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人教版高一数学必修一同步课件：3.1.2用二分法求方程的近似解

2022-08-18
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3.1.2用二分法求方程的近似解一、二分法的概念1.满足的条件(1)函数y=f(x)在区间［a,b］上_________.(2)在区间端点的函数值满足______________.连续不断f(a)·f(b)＜0 2.操作过程把函数f(x)的零点所在的区间_________,使区间的两个端点逐步_________,进而得到零点的近似值.思考：已知函数y=f(x)在区间(2,3)内有零点,采用什么方法能进一步有效缩小零点所在的区间?提示：可采用“取中点”的办法逐步缩小零点所在的区间.一分为二逼近零点二、二分法求函数零点近似值的步骤f(a)·f(b)＜0ba(a,c)(c,b)a(或b）判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有函数的零点都可以用二分法来求.()(2)函数f(x)=|x|可以用二分法求其零点.()(3)二分法只可用来求函数的零点.() 提示：(1)错误.利用二分法求函数的零点必须满足函数图象在零点附近连续不断且零点两侧函数值异号.(2)错误.函数f(x)=|x|有零点是0，但该函数零点的两侧函数值都大于零，同号，故不能用二分法求零点.(3)错误.二分法也可以用来求方程的近似解.答案：(1)×(2)×(3)× 【知识点拨】1.二分法的实质二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,逐步逼近零点的方法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.2.理解二分法的概念时要注意的两点(1)二分法是求函数零点近似值的一种方法，根据题目要求的精确度，只需进行有限次运算即可.(2)它的依据是函数零点的判定定理，即根的存在性定理. 3.用二分法求函数零点的近似值的两个关键点(1)初始区间的选取，既符合条件(包含零点)，又要使其长度尽量小(关键词：选初始区间).(2)进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算(关键词：判断精确度). 4.二分法在求方程近似解中的应用(1)根据函数的零点与相应方程解的关系,求函数的零点与求相应方程的解是等价的,所以求方程f(x)=0的近似解,可按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.(2)对于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解,可以通过移项转化为求函数F(x)=f(x)-g(x)的零点的近似值,然后按照用二分法求函数零点的近似值的步骤求解. 类型一对二分法概念的理解【典型例题】1.下面关于二分法的叙述，正确的是()A.用二分法可求所有函数零点的近似值B.用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C.二分法无规律可循D.只有在求函数零点时才用二分法 2.观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是() 【解题探究】1.二分法的实质是什么？2.函数具有零点与该函数的图象有何关系？探究提示：1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,逐步逼近零点的方法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.2.函数有零点，则对应该函数图象与x轴有交点. 【解析】1.选B.只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错，二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错，求方程的近似解也可以用二分法，故D错.2.选A.由图象可得A中零点左侧与右侧的函数值符号不同，故可用二分法求零点. 【拓展提升】运用二分法求函数零点需具备的两个条件(1)函数图象在零点附近连续不断.(2)在该零点左右函数值异号. 【变式训练】对于二分法求得的近似解，精确度ε说法正确的是()A.ε越大，零点的精确度越高B.ε越大，零点的精确度越低C.重复计算次数就是εD.重复计算次数与ε无关【解析】选B.由精确度ε定义知，ε越大，零点的精确度越低. 类型二用二分法求函数的零点【典型例题】1.已知f(x)＝－lnx在区间(1,2)内有一个零点x0，若用二分法求x0的近似值(精确度0.2)，则最多需要将区间等分的次数为()A.3B.4C.5D.62.求函数f(x)=x3-3x2-9x+1的一个负零点(精确度为0.01). 【解题探究】1.在用二分法求函数的零点时，将选取的初始区间等分的次数由哪个因素决定？2.给定精确度ε,用二分法求函数f(x)的零点的初始区间是唯一的吗？探究提示：1.由所要求的精确度决定.2.给定精确度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的初始区间不是唯一的，所选的初始区间可以大些，也可以小些，虽然初始区间不同，最后结果不同，但都符合给定的精确度. 【解析】1.选A.由用二分法求函数零点近似值的步骤可知分一次f()＞0，区间长度|2-|=0.5＞0.2，分二次，f()＞0，区间长度|2-|=0.25＞0.2，分三次f()＜0,区间长度所以最多分三次可以使x0的近似值达到精确度0.2. 2.确定一个包含负数零点的区间(m，n)，且f(m)·f(n)0，f(-2)0,f(-2)0(-2,-1.5)f(x1)>0(-2,-1.75)f(x2)>0(-2,-1.875)f(x3)0(-1.9375,-1.921875)f(x6)>0(-1.9375,-1.9296875) 【互动探究】若题2已知函数不变，“试判断函数f(x)在［-2,-1］内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度为0.1)”，又如何求解呢？【解题指南】根据函数零点的存在性定理先判断出有无零点，若有，再根据二分法求函数零点的步骤逐次计算缩小区间，直到达到所要求的精确度停止计算，确定出零点的近似值. 【解析】因为f(-1)>0，f(-2)0,f(-2)0(-2,-1.5)f(x1)>0(-2,-1.75)f(x2)>0(-2,-1.875) 由于|-1.875+1.9375|=0.0625 查看更多

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