带的分带方法是什么？如何计算中央子午线的经度？6．为什么在高斯投影带上，某点的坐标值有规定值与自然值之分，而坐标值却没有这种区分?在哪些情况下应采用规定值？在哪些情况下应采用自然值？7．正形投影有哪些特征？何谓长度比？8．假定在我国有3个控制点的Y坐标分别为：18643257.13m，38425614.70m，20376851.00m。试问：（1）它们是３°带还是６°带的坐标值？（2）各点所在带分别是是哪一带？（3）各自中央子午线的经度是多少？（4）这些点各自在带内的哪一象限？9．设ABC为椭球面上三等三角网的一个三角形，试问：（1）依正形投影A、B、C三点处投影至平面后的长度比是否相等?（2）如若不等，还能保持投影的等角性质和图形相似吗？如若相等，岂不是长度比和点的位置无关吗?10．写出按高斯平面坐标计算长度比的公式，并依公式阐述高斯投影的特点和规律。11．在讨论高斯投影时提出了正形投影的充要条件(又称柯西—黎曼条件)，它对问题的研究有什么作用？这个条件是如何导出的？12．高斯投影坐标计算公式包括正算公式和反算公式两部分，各解决什么问题？13．试述建立高斯投影坐标正算公式的基本思路及主要过程。14．高斯投影正算是已知求，由于值不大，故此公式可以认为是在点上展开的幂级数；反算公式中底点纬度Bf是指，由于值不大，故此公式可认为是在点上展开的幂级数。15．什么是平面子午线收敛角？试用图表示平面子午线收敛角之下列特性：（1）点在中央子午线以东时，为正，反之为负；14
（2）点与中央子午线的经差愈大，值愈大；（3）点所处的纬度愈高，值愈大。16．高斯投影既然是正形投影，为什么还要引进方向改正？17．高斯投影既然是一种等角投影，而引入方向改正后，岂不破坏了投影的等角性质吗？18．椭球面上的三角网投影至高斯平面，应进行哪几项计算？并图示说明为什么？19．请写出城市三、四等三角网计算方向改正值的计算公式，并说明各符号的含义。20．已知距离改化计算公式为：若要求改正数的精度为，问坐标的精度为多少（已知R=6370km，300km）？21．回答下列问题：（1）试述高斯正形投影的定义；（2）绘图说明平面子午线收敛角，方向改化和距离改化的几何意义；（3）写出大地方位角和坐标方位角的关系式；（4）估算（用最简公式和两位有效数字）高斯投影六度带边缘一条边长50KM的最大长度变形，己知。22．在高斯投影中，为什么要分带？我国规定小于一万分之一的测图采用60投影带，一万分之一或大于一万分之一的测图采用30投影带，其根据何在？23．如果不论测区的具体位置如何，仅为了限制投影变形，统称采用30带投影优于60带投影，你认为这个结论正确吗？为什么？24．高斯投影的分带会带来什么问题？25．高斯投影的换带计算共有几种方法？各有什么特点？26．利用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算的实质是什么？已知某点在6°带内的坐标为、，求该点在3°带内第40带的坐标、。27．若已知高斯投影第33带的平面坐标，试述利用高斯投影公式求第34带平面坐标的方法（可采用假设的符号说明）？28．已知某点的大地坐标为B=32°23′46.6531″，L=112°44′12.2122″，求其在六度带内的高斯平面直角坐标以及该点的子午线收敛角。14
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