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3.2.2函数模型应用举例课堂导学三点剖析一、函数模型的确定【例1】以下是某地区不同身高的未成年男性体重平均值表：身高/cm60708090100110体重/kg6.137.909.9912.1515.0217.50身高cm120130140150160170体重/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05（1）根据表中提供的数据，能否从我们已学过的函数y=ax+b,y=alnx+b,y=a·bx中选择一种函数，使它比较近似地反映出该地区未成年男性体重y关于身高x的函数关系？试求出这个函数的解析式.（2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地区某中学一男生身高为175cm，体重为78kg，他的体重是否正常？思路分析：可先根据表中的数据，描点画出函数图象（散点图），再根据散点图的形状判断应当选择哪种函数关系，然后根据已知数据求出所选式子的待定常数，最后将表中的身高数据代入求得的解析式，看所得的函数值是否与已知体重数据基本吻合.解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图，如右图.根据点的分布特征可考虑用函数y=a·bx反映上述数据之间的对应关系.把x=70,y=7.90和x=170,y=55.05两组数据分别代入y=a·bx，得解得a≈2，b≈1.02,故该地区未成年男性平均体重关于身高的近似函数关系式可选取为y=2×1.02x.将已知数据代入所得函数解析式，可知所求函数能较好的反映该地区未成年男性体重与身高的关系.（2）把x=175代入y=2×1.02x，得y=2×1.02175≈63.98.∵78÷63.98≈1.22＞1.2，∴这名男生体重偏胖.二、数学模型的应用【例2】某家庭某年一月份、二月份和三月份的煤气用量和交付费用如下表所示:月份用气量煤气费14m34元225m314元335m319元
该市煤气收费方法是:煤气费=基本费+超额费+保险费.若该月用气量不超过最低量Am3,那么只付基本费3元和每户每月的定额保险费C元;若用气量超过Am3,那么超出部分付超额费,每立方米为B元,又知保险费C不超过5元,试根据上述条件及数据求A、B的值.思路分析:关键在于找出煤气费与用量间的函数关系，这显然是一分段函数.解:设月用气量为xm3,支付的煤气费为y元,依题意有，∵0＜C≤5,∴3＜3+C≤8.∴二、三月份煤气费满足若一月份用气超过Am3,则4＞A,∴4=3+0.5(4-A)+C,这不可能.∴4=3+C，C=1,B=,A=5.温馨提示解决实际问题，首先在审清题意的基础上，将实际问题转化成相应的函数来解决.函数模型的应用，一方面是利用已知函数模型解决问题；另一方面是建立恰当的函数模型.并利用所得函数模型解析有关现象.对某些发展趋势进行预测，在用函数模型解决实际问题的过程中，涉及复杂的数据处理，要注意充分发挥信息技术的作用，简化过程、减小计算量.各个击破类题演练1我国1990—2000年的国内生产总值如下表所示：年份1990199119921993产值/亿元18598.421662.526651.934560.5年份1994199519961997产值/亿元46670.057494.966850.573142.7年份199819992000产值/亿元76967.180422.889404.0（1）描点画出1990—2000年国内生产总值的图象；（2）建立一个能基本反映这一时期国内生产总值发展变化的函数模型，并画出其图象；（3）根据所建立的函数模型，预测2004年的国内生产总值.解析：（1）取自变量x为0，1，…，10，对应年份为1990，1991，…，2000得函数图象，如下图：
（2）根据图象，取函数模型y=a·bx.取2组数据：（2，26651.9）,(8,76967.1).代入y=a·bx得解得a≈18715.5,b≈1.19，得函数模型：y=18715.5×1.19x.将其他数据代入上述函数解析式，基本吻合.（3）令x=14得y≈213726.8（亿元），根据所建函数模型预测2004年的国内生产总值为213726.8亿元.类题演练2已知某企业的原有产品，每年投入x万元，可获得的年利润可表示为函数：P（x）=-·（x-30）2+8（万元）.现开发一个回报率高、科技含量高的新产品，据预测，新产品每年投入x万元，可获得年利润Q（x）=-（100-x）2+(100-x)（万元）.新产品开发从“十五”计划的第一年开始，用两年时间完成.这两年，每年从100万元的生产准备金中，拿出80万元来投入新产品开发.从第三年开始这100万元全部用于新旧两种产品的生产投入.（1）为了解决资金缺口，第一年初向银行贷款1000万元，利率为5.5%（不计复利），第五年底一次性应向银行偿还本息共计多少万元？（2）从新产品投产的第三年开始，从100万元的生产准备金中，新旧两种产品各应投入多少万元，才能使年利润最大？（3）从新旧产品的五年总利润中最高拿出70%来，能否还清对银行的欠款？解析：（1）五年利息是1000×0.055×5=275（万元），本利和为1275万元.（2）设从第三年年初起每年旧产品投入x万元，新产品投入（100-x）万元，于是每年的利润是W=P（x）+Q(100-x)=［-（x-30）2+8］+{-［100-(100-x)］2+［100-(100-x)］}=(-x2+x-1)+(-x2+x)=-x2+52x-1=-(x-26)2+675.∴投入旧产品26万元，新产品74万元时，每年可获得最大的利润，最大利润是675万元.（3）因为P（x）在（0，30］上是增函数，所以在100万元的生产准备金中除用于新产品开发外，剩余的20万元全部投入即可得到最大利润.于是，头2年的利润是W1=2×P（20）=14（万元）；后3年的利润是W2=3×［P（26）+Q（74）］=3×675=2025（万元），故5年的总利润是W=W1+W2=2039万元，又2039×70%=1427.3＞1275，所以从新旧产品的五年总利润中拿出70%来，能够还清对银行的欠款.
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