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1.2.2_函数的表示方法

2022-09-30
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1.2.2函数的表示方法目标：函数的三种表示方法、分段函数一.函数的表示方法函数的表示方法常用的有三种方法，即列表法、图象法和解析法.1.列表法.列表法，就是以表格的形式给出两个变量之间的函数关系.例：已知1949~1999年我国人口数据表如下：年份1949195919641969197419791984198919941999人口数（百万）5426727058079099751035110711771246这个表格就给出年份与人口数（百万）之间的函数关系.用列表法表示函数关系的优点是，不必通过计算就能够知道当自变量取某些值时函数的对应值.2.图象法图象法，就是用函数的图象来表示两个变量之间的函数关系.例：某地一天24小时的气温与时间的函数关系如下图：问：这天上午从0：00到10：00气温的变化情况；从10：00到24：00气温的变化情况；这一天的什么时候的气温最高、什么时候的气温最低？图象法表示函数的优点是能够直观地表示出随着自变量的变化函数值的变化情况.注意：画函数的图象，不仅要依据函数的表达式，而且还必须考虑函数的定义域.3.解析法解析法，就是用一个等式来表示两个变量之间的函数关系，这个等式就叫做函数的解析表达式，简称为（函数的）解析式.例1.下列函数函数都是用解析式表示的函数：..用解析式表示函数关系的优点是，函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质.注意以下几个问题：①.解析法能够精确地表示函数关系，是最常用的一种方法，中学数学中研究的函数主要是用解析式表示的函数.②.根据函数的解析式作函数的图象时，有时要先将函数的解析式进行化简，然后再作图，当化简解析式时要注意保持其等价性.③.函数的图象是函数的重要内容，要学会应用函数的图象解决问题。数形结合、数性转换是重要的数学思想，利用函数的图象解决有关问题就是这一思想的体现.④.有些函数在函数定义域的不同部分函数的表达式要用不同的解析式来表示，这样的函数我们称之为分段函数.比如：函数；比如：函数.注意以下几个方面的理解.①.分段函数的定义域是各段定义域的总和（并）；②.分段函数各段的定义域互不重叠；③.分段函数的值域是各段值域的总和（并）；④.分段函数的图象可能是连续的，也可能是间断的.一般地，含有绝对值的函数都可以用分段函数来表示.例2.函数就可以用分段函数表示为.例3.函数就可以用分段函数表示为.例4.画出函数的图象.二.课堂练习：练习.三.小结本节主要介绍函数的常用的三种表示方法，特别是用解析式表示函数尤为重要，在解析法中又有一个分段函数问题，这是一个比较容易出错的地方，应该注意的几点务必掌握到位. 四.典型例题1.如下图，可以作为函数的图象的是（）2.一个面积为的等腰梯形，上底长为，下底长为上底长的3倍，则把它的高表示成的函数为（）A.B.C.D.3.一个水池有2个进水口，1个出水口，进出水的速度如图甲、乙所示.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一个水口）现给出以下3个论断：①.0点到3点只进水不出水；②.3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水.其中正确论断的个数是（）A.0B.1C.2D.34.如果，则当时，等于（）A.B.C.D.5.已知，，则等于（）A.B.C.D. 6.已知函数，①.点在的图象上吗？②.当时，求的值；③.当时，求的值.7.函数的图象如图所示.①.求函数的定义域；②.求函数的值域；③.为何值时，只有唯一的值与之对应？8.函数的函数值表示不超过的最大整数，比如，；.当时，写出函数的解析式，并作出函数的图象.9.求下列函数的解析式.①.已知，求；②.已知是一次函数，且有，求函数的解析式.③.函数满足，其中都是非零常数，，求函数的解析式. 10.已知二次函数满足，且方程的两根平方和为10，函数图象过点.求函数的解析式.11.定义在上的函数，满足，且对于任意实数都有，求函数的解析式.12.某汽车以52千米/小时的速度从A地到260千米远处的B地，在B地停留1.5小时后，再以65千米/小时的速度返回A地，试将汽车离开A地后所走的路程S表示为时间t的函数.（分析：在实际问题中建立的函数关系式都需要注意自变量的取值范围，这里我们实际上是求一个分段函数的解析式，要注意根据题设写出函数的定义域.）ABCDP13.如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由B（起点）向A（终点）运动，设点P运动的路程为，APB的面积为.①.求与之间的函数关系式.②.画出函数的图象. 14.如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是，从P点沿海岸正东处有一个城镇.①.假设一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度为，用（单位：）表示他从小岛到城镇的时间，用（单位：）表示此人将船停在海岸处距点的距离，试将表示为的函数.②.如果将船停靠在距点处，那么从小岛到城镇需要多少时间？五.补充练习1.已知，则的值为（）A.0B.C.D.2.若函数的定义域是，则函数的定义域是（）A.B.C.D.3.已知，则函数的解析式为（）A.B.C.D. 4.若，，则等于（）A.1B.15C.4D.305.如图，已知函数的图象，则（）A.B.C.D.6.在函数的图象上有一点，此函数与轴，直线及围成图形（如图阴影部分）的面积为，则与的函数关系图可表示为（）7.已知，求的表达式.8.如果，求一次函数的表达式.9.，求. 10.已知，求的值.11.设是定义在R上的函数，满足，并且对于任意的实数都有，求函数的表达式.12.作出下列函数的图象.①.②.13.已知，解不等式：.14.已知，求. 查看更多

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