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天天资源网 / 高中数学 / 教学同步 / 北师大版 / 必修2 / 第一章立体几何初步 / §1 简单几何体 / 1.1.1-1.1.2 柱锥台球的结构特征二、简单组合体的结构特征2.

1.1.1-1.1.2 柱锥台球的结构特征二、简单组合体的结构特征2.

2023-07-14
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1.1.1柱、锥、台、球的结构特征（二）1．1.2简单组合体的结构特征要点一圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征圆柱、圆锥、圆台、球从生成过程来看，它们分别是由矩形、直角三角形、直角梯形、半圆绕着某一条直线旋转而成的几何体，因此它们统称为旋转体．但应注意的是：所谓旋转体就是一个平面图形绕着这个平面图形所在的平面内一条直线旋转一周所得到的几何体，因此它还含有除圆柱、圆锥、圆台、球之外的几何体．例1一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么图形？旋转360°又得到什么图形？【分析】由题目可获取以下主要信息：①直角三角形绕其各边旋转得到的是旋转体；②根据旋转轴的不同，得到的旋转体也是不同的．解答本题可先分析各种可能的旋转轴，然后根据旋转体的有关概念及空间想象能力进行判断．【解】图(1)、(2)旋转一周围成的几何体是圆锥，图(3)旋转一周所得几何体是两个圆锥的组合体；图(4)旋转180°是两个半圆锥的组合体，旋转360°是一个圆锥．【规律方法】(1)旋转体的形状关键在轴的确定．看另两边的轨迹，应结合想象力或动手做去分析所形成的几何体．(2)直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥，绕其斜边所在直线旋转一周所围成的几何体是两个圆锥的组合体．变式1在下图中，两个平面图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形是由哪些简单几何体构成的？解：在平面图形中，分别过不在轴上的顶点向轴作垂线，绕轴旋转一周后形成的几何体如下图所示．其中(1)由一个圆柱O1O2，两个圆台O2O3和圆台O3O4组成；(2)由一个圆锥O4O5，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O1O2组成. 要点二圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图把柱、锥、台体沿一条侧棱或母线展开成平面图，这样便把空间问题转化成了平面问题，对解决简单空间几何体的面积问题或侧面上(球除外)两点间的距离问题，是很有效的方法．例2如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？【解】把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．【规律方法】解此类题的关键要清楚几何体的侧面展开图是什么样的平面图形，并进行合理的空间想象，且记住以下常见几何体的侧面展开图：变式2若本例中蚂蚁围绕圆柱转两圈，如图所示，则它爬行的最短距离是多少？要点三简单组合体的结构特征简单组合体构成的基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，要仔细观察组合体的组成，柱、锥、台、球是最基本的几何体．例3(1)如图甲所示的物体是运动器材——空竹，你能描述它的几何特征吗？ (2)如图乙所示的平面图形绕轴l旋转180°后形成一个几何体，请描述该几何体的特征．【分析】由题目可获取以下主要信息：①(1)、(2)中的几何体都是组合体；②应把组合体分解成柱、锥、台、球．解答本题时应先看图形结构，再与本节的柱、锥、台、球的基本结构相联系．【解】(1)此几何体是由两个大圆柱，两个小圆柱和两个小圆台组合而成的．(2)平面图形绕l旋转180°后的组合体，自上而下可分解为一个倒圆锥、一个球、一个半球、一个圆柱、一个圆台．【规律方法】组合体是由简单几何体拼接或截去(挖掉)一部分而成．解决这类判断实物图是由哪些简单几何体所组成的图形的问题，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征，其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体．会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力．变式3观察下图中的几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的，并说出主要结构特征．解：图(1)是由一个四棱柱在它的上、下底面上向内挖去一个三棱柱组成的几何体，它有9个面，14个顶点，21条棱，具有四棱柱和三棱柱的结构特征．图(2)是由一个四棱柱和一个底面与四棱柱上底面重合的四棱锥组合而成的几何体，它有9个面，9个顶点，16条棱，具有四棱柱和四棱锥的结构特征．图(3)是由一个三棱柱和一个下底与三棱柱上底重合的三棱台组成的几何体，它有9个顶点，8个面，15条棱，具有三棱柱和三棱台的结构特征．查看更多

1.1.1-1.1.2 柱锥台球的结构特征二、简单组合体的结构特征2.

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