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§2.3 幂函数学习目标 1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式(易错点).2.结合幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x的图象,掌握它们的性质(重点).3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小(重点).预习教材P77-P78,完成下面问题:知识点1 幂函数的概念一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.【预习评价】 (正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y=x-是幂函数.(  )(2)函数y=2-x是幂函数.(  )(3)函数y=-x是幂函数.(  )提示 (1)√ 函数y=x-符合幂函数的定义,所以是幂函数;(2)× 幂函数中自变量x是底数,而不是指数,所以y=2-x不是幂函数;(3)× 幂函数中xα的系数必须为1,所以y=-x不是幂函数.知识点2 幂函数的图象和性质(1)五个幂函数的图象:(2)幂函数的性质:幂函数y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定义域RRR[0,+∞)(-∞,0)∪ (0,+∞)值域R[0,+∞)R[0,+∞){y|y∈R,且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0,+∞),增x∈(-∞,0],减增增x∈(0,+∞),减x∈(-∞,0),减公共点都经过点(1,1)【预习评价】(1)设函数f(x)=x,则f(x)是(  )A.奇函数B.偶函数C.既不是奇函数也不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数(2)3.17-3与3.71-3的大小关系为________.解析 (1)易知f(x)的定义域为R,又f(-x)=-f(x),故f(x)是奇函数.(2)易知f(x)=x-3=在(0,+∞)上是减函数,又3.17f(3.71),即3.17-3>3.71-3.答案 (1)A (2)3.17-3>3.71-3题型一 幂函数的概念【例1】 (1)在函数y=x-2,y=2x2,y=(x+1)2,y=3x中,幂函数的个数为(  )A.0   B.1   C.2  D.3(2)若f(x)=(m2-4m-4)xm是幂函数,则m=________.解析 (1)根据幂函数定义可知,只有y=x-2是幂函数,所以选B.(2)因为f(x)是幂函数,所以m2-4m-4=1,即m2-4m-5=0,解得m=5或m=-1.答案 (1)B (2)5或-1规律方法 判断函数为幂函数的方法(1)只有形如y=xα(其中α为任意实数,x为自变量)的函数才是幂函数,否则就不是幂函数.(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,函数的解析式为一个幂的形式,且:①指数为常数,②底数为自变量,③底数系数为1.形如y=(3x)α,y=2xα,y=xα+5…形式的函数都不是幂函数.反过来,若一个函数为幂函数,则该函数也必具有这一形式. 【训练1】 若函数f(x)是幂函数,且满足f(4)=3f(2),则f的值等于________.解析 设f(x)=xα,因为f(4)=3f(2),∴4α=3×2α,解得:α=log23,∴f=log23=.答案 题型二 幂函数的图象及应用【例2】 (1)如图所示,图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象,已知n取±2,±四个值,则相应于C1,C2,C3,C4的n依次为(  )A.-2,-,,2B.2,,-,-2C.-,-2,2,D.2,,-2,-(2)点(,2)与点分别在幂函数f(x),g(x)的图象上,问当x为何值时,分别有:①f(x)>g(x);②f(x)=g(x);③f(x)0时,n越大,y=xn递增速度越快,故C1的n=2,C2的n=;当ng(x);②当x=1时,f(x)=g(x);③当x∈(0,1)时,f(x)0.3.(2)因为幂函数y=x-1在(-∞,0)上是单调递减的,又--1.【迁移1】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为“0.3与-0.3”,则二者的大小关系如何?解 因为-0.3=30.3,而y=x0.3在(0,+∞)上是单调递增的,又0.3.规律方法 比较幂值大小的三种基本方法【训练3】 比较下列各组数的大小:(1)0.5与0.5;(2)-3.143与-π3;(3)与.解 (1)∵y=x0.5在[0,+∞)上是增函数且>, ∴0.5>0.5.(2)∵y=x3是R上的增函数,且3.14<π,∴3.143<π3,∴-3.143>-π3.(3)∵y=x是R上的减函数,∴<.y=x是[0,+∞)上的增函数,∴>.∴>.课堂达标1.已知幂函数y=f(x)的图象经过点,则f(2)=(  )A.   B.4   C.  D.解析 设幂函数为y=xα,∵幂函数的图象经过点,∴=4α,∴α=-,∴y=x-,∴f(2)=2-=,故选C.答案 C2.下列函数中,其定义域和值域不同的函数是(  )A.y=x   B.y=x-   C.y=x  D.y=x解析 A中定义域值域都是R;B中定义域值域都是(0,+∞);C中定义域值域都是R;D中定义域为R,值域为[0,+∞).答案 D3.设a∈,则使函数y=xa的定义域是R,且为奇函数的所有a的值是(  )A.1,3   B.-1,1C.-1,3  D.-1,1,3解析 当a=-1时,y=x-1的定义域是{x|x≠0},且为奇函数;当a=1时,函数y= x的定义域是R且为奇函数;当a=时,函数y=x的定义域是{x|x≥0},且为非奇非偶函数.当a=3时,函数y=x3的定义域是R且为奇函数.故选A.答案 A4.函数y=x的图象是(  )解析 显然代数表达式“-f(x)=f(-x)”,说明函数是奇函数.同时由当01时,x,则>.从而-8-,所以- 查看更多

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