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高中数学 1.3.2函数的奇偶性精讲精析新人教A版必修

2022-10-10
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课题：1.3.2函数的奇偶性学习目标展示1.使学生理解奇函数、偶函数的概念，会运用定义判断函数的奇偶性；2.会由函数的图象研究函数的单调区间及了函数的单调性；3.以能由单调性的定义判断并证明函数的单调性；衔接性知识1.画出下列函数的图象（1）(2)（3）（4）(5)2.上述的函数图象有什么特点？它们有对称轴与对称中心吗？基础知识工具箱要点定义符号奇函数设函数y＝f(x)的定义域为，如果对于内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做奇函数若定义域关于原点对称，则是奇函数对任意都成立偶函数设函数y＝f(x)的定义域为，如果对于内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做偶函数若定义域关于原点对称，则是偶函数对任意都成立奇函数性质设是奇函数，则①②③图象关于原点对称，反之也成立.④若有定义，则偶函数性质设是偶函数，则①②③图象关于轴对称，反之也成立奇偶性与单调性的关系若为奇函数，则与时单调性相同；若为偶函数，则与时单调性相反判断函数奇偶性的步骤求定义域化简解析式计算结论典例精讲剖析例1.判断下列函数的奇偶性(1)；(2)；(3)；(4)；(5)（6）(7)（8）解：（1）由已知，得，的定义域为，是奇函数（2）的定义域为，，是偶函数（3）的定义域为，，是偶函数（4）的定义域为，，，，且为非奇非偶函数（5）由，得，所以的定义域为，定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数（6）由，的定义域为，定义域关于原点对称，，且所以既然是奇函数也是偶函数（7）的定义域为，，是偶函数（8）由得－1≤x≤1且x≠0，定义域关于原点对称，又－1≤x≤1且x≠0时，f(x)＝＝，∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．例2.已知函数的图象关于原点对称，且当时，.试求在上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间解： ∵函数的图象关于原点对称．∴为奇函数，则，设，则，∵时，，∴于是有：先画出函数在y轴右边的图象，再根据对称性画出y轴左边的图象．如下图．由图象可知的单调递增区间是、∞)，单调递减区间是、．例3.如果奇函数f(x)在区间[1,6]上是增函数，且最大值为10，最小值为4，那么f(x)在[－6，－1]上是增函数还是减函数？求f(x)在[－6，－1]上的最大值和最小值解：设，则，∵在[1,6]上是增函数且最大值为10，最小值为4，∴，又∵为奇函数，∴，∴，即在[－6，－1]上是增函数，且最小值为－10，最大值为－4.例4.(1)如图①是奇函数的部分图象，则＝.(2)如图②是偶函数的部分图象，比较与的大小的结果为．解：(1)∵奇函数的图象关于原点对称，且奇函数图象过点(2,1)和(4,2)，∴必过点(－2，－1)和(－4，－2)，∴＝(－2)×(－1)＝2.(2)∵偶函数满足，∴．精练部分A类试题（普通班用） 1．下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( )A．y＝x3B．y＝－x2＋1C．y＝|x|＋1D．y＝2－|x|[答案] C[解析] 由偶函数，排除A；由在(0，＋∞)上为增函数，排除B，D，故选C2.若函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a＝[答案]－1[解析] 解法1：f(x)＝x2＋(a＋1)x＋a为偶函数，∴a＋1＝0，∴a＝－1.解法2：∵f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，∴对任意x∈R，有f(－x)＝f(x)恒成立，∴f(－1)＝f(1)，即0＝2(1＋a)，∴a＝－13．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝.[解析] (1)f(－x)＝，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)f(－x)＝≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，∴f(x)既不是奇函数，又不是偶函数．4．函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且，求函数f(x)的解析式．[解析] 因为f(x)是奇函数且定义域为(－1,1)，所以f(0)＝0，即b＝0.又，所以＝，所以a＝1，所以f(x)＝5．已知f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)的图象是经过点(3，－6)，顶点为(1,2)的抛物线的一部分，求f(x)的解析式，并画出其图象．[解析] 设x≥0时，f(x)＝a(x－1)2＋2，∵过(3，－6)点，∴a(3－1)2＋2＝－6，∴a＝－2.即f(x)＝－2(x－1)2＋2.当x0，f(－x)＝－2(－x－1)2＋2＝－2(x＋1)2＋2，∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝2(x＋1)2－2，即f(x)＝，其图象如图所示． B类试题（3+3+4）（尖子班用）1．下列命题中错误的是( )①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数②奇函数的图象一定过原点③偶函数的图象与y轴一定相交④图象关于y轴对称的函数一定为偶函数A．①② B．③④C．①④D．②③[答案] D[解析] f(x)＝为奇函数，其图象不过原点，故②错；y＝为偶函数，其图象与y轴不相交，故③错．2．下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( )A．y＝x3B．y＝－x2＋1C．y＝|x|＋1D．y＝2－|x|[答案] C[解析] 由偶函数，排除A；由在(0，＋∞)上为增函数，排除B，D，故选C.3．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f(2x－1) 查看更多

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