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【重点知识归纳及讲解】1、公约数、最大公约数和互质数的意义 （1）公约数的意义。几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。 如：12和18的公约数有：1、2、3、6. （2）最大公约数的意义。几个数的公约数中最大的一个，叫这几个数的最大公约数。如：12和18的最大公约数是6. （3）互质数的意义。公约数只有1的两个数，叫做互质数。如：3和8是互质数，15和16也是互质数。 ①成为互质数的两个数，不限定必须是质数。 ②质数和互质数的意义不同。质数是就一个数说的，互质数是就两个数的关系说的。2、注意：求两个数的最大公约数的两种特殊情况。 ①如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。如：15和45的最大公约数是15。②如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。如：8和15的最大公约数是1。3、解题技巧指点： （1）求几个数的最大公约数时，要正确地理解和运用“最大公约数乘半边”这一规律，即求最大公约数时，要把所有的除数都乘起来。 （2）用短除法求两个数的公约数时，不一定要用最小的质数去除，也可以用较大的合数甚至是最大的公约数去除。 （3）用短除法求两个数的最大公约数时，最后的两个商一定要是互质数，否则，求得的结果就不是最大公约数。 （4）正确判断是求已知几个数的最大公约数还是求最小公倍数是应用题的解题关键。技巧是：如果所求的数能够整除几个已知同类数，是求最大公约数的问题；如果所求数必须能同时被已知几个同类数整除，是求最小公倍数问题。如： ①用某数去除23、32结果都余2，问这个数最大是多少？（求最大公约数问题） ②某班同学如果每8人一组，或是每12人一组，结果都差3人，求某班学生最少有多少人？（求最小公倍数问题）4、求两个数最小公倍数的两种特殊情况。 （1）如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数，如：12和6的最小公倍数是12. （2）如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。5、求三个数的最小公倍数的方法． 先用三个数的公有质因数去除，当三个数公有的质因数都找尽以后，再用任何两个数的公有质因数去除，把不能整除的那个数移下来，写在商的位置上，一直除到最后的三个商每两个数都是互质数（两两互质）为止。再把所有的除数和商都乘起来。例1、求18和30的最大公约数。分析： 用短除法求两个数的最大公约数。一般先用这两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来。
解：3、求最大公约数的实际应用。例2、有两根木料，一根长12米，另一根长18米，现在要把它们截成相等的小段，每根不许有剩余，每小段最长是多少？一共可以截成多少段？分析： 这里求每小段最长是多少米，就是求12和18的最大公约数。 2＋3=5（段）答：每小段最长6米，一共可以截5段。4、求两个数的最小公倍数的方法。例3、求18和30的最小公倍数。分析： 用短除法求两个数的最小公倍数。一般先用这两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数和商连乘起来。答：18和30的最小公倍数是2×3×3×5＝90.5、求最小公倍数的实际应用。例4、一些小朋友分组做游戏，第一次分组每组4人余下2人，第二次分组每组5人也余下2人，第三次分组每组6人还是余下2人。问最少有多少名小朋友做游戏？分析： 根据题意，要求最少有多少名小朋友做游戏，就是在求出4、5、6这三个数的最小公倍数后，再加上2。
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