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2019_2020学年高中数学第2章基本初等函数（Ⅰ）2.3幂函数学案新人教A版必修1

2023-03-03
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2.3 幂函数学习目标核心素养1．了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、易混点)2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，掌握它们的性质．(重点、难点)3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点)1．结合幂函数的图象，培养直观想象的数学素养．2．借助幂函数的性质，培养逻辑推理的数学素养.1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．思考：幂函数与指数函数的自变量有何区别？[提示] 幂函数是形如y＝xα(α∈R)，自变量在底数上，而指数函数是形如y＝ax(a>0且a≠1)，自变量在指数上．2．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示：3．幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增函数x∈[0，＋∞)时，增函数x∈(－∞，0]时，减函数增函数增函数x∈(0，＋∞)时，减函数x∈(－∞，0)时，减函数1．下列函数中不是幂函数的是( )A．y＝ B．y＝x3C．y＝3xD．y＝x－1C [只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式，故选C.]2．已知f(x)＝(m＋1)x是幂函数，则m＝( )A．2B．1C．3D．0D [由题意可知m＋1＝1，即m＝0，∴f(x)＝x2.]3．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，则f(4)＝________． [由f(2)＝可知2α＝，即α＝－，∴f(4)＝4＝.]幂函数的概念【例1】已知y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3是幂函数，求m，n的值．[解] 由题意得解得所以m＝－3，n＝.判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.1.(1)在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( )A．0 B．1C．2D．3(2)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f的值等于________．(1)B (2) [(1)∵y＝＝x－2，∴是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0，1)，所以常函数y＝1不是幂函数．(2)设f(x)＝xα，∵f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log23，∴f＝＝.]幂函数的图象及应用【例2】点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)g(x)；(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；(3)当x∈(0，1)时，f(x)c>b>aB．a>b>c>dC．d>c>a>bD．a>b>d>c(2)函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是( )A B C D(1)B (2)B [(1)令a＝2，b＝，c＝－，d＝－1，正好和题目所给的形式相符合．在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d.故选B.(2)y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x－1的图象可看作由y＝x的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝x－1的图象关于x轴对称后即为选项B.]幂函数性质的综合应用[探究问题] 1．幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？提示：当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α30.7.(2)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.2131.8.又∵y＝1.8x是增函数，且>，∴1.8>1.8，∴2>1.8.(4)0.9＝，＝1.1.∵1.2>>1.1，且y＝x在[0，＋∞)上单调递增，∴1.2>>1.1，即1.2>0.9>.把本例的各组数据更换如下，再比较其大小关系：(1)与；(2)与；(3)与. [解] (1)因为幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上是单调递增的，又>，所以>.(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－.(3)因为函数y1＝为R上的减函数，又>，所以>.又因为函数y2＝x在(0，＋∞)上是增函数，且>，所以>，所以>.比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同．若底数相同，则利用指数函数的单调性比较大小；若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”，也可以是如例3(3)中的1.8.1．幂函数的概念是区别指数函数及处理幂函数相关问题的依据．判断一个函数是否为幂函数，其关键是判断其是否符合y＝xα(α为常数)的形式．2．幂函数的图象是幂函数性质的直观反映，会用类比的思想分析函数y＝xα(α为常数)同五个函数(y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x)图象与性质的关系．3．幂函数的单调性是比较幂值大小关系的重要依据，要学会用幂函数的图象及性质处理幂值大小的比较问题．1．思考辨析(1)幂函数的图象都过点(0，0)，(1，1)．( )(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限．( )(3)当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数．( )(4)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．幂函数的图象过点(2，)，则该幂函数的解析式是( )A．y＝x－1 B．y＝xC．y＝x2D．y＝x3B [设f(x)＝xα，则2α＝，∴α＝，∴f(x)＝x.选B.]3．函数y＝x的图象是( )A B C DC [∵函数y＝x是非奇非偶函数，故排除A、B选项．又>1，故选C.]4．比较下列各组数的大小：查看更多

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