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对数及对数运算【学习目标】1．理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化；2．了解常用对数与自然对数的意义；3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；4．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明．5．能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用．【要点梳理】要点一、对数概念1．对数的概念如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b．其中a叫做对数的底数，N叫做真数．要点诠释：对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a>0且a¹1，N>0，bÎR．2．对数具有下列性质：（1）0和负数没有对数，即；（2）1的对数为0，即；（3）底的对数等于1，即．3．两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，．4．对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．要点二、对数的运算法则已知（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；推广：（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；要点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．如：log2（-3）（-5）=log2（-3）+log2（-5）是不成立的，因为虽然log2（-3）（-5）是存在的，但log2
（-3）与log2（-5）是不存在的．（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：loga（M±N）=logaM±logaN，loga（M·N）=logaM·logaN，loga．要点三、对数公式1．对数恒等式：2．换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有:（1）令logaM=b，则有ab=M，（ab）n=Mn，即，即，即:．（2），令logaM=b，则有ab=M，则有即，即，即当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论:．【典型例题】类型一、对数的概念例1．求下列各式中的取值范围：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）且【解析】（1）由题意，，即为所求．（2）由题意即．（3）由题意解得且．【总结升华】在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1．举一反三：【变式1】函数的定义域为．
【答案】类型二、指数式与对数式互化及其应用例2．将下列指数式与对数式互化：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【解析】运用对数的定义进行互化．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段．举一反三：【变式1】求下列各式中x的值：（1）（2）（3）lg1000=x（4）【答案】（1）；（2）；（3）3；（4）-4．【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x．（1）；（2）；（3）10x=1000=103，于是x=3；（4）由．【高清课堂：对数及对数运算369068例1】【变式2】计算：并比较．【解析】．类型三、利用对数恒等式化简求值例3．不用计算器计算：【答案】【解析】原式
【总结升华】对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数．举一反三：【变式1】求的值（a，b，c∈R+，且不等于1，N>0）【答案】【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算．．类型四、积、商、幂的对数【高清课堂：对数及对数运算369068例3】例4．表示下列各式【解析】（1）；（2）；（3）；（4）=．【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．举一反三：【变式1】求值（1） （2）lg2·lg50+（lg5）2（3）lg25+lg2·lg50+（lg2）2【答案】（1）22；（2）1；（3）2．【解析】（1）（2）原式=lg2（1+lg5）+（lg5）2=lg2+lg2lg5+（lg5）2=lg2+lg5（lg2+lg5）=lg2+lg5=1（3）原式=2lg5+lg2（1+lg5）+（lg2）2=2lg5+lg2+lg2lg5+（lg2）2=1+lg5+lg2（lg5+lg2）=1+lg5+lg2=2．类型五、换底公式的运用例5．已知，求．【答案】【解析】解法一：，，
于是．解法二：，，于是解法三：，，．解法四：，又．令，则，即．【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．（3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用．举一反三：【变式1】求值：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）；（2）；（3）法一：法二：．类型六、对数运算法则的应用例6．（2016春陕西期中）计算
（1）（2）（3）（4）【思路点拨】根据对数和批数的运算性质计算即可．【答案】（1）；（2）0；（3）3；（4）44．【解析】（1）（2）原式==（3）原式=（4）．举一反三：【变式1】计算下列各式的值（1）；（2）．【答案】（1）3；（2）1．【解析】（1）原式==2=2+1=3；（2）原式=+==．【变式2】已知，则．【思路点拨】判断出，根据分段函数的式子求解，再利用对数运算求解．【答案】3【解析】∵，
∴，故答案为：3
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