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高考数学(山东专用)§2.3二次函数与幂函数
考点一 二次函数课标卷、其他自主命题省(区、市)卷题组1.(2017浙江,5,4分)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m( )A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关五年高考
答案B 本题考查二次函数在闭区间上的最值,二次函数的图象,考查数形结合思想和分类讨论思想.解法一:令g(x)=x2+ax,则M-m=g(x)max-g(x)min.故M-m与b无关.又a=1时,g(x)max-g(x)min=2,a=2时,g(x)max-g(x)min=3,故M-m与a有关.故选B.解法二:(1)当-≥1,即a≤-2时,f(x)在[0,1]上为减函数,∴M-m=f(0)-f(1)=-a-1.(2)当≤-0,所以f(x)在区间(a,+∞)上单调递增.(3)令h(x)=f(x)+,由(2)得,
h(x)=则h'(x)=当00,所以h(x)在区间(a,+∞)上单调递增.h(1)=4>0,h(2a)=2a+>0,①若a=2,则h(a)=-a2+a+=-4+2+2=0,
此时h(x)在(0,+∞)上有唯一一个零点;②若a>2,则h(a)=-a2+a+=-=-2时,f(x)+在区间(0,+∞)内有两个零点.
2.(2015浙江,18,15分)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值.(1)证明:当|a|≥2时,M(a,b)≥2;(2)当a,b满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值.
解析(1)证明:由f(x)=+b-,得图象的对称轴为直线x=-.由|a|≥2,得≥1,故f(x)在[-1,1]上单调,所以M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|}.当a≥2时,由f(1)-f(-1)=2a≥4,得max{f(1),-f(-1)}≥2,即M(a,b)≥2.当a≤-2时,由f(-1)-f(1)=-2a≥4,得max{f(-1),-f(1)}≥2,即M(a,b)≥2.综上,当|a|≥2时,M(a,b)≥2.(2)由M(a,b)≤2得|1+a+b|=|f(1)|≤2,|1-a+b|=|f(-1)|≤2,故|a+b|≤3,|a-b|≤3,由|a|+|b|=得|a|+|b|≤3.当a=2,b=-1时,|a|+|b|=3,|f(x)|=|x2+2x-1|,此时易知|f(x)|在[-1,1]上的最大值为2,即M(2,-1)=2.所以|a|+|b|的最大值为3.
考点一 二次函数三年模拟A组2017—2019年高考模拟·考点基础题组1.(2018河南安阳模拟,5)已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为( )A.1 B.0 C.-1 D.2答案A ∵f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+a+4,∴函数f(x)=-x2+4x+a在[0,1]上单调递增,∴当x=0时,f(x)取得最小值,当x=1时,f(x)取得最大值,∴f(0)=a=-2,f(1)=3+a=3-2=1,故选A.
2.(2018山东邹城第一中学期中,10)定义运算=ad-bc,若函数f(x)=在(-∞,m)上单调递减,则实数m的取值范围是( )A.(-∞,-5] B.(-∞,-5)C.[-5,+∞) D.(-5,+∞)答案Af(x)=(x+1)(x+3)-(-2)×3x=x2+10x+3,所以-≥m⇒m≤-5,故选A.
3.(2018湖北荆州模拟,8)二次函数f(x)满足f(x+2)=f(-x+2),且f(0)=3,f(2)=1,若在[0,m]上有最大值3,最小值1,则m的取值范围是( )A.(0,+∞) B.[2,+∞)C.(0,2] D.[2,4]答案D ∵二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),∴其图象的对称轴是x=2,又f(0)=3,∴f(4)=3,又f(2)k对x∈[-1,1]恒成立,求实数k的取值范围.解析(1)由题意可设f(x)=a(x+2+)(x+2-)(a≠0),由f(0)=1得a=1,∴f(x)=(x+2+)(x+2-)=x2+4x+1.(2)当x∈[-1,1]时,令t=,则t∈,由(1)知f(x)的图象开口向上,对称轴为直线x=-2,∴f(t)在t∈上单调递增.∴f(t)min=f=.∴实数k的取值范围是.
1.(2018陕西西安检测,3)函数y=的图象大致是( )考点二 幂函数答案Cy==,其定义域为x∈R,排除A,B.又0
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