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3.1.2用二分法求方程的近似解课堂导学三点剖析一、用二分法求相应方程的近似解【例1】证明方程x3-3x+1=0在区间（1，2）内必有一根，并求出这个根的近似值（精确到0.01）.证明：令f(x)=x3-3x+1，则f(x)在区间［1，2］上的图象是一条连续不断的曲线.∵f(1)=1-3+1=-1＜0,f(2)=8-6+1=3＞0,∴f(1)·f(2)＜0,∴函数f(x)在区间（1，2）内必有一零点，∴方程x3-3x+1=0在区间（1，2）内必有一根x0.取区间(1,2)的中点x1=1.5，用计算器算得f(1.5)=-0.125.因为f(1.5)·f(2)＜0,所以x0∈(1.5,2).再取(1.5,2)的中点x2=1.75，用计算器算得f(1.75)=1.109375.因为f(1.5)·f(1.75)＜0，所以x0∈（1.5,1.75）.又取（1.5,1.75）的中点x3=1.625.用计算器算得f(1.625)=0.416015625.因为f(1.5)·f(1.625)＜0,所以x0∈(1.5,1.625).取（1.5,1.625）的中点x4=1.5625,用计算器算得f(1.5625)=0.127197265625.因为f(1.5)·f(1.5625)＜0,所以x0∈(1.5,1.5625).取（1.5,1.5625）的中点x5=1.53125时，用计算器算得f(1.53125)=-0.003387451171875.因为f(1.53125)·f(1.5625)＜0,所以x0∈(1.53125,1.5625).取（1.53125,1.5625）的中点x6=1.546875时，用计算器算得f(1.546875)=0.060771942138671875.因为f(1.53125)·f(1.546875)＜0,所以x0∈(1.53125,1.546875).同理，可算得f(1.53125)·f(1.5390625)＜0，x0∈(1.53125,1.5390625);f(1.53125)·f(1.53515625)＜0,x0∈(1.53125,1.53515625).又当取（1.53125,1.53515625）的中点x9=1.533203125时，
f(1.53125)·f(1.533203125)＜0，即x0∈(1.53125,1.533203125).由于|1.53125-1.533203125|=0.001953125＜0.01,此时区间（1.53125,1.533203125）的两个端点精确到0.01的近似值都是1.53，所以原方程精确到0.01的近似值为1.53.二、对二分法再理解【例2】有一块边长为30cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为xcm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，如果要做成一个容积是1200cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少厘米（精确到0.1cm）？解析：盒子的体积y和以x为自变量的函数解析式为y=(30-2x)2x.如果要做成一个容积是1200cm3的无盖盒子，那么有方程(30-2x)2x=1200,其定义域为{x|0＜x＜15＝.令f(x)=(30-2x)2x-1200，借助计算机画出函数图象.由图象可以看出，函数f(x)分别在区间（1，2）和（9，10）内各有一个零点，即方程(30-2x)2x=1200分别在区间（1，2）和（9，10）内各有一个解.下面用二分法求方程的近似解.取区间（1，2）的中点x1=1.5，用计算器算得f(1.5)=-106.5＜0.因为f(1.5)·f(2)＜0，所以x0∈(1.5,2).同理可得x0∈(1.5,1.75)，x0∈(1.625,1.75),x0∈(1.6875,1.75),x0∈(1.6875,1.71875),x0∈(1.6875,1.703125),x0∈(1.6875,1.6953125).由于|1.6953125-1.6875|=0.0078125＜0.1，此时区间（1.6875,1.6953125）的两个端点精确至0.1的近似值都是1.7，所以方程在区间（1，2）内精确到0.1的近似解为1.7.同理可得方程在区间（9，10）内精确到0.1的解为9.4.故如果要做成一个容积是1200cm3的无盖盒子，截去的小正方形的边长大约是1.7cm或9.4cm.温馨提示用二分法求方程的近似解的过程有两点须注意：1.计算量大；2.重复相同的计算步骤.因此，常借助计算器或通过设计一定的计算程序，借助计算机完成计算，在模块三同学们可以学到.三、“精确度为ε”与“精确到ε”【例3】借助计算器，分别按下面两种要求，用二分法求函数f(x)=lnx-在区间（2，3）内的零点：（1）精确度为0.1；（2）精确到0.1.解析：可证得函数在区间（2，3）上为增函数，由题设有f(2)≈-0.31＜0,f(3)≈0.43＞0,由于f(2)·f(3)＜0，故函数f(x)在区间（2，3）内有一个零点x0，即x0∈(2,3).下面用二分法求函数f(x)=lnx-在区间（2，3）内零点的近似值：取区间（2，3）的中点x1=2.5，用计算器算得f(2.5)≈0.12＞0，由于f(2)·
f(2.5)＜0,所以x0∈(2,2.5);再取区间（2，2.5）的中点x2=2.25，用计算器算得f(2.25)≈-0.08＜0,由于f(2.25)·f(2.5)＜0，所以x0∈(2.25,2.5).同理可得x0∈(2.25,2.375)，x0∈(2.3125,2.375).(*)（1）由于|2.3125-2.375|=0.0625＜0.1，所以区间［2.3125,2.375］上任意一个实数x0′均可作为f(x)在区间（2，3）内且精确度为0.1的零点的近似值（比如，可取x0′=2.35,2.342,2.375等）；（2）接（*），同理可得，x0∈(2.34375,2.375),x0∈(2.34375,2.359375),x0∈(2.34375,2.3515625),x0∈(2.34375,2.34765625).由于区间(2.34375,2.34765625)的两个端点精确到0.1的近似值都是2.3，所以函数f(x)在区间（2，3）内精确到0.1的零点的近似值为2.3.各个击破类题演练1求方程x3+x2-2x-2=0的一个正实数解（精确到0.1）.解析：列表：x01234…f(x)-2-262870…由表可知，f(1)·f(2)＜0，说明该方程在区间（1，2）内有正实数解.取区间（1，2）的中点x1=1.5，由计算器可算得f(1.5)=0.625＞0,因为f(1)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1,1.5).再取(1,1.5)的中点x2=1.25,由计算器可算得f(1.25)=-0.984＜0，因为f(1.25)·f(1.5)＜0,所以x0∈(1.25,1.5).同理可知x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375,1.438),而|1.375-1.438|=0.063＜0.1，此时区间（1.375,1.438）的两个端点精确到0.1的近似值都为1.4，所以方程的一个正实数解为1.4.变式提升1用二分法求的近似值（精确到0.01）.解析：设y=x3-3，则y=x3-3在（1，2）上是一条连续不断的曲线，∴y=x3-3在（1，2）上必有一零点x0.取（1，2）的中点x1=1.5,f(1.5)=0.375＞0,∴x0∈(1,1.5).再取（1，1.5）的中点x2=1.25,f(1.25)=-1.046875＜0,∴x0∈(1.25,1.5).再取（1.25,1.5）的中点x3=1.375,f(1.375)=-0.400390625＜0,∴x0∈(1.375,1.5).这样反复计算下去，直到x0∈(1.44140625,1.443359375).∵区间两个端点精确到0.01都是1.44，∴y=x3-3的一个零点为1.44.即精确到0.01的近似值为1.44.温馨提示
1.使用二分法的前提是：y=f(x)在［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)·f(b)＜0.2.使用二分法求函数零点的步骤：①可以结合函数图象来初步判断根的分布区间；②利用二分法算下去，直到满足题目的精确度要求为止；③根据精确度要求写出方程的近似解.3.二分法求解零点的缺点：二分法的思想虽然简单，但是一方面若函数y=f(x0)在［a,b］上有几个零点时，只算出其中一个零点；另一方面，即使函数y=f(x)在［a,b］上有零点，也未必有f(a)·f(b)＜0，即用二分法不能求函数的不变号零点，这就限制了二分法的使用范围.类题演练2一元二次方程可以用求根公式求根，但在没有求根公式的情况下，如何求方程2x3+3x-3=0的一个实数解？(精确度为0.01)解析:∵f(0)=-30,∴函数f(x)=2x3+3x-3在［0,2］内存在零点，即方程2x3+3x-3=0在(0,2)内有解.取(0,2)的中点1，f(1)=2>0.又f(0)
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