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小学奥数练习卷（知识点：约数个数与约数和定理）题号二三总分得分注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）评卷人得分一.选择题（共1小题）1.恰有20个因数的最小自然数是（）D.432A.120B.240C.360第II卷（非选择题）评卷人得分二.填空题（共40小题）2.写出不大于100且恰有8个约数的所有自然数是.3.己知自然数n有10个约数，2n有20个约数，3n有15个约数，那么6n有个约数.4.一个自然数恰有48个约数，并且其中有10个连续的自然数，那么这个数的最小值是・5.自然数N有很多个约数，把它的这些约数两两求和得到一组新数，其中最小的为4,最大的为2684,N有个约数.6.四位数双成成奴的所有因数中,有3个是质数，其它39个不是质数•那么，四位数成双双成有个因数.
1.四位数双成成双的约数中，恰有3个是质数，39个不是质数，四位数双成成双的值是.&大于0的自然数，如果满足所有因数之和等于它自身的2倍，则这样的数称为完美数或完全数.比如，6的所有因数为1,2,3,6,1+2+3+6=12,6就是最小的完美数.是否有无限多个完美数的问题至今仍然是困扰人类的难题之一•研究完美数可以从计算自然数的所有因数之和开始，81的所有因数之和为.9•恰好有12个不同因数的最小的自然数为•10.有10个不同因数的最小自然数为•口・两个正方形的面积Z差为2016平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有对.12.60的不同约数（1除外）的个数是・13.如果一个自然数N（N>1）满足：N的因数个数就是其个位数字，那么这样的N就称为〃中环数〃（比如34=2X17,所以它有4个因数，正好就是34的个位数字，所以34就是一个〃中环数〃）・在2〜84屮，一共有个仲环数〃.14・在所有正整数中，因数的和不超过30的共有个.15.一个五位数ABCDE是2014的倍数，并且顾恰好有16个因数，则ABCDE的最小值是・16.整数n—共有10个因数，这些因数从小到大排列，第8个是号.那么整数n的最大值是・17.一个数恰好有8个因数，己知35和77是其中两个，则这个数是・18.在1〜600中，恰好有3个约数的数有个.19.已知a、b是两个不同的正整数，并Ha、b的约数个数与2013的约数个数相同，则两数之差（大减小）的最小值为・20・用同表示a的不同约数的个数.如4的不同约数有1,2,4共3个，所以E1=3,那么（@-0）4-13=.21.一个自然数恰有9个互不相同的约数，其中3个约数A,B,C满足：
①A+B+C二79②AXA二BXC那么，这个自然数是・22.有一个自然数A,它的平方有9个约数，老师9个约数写在9张卡片上，发给学学三张、思思三张.学学说：“我手中的三个数乘积是A3•〃思思说：〃我手中的三个数乘积就是"，而且我知道你手中的三个数和是625.那么，思思手屮的三个数和是・23・一个四位数，他最小的8个约数的和是43,那么这个四位回文数是・(回文数例如：1111>4334、3210123)24.—个止整数恰有8个约数，它的最小的3个约数的和为15,且这个四位数的一个质因数减去另一个质因数的5倍等于第三个质因数的2倍，这个数是.25・定义：AdB为A和B乘积的约数个数，那么，1口8+2口7+3口6+4口5二・26.己知自然数N的个位数字是0,且有8个约数，则N最小是・27・一个合数至少有3个约数.•(判断对错)28.把72的所有约数从小到大排列，第4个是・29.把360的所有约数从小到大排列，第4个数是4,那么倒数第4个数是.30.已矢0360=2X2X2X3X3X5,那么360的约数共有个.31・一个正整数，它的2倍的约数恰好比它自己的约数多2个，它的3倍的约数恰好比它自己的约数多3个.那么，这个正整数是・32.已知300=2X2X3X5X5,则300—共有不同的约数.33.A、B两数都只含有质因数3和4,它们的最大公约数是36.已知A有12个约数，B有9个约数，那么A+B二・34・能被2345整除H恰有2345个约数的数有个.35・分母是3553的最简真分数的和是・36.若用G(a)表示自然数a的约数的个数，女口：自然数6的约数有1、2、3、6,共4个，记作G(6)=4,则G(36)+G(42)=・37・聰聰先求出自然數N的所有約數，再將這些約數兩兩求和，結果發現，最
小的和是3,最大的和是2010,那麼這個自然數N是・38.自然数N有20个正约数，N的最小值为・39.一个自然数恰好有18个约数，那么它最多有个约数的个位是3・40・数22X33X55有个不同的约数.41.设数A共有9个不同约数，B共有6个不同约数，C共有8个不同约数，这三个数中的任何两个都互不整除，则三个数之积的最小值是・评卷人得分一.解答题（共9小题）42.已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10,这些白然数共有多少个？43・A、B、C、D是一个等差数列，并且A有2个约数、B有3个约数、C有4个约数、D有5个约数.那么，这四个数和的最小值是・44.如果一个数的奇约数个数有2m（（m为自然数），则我们称这样的数为“中环数〃，比如3的奇约数有3,一共2=2\所以3是一个“中环数〃.再比如21的奇约数有1,3,7,21,4=22,所以21也是一个屮环数.我们希望能找到n个连续的中环数.求n的最人值.45.如果一个自然数的约数的个数是奇数，我们称这个自然数为〃希望数〃，那么，1000以内最大的"希望数〃是・46.求100至160之间有8个约数的数.47.2008的约数有个.48.100以内共有8个约数的数共有多少个？它们各是多少？49・已知三位数240有d个不同的约数（因子），求d的值.50・求360所有约数的和.参考答案与试题解析一.选择题（共1小题）
1•恰有20个因数的最小自然数是（）A.120B.240C・360D・432【分析】首先把20拆成几个数的乘积，利用求约数个数的方法，从最小的质因数2考虑，依次增大，找出问题的答案即可.【解答】解：20=20=2X10=4X5=2X2X5；四种情况下的最小自然数分别为:2現29X3、24X3\24X3X5,其中最小的是最后一个24X3X5=240.故选：B.【点评】此题巧用求一个数约数的方法,从最小的质因数着手，分析不同的情形，得出结论.一.填空题（共40小题）2.写出不大于100且恰有8个约数的所有自然数是24、30、40、42、54、56、66、70、78、88・【分析】恰有8个约数的自然数，具有形式abc或ab?或a7（a.b>c是不同的质数），由此可得结论.【解答】解：根据题意可得：2X3X5=30,2X3X7=42,2X3X11=66,2X3X13=78,2X5X7=70；3X23=24,5X23=40,7X2咯56,11X23=8&2X33二54；27=128>100.所以，所求的数从小到大依次是：24、30、40、42、54、56、66、70、78、88共十个.故答案为：24、30、40、42、54、56、66、70、78、88.【点评】木题考查约数个数问题，考查学生分析解决问题的能力，确定恰有8个约数的自然数，具有形式abc或ab?或a7（a.b、c是不同的质数）是关键.3.已知自然数n有10个约数，2n有20个约数，3n有15个约数，那么6n有30个约数.【分析】n有10个约数，而2n有20个约数，按约数和定理，得知n的分解式
中不含有2,3n有15个约数，假设3n的分解式中不含有3,则3n的约数应该是(1+1)X10=20个，则n的分解式中含有一个3,6n分成2X3Xn,再根据约数和定理，可以求得约数的个数.【解答】解：根据分析，n有10个约数，2n有20个约数，按约数和定理，又・・•誥音，・・・n的质因数分解式中含有0个2；设n=3amx,乂・・•展莘，・・・n的质因数分解式中含有一个3,101+1根据约数和定理，得n的约数和为:(a+1)(x+1)=10,解得：a=l,x=4,此时n=3Xm4；故6n=2X3Xn=2X3X3Xm4=2X32Xm4,其约数和为：(1+1)X(2+1)(4+1)=2X3X5=30,故答案是：30.【点评】本题考查了约数个数与约数和定理，本题突破点是：根据约数和定理确定分解式中2和3的个数，再算约数的个数.2.一个自然数恰有48个约数，并且其中有10个连续的自然数，那么这个数的最小值是2520.【分析】因为这个数屮的因数屮有10个连续的自然数，那么这个数最小是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的最小公倍数，然后再验证这个最小公倍数是不是有48个约数.如果验证不到，再求2、3、4、5、6、7、8、9、10、的最小公倍数，就这样去尝试.【解答】解：因为10=2X5,9=3X3,8=4X2,所以这10个数的最小公倍数，也就是7、8、9、10的最小公倍数.7、8的最小公倍数是56,9、10的最小公倍数是90,56和90的最小公倍数是2520.将2520分解质因数得23X32X5X7,所以它的因数个数是(3+1)X(2+1)X(1+1)X(1+1)=48个故此题填2520.【点评】此题考查是求公倍数的方法，以及如何去求约数的个数，釆用的是假设验证的解题策略.
2.自然数N有很多个约数，把它的这些约数两两求和得到一组新数，其屮最小的为4,最大的为2684,N有8个约数.【分析】最小的数为4,则约数最小的数为1,另外一个第二小的约数为4-1=3,即：3是N的一个约数，最大的约数是本身，第二大的约数和第二小的约数相乘结果即为本身，所以第二大的约数为：#，再根据最大的两约数和为2684,可以求出N的值，用约数和定理求出约数的个数.【解答】解：根据分析，约数最小的数为1,最小的两个约数和为4,则第二小的约数为：4・1二3,约数是成对出现的，N=1XN=3X与，即与是第二大的约数，由于最大的两约数和33为2684,则有：N+学2684，解得：N二2013,分解质因数2013=3X11X61,根据约数和定理，得：2013的约数个数为：(1+1)X(1+1)X(1+1)X(1+1)二8个，故答案是：&【点评】本题考查了约数和定理与因数倍数知识，突破点是：根据约数和第二大和第二小约数，再求出N,再算其约数的个数.3.四位数双成成戒的所有因数中,有3个是质数，其它39个不是质数.那么，四位数成取取成有12个因数•【分析】首先判断文字中含有隐含的数字，奇偶位数和相等是口的倍数，在分析因数的个数，同时注意题中说的是3个质数.42需要分解成3个数字相乘有唯一情况.再枚举即可.【解答】解：首先根据奇偶位数和相等一定是11的倍数.因数一共的个数是3+39=42(个),将42分解成3个数字相乘42=2X3X7.双成成双二aXI?X“如果是11X52X26=176OO(不是四位数不满足条件)•再看一下如果这个数字最小是双成成双二11X32X26=6336.成双双成二3663二11X37X3?・因数的个数共2X2X3=12（个）・
故答案为：12个.【点评】本题考查因数个数的求解同时考查质数与合数的理解和运用，题中隐含数字口就是本题的突破口，同时关键分析42分解成2X3X7的情况.实际就是特殊的情况，都是最小的质数.问题解决.2.四位数双成成双的约数屮,恰有3个是质数，39个不是质数，四位数双成成双的值是6336・【分析】根据因数个数是42个同时需要有3个质数，42分解成3个数字相乘就有唯一情况.同吋这四位数中奇数偶数位数和相等.满足11整除特性.接下来从最小的情况枚举尝试即可・【解答】解：根据双成成双奇数偶数位数和相等,所以一定是11的倍数，因数个数是3+39=42个•四位数含有3个质数，需要将42分解成3个数字相乘・42二2X3X7・所以双成成双可以写成aXb2Xc6.那么看一下质数是最小的是什么情况・11X32X26=6336.当质数再打一点b二5时，c二2时，11X52X26=176OO（不满足是四位数的条件）.故答案为：6336.【点评】本题考查因数个数的求法，同时对质数的理解和运用，突破口是42需要分解成3个数字相乘有唯一情况.同时数字是11的倍数.最后发现实际都是特殊情况唯一确定.问题解决.&大于0的自然数，如果满足所有因数之和等于它自身的2倍，则这样的数称为完美数或完全数.比如，6的所有因数为1,2,3,6,1+2+3+6=12,6就是最小的完美数.是否有无限多个完美数的问题至今仍然是困扰人类的难题乞一・研究完美数可以从计算自然数的所有因数Z和开始，81的所有因数之和为121.・【分析】先找出81的所有因数，再把81的所有因数相加即可.【解答】解：81的因数：1、3、9、27、81,81的所有因数之和为：1+3+9+27+81=121,故答案为:121.
【点评】本题关键是找到81的所有因数.9.恰好有12个不同因数的最小的自然数为60.【分析】首先把12分成两个数的乘积或3个数的乘积，用因数减1当所求自然数的质因数个数，从最小的质数2开始考虑，使2的个数最多，算岀乘积比较得出答案.【解答】解：12=1X12=2X6=3X4=2X2X3,有12个约数的自然数有：©2X2X...X2X2（口个2）=2048,②2X2X...X2（5个2）X3=96,（3）2X2X2X3X3=72,@2X2X3X5=60；从以上可以看出只有④的乘积最小；所以有12个约数的最小自然数是60.故答案为：60.【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=paXq3Xrv（其中a为合数，p、q、r是质数），则a的约数共有（ot+1）（p+1）（y+l）个约数.10.有10个不同因数的最小自然数为48・【分析】首先把10分成两个数的乘积或3个数的乘积，用因数减1当所求自然数的质因数个数，从最小的质数2开始考虑，使2的个数最多，算出乘积比较得岀答案.【解答】解：因为10=2X5=1X10,210=1024,2°X3=48,所以一个自然数有10个不同的约数，则这个自然数最小：24X3=48；故答案为：48.【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=paXqPXrv（其屮a为合数，p、q、r是质数），则a的约数共有（a+2）（p+1）（y+l）个约数.
口.两个正方形的面积之差为2016平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足上述条件的所有止方形共有12对.【分析】假设大正方形的边长为x,小正方形的为y,x2-y2=(x+y)(x-y)=2016,x+y与x-y奇偶性相同，乘积2016是偶数，所以必是偶数，据此分解质因数2016=25X32X7,然后解答即可.【解答】解：假设大正方形的边长为x,小止方形的为y,有题意可得：x2-y2=2016,因式分解：(x+y)(x-y)=2016,x+y与x-y奇偶性相同，乘积2016是偶数，所以必是偶数，2016=25X32X7,2016因数的个数：(1+5)X(2+1)X(1+1)=36(个)，共有因数36*2=18对因数，其屮奇因数有：(2+1)X2二6对，所以偶数有:18-6=12对，即，满足上述条件的所有正方形共有12对.故答案为：12.【点评】本题考查了约数个数的定理和奇偶性问题，关键是得到2016的约数的个数，难点是去掉几个奇因数；本题还可以根据x+y与x-y都是偶数，它们的积至少含有4这个偶数，所以2016^4=504,然后确定504的约数是24个，即12对即可.12.60的不同约数(1除外)的个数是11・【分析】先将60分解质因数，60=2X2X3X5,再写成标准式是22X3X5,再利用约数个数公式，约数个数二不同质因数指数加1然后再相乘，最后减去1,即得答案.【解答】60分解质因数60=2X2X3X5,再下称标准式是22X3X5,再利用约数个数公式，约数个数二不同质因数指数加1然后再相乘.60的不同约数(1除外)的个数是(2+1)X(1+1)X(1+1)-1=11个.答：答案是口个.
【点评】约数个数公式的推导要用乘法原理，当然此题也可以用列举法求解.13・如果一个自然数N(N>1)满足：N的因数个数就是其个位数字，那么这
样的N就称为〃中环数〃（比如34=2X17,所以它有4个因数，止好就是34的个位数字，所以34就是一个〃中坏数〃）・在2〜84中，一共有6个"中环数〃・【分析】由题意，对N的因数个数分类讨论，由此即可得出结论.【解答】解：由题意，N的因数个数是2,N就是2；N的因数个数是3,则N是完全平方数，由于末尾是3,不存在N满足题意;N的因数个数是4,由于末尾是4,则满足条件的数为14,34,74；N的因数个数是5,则N是完全平方数，由于末尾是5,不存在N满足题意;N的因数个数是6,则N是76满足题意;同理78满足题意,所以在2〜84中，〃中环数〃是2,14,34,74,76,78,故答案为6.【点评】本题考查因数与倍数，考查新定义，解题的关键是对N的因数个数分类讨论.12.在所有止整数中，因数的和不超过30的共有19个.【分析】由于一个数的因数包括本身，则这个数一定不超过30,则依此可以一一检验得到符合题意的正整数的个数.【解答】解：根据分析，此正整数不超过30,故所有不超过30的质数均符合条件，有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共10个；其它非质数有：1>4、6、8、9、10、12、14、15共9个满足条件，故满足因数的和不超过30的止整数一共有：10+9=19个.故答案为：19.【点评】本题考查了约数的个数知识，突破点是：从质数开始排查，再检验其它非质数.13.一个五位数ABCDE是2014的倍数，并且顾恰好有16个因数，则ABCDE的最小值是24168.【分析】2014的倍数是五位数的数最小从10070开始，再根据顾的约数个数,来确定这个五位数的最小值.【解答】解：根据分析，2014的倍数是五位数的数：①最小是10070=5X2014,末尾三位是：70=2X5X7,约数个数为：(1+1)(1+1)(1+1)二8个；②12084=6X2014,末三位是：84=22X3X7,约数个数为：(2+1)(1+1)(1+1)=12个;
①14098=7X2014,末三位是：98=2X72,约数个数为：(1+1)(2+1)=6个;②16112=8X2014,末三位是：112=24X7,约数个数为：(4+1)(1+1)二10个;③18126=9X2014,末三位是：126=2X32X7,约数个数为：(1+1)(2+1)(1+1)二12个；@20140=10X2014,末三位是：140=22X5X7,约数个数为：(2+1)(1+1)(1+1)=12个;⑦22154=11X2014,末三位是：154=2X7X11,约数个数为：(1+1)(1+1)(1+1)=8个；⑧24168=12X2014,末三位是：168=23X3X7,约数个数为：(3+1)(1+1)(1+1)=16个;显然符合题意的只有：2416&故答案是:24168.【点评】本题考查了约数个数与约数和定理，突破点是：根据约数和定理一一检验，得到符合题意的数.16.整数n—共有10个因数，这些因数从小到大排列，第8个是乎.那么整数n的最大值是162.【分析】由于整数的因数都是成对出现，则这10个约数必然是1、、3、、、、、等、、n,立即可以填出1、2、3卫、卫、n,也就是说n必然含有质因数232和3,然后结合因数个数定理可求解.【解答】解：根据分析可知10个因数分别为1、2、3、—、、、、号、号、门，32根据因数个数定理10=1X(9+1)=(1+1)X(4+1),由于含质因数2和3,则n应为2xX34或24X3】，其中2xX34=162更大.故答案为：162.【点评】解答本题关键是：能根据因数成对出现的特点结合因数个数和定理.17・一个数恰好有8个因数，已知35和77是其中两个，则这个数是385・【分析】先把35和77分解质因数,即35=5X7,77=7X11,则这个数至少数是:5X7X11,然后根据求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，即（1+1）x（1+1）X（1+1）=8个，正好符合要求，然后解答可得出答案.
【解答】解:35=5X7,77=7X11,则这个数至少数是：5X7X11=385,共有（1+1）X（1+1）X（1+1）=8（个）因数，止好符合要求.答：这个数是385.故答案为:385.【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=paXqPxrv（其中a为合数，p^q、r是质数），则a的约数共有（ot+l）（［3+1）（v+1）个约数.18.在1〜600中，恰好有3个约数的数有9个.【分析】如果一个数恰好有3个约数，则这个数分解质因数的形式为P2（P为质数），然后确定在1〜600中，完全平方数的个数即可.【解答】解：如果一个数恰好有3个约数，则这个数分解质因数的形式为P?（P为质数），因为，242=576,252=625,所以，P是不大于24的质数，即2、3、5、7、11>13、17、19、23,共有9个；答：在1〜600屮，恰好有3个约数的数有9个.故答案为：9.【点评】木题考查了约数个数与约数和定理的灵活逆用；关键是明确：当一个数的因数的个数是奇数个数时，这个数是完全平方数.19・已知a、b是两个不同的正整数，并且a、b的约数个数与2013的约数个数相同，则两数Z差（大减小）的最小值为1•【分析】显然先分解质因数2013,可以求得其约数的个数为（1+1）X（1+1）X（1+1）=8,而8二2X2X2二2X4,故而可以确定a和b的分解质因数的形式，再一一检验找出差值最小的数.【解答】解：根据分析，分解质因数2013=3X11X61,有（1+1）X（1+1）X（1+1）二8个约数，而一个数有8个余数，那么这个数分解质因数一定可以写成或mXnXw（m、n>w为互不相同的质数），故约数个数为8的数有多个，现举例说明两数之差最小的几组：©104=23X13与105=3X5X7均有8个约数（这是最小的满足差是1的一组）;
②189=33X7与190=2X5X19均有8个约数;③23X37=296与297=33X11均有8个约数；④2013=3X11X61,2014=2X19X53均有8个约数.综上，a、b两数之差（大减小）的最小值为故答案是：1.【点评】本题考查了约数个数与约数和定理，本题突破点是：先分解质因数，求出约数的个数，再算出a,b最小的差.20・用同表示a的不同约数的个数.如4的不同约数有1,2,4共3个，所以B=3,那么（回-B-13=1.【分析】由题意，12的约数个数是6个，6的约数个数是4个，5的约数个数是2个，即可得出结论.【解答】解：由题意，12的约数个数是6个，6的约数个数是4个，5的约数个数是2个，所以（日-B）4-日=（6~4）4-2=1,故答案为1.【点评】木题考查因数与倍数，考查学牛的计算能力，正确理解题意是关键.21・一个自然数恰有9个互不和同的约数，其中3个约数A,B,C满足：①A+B+C二79②AXA二BXC那么，这个自然数是441・【分析】一个自然数N恰有9个互不相同的约数，则可得N=x2y2,或者N二X*,利用其中3个约数A,B,C满足：①A+B+C二79；②AXA二BXC,进行验证即可得出结论.【解答】解：一个自然数N恰有9个互不相同的约数，则可得N=x2y2,或者N=x8,（1）当N=x8,则九个约数分别是：1,x,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,其中有3个约数A、B、C且满足AXA二BXC,不可能.（2）当N=x2『，则九个约数分别是：1,x,y,x2,xy,y2,x2y,xy2,x2yS其
中有3个约数A、B、C且满足AXA=BXC,①A二x,B=l,C=x2,则x+1+x2=79,无解.②A二xy,B=l,C=x2y2,则xy+l+x2y2=79,无解.③A二xy,B=x,C=xy2,贝！Jxy+x+xy2=79,无解.④A二xy,B=x2,C=y2,则xy+x2+y2=79,解得：（X=3,贝ljN=32X72=441.I尸7⑤A=x2y,B=x2y2,C=x2,则x2y+x2y2+x2=79,无解.故答案为441.【点评】本题考查约数个数和约数和定理，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是一个自然数N恰有9个互不相同的约数，则可得N=x2y2,或者N二x8.22.有一个自然数A,它的平方有9个约数，老师9个约数写在9张卡片上，发给学学三张、思思三张.学学说：“我手中的三个数乘积是A3.〃思思说：“我手中的三个数乘积就是X,而且我知道你手中的三个数和是625.-那么，思思手中的三个数和是一55•【分析】X有9个约数，故由约数个数定理可逆推出：A的质因数分解形式为p4或pq（p、q为不相同的质数），分类讨论，即可得出结论.【解答】解：A?有9个约数，故由约数个数定理可逆推出：A的质因数分解形式为p4或pq（p、q为不相同的质数）；若A二卩役那么可把A?的9个约数写成如下的表格形式（幻方）:p7P21p4p5P6p3p8p学学手中必拿到了一行或一列或一条对角线；思思手中拿到的可能是（1、p、p7）（1>P2>P6）（1、p\P5）（P、P5）（p、p\P4）；只有后两组才能确定学学手中的牌，但后两组所确定的数需要1+p°+p8二625或l+p'+p?二625,可是这两种情况P均无解；故知A的质因数分解形式不能为声，只能为pq；若A二pq,那么可把八的9个约数写成如下的表格形式1pp2qpqp2q2222qpqpq
思思手中拿到的可能是（1、p、pq2）（1、q^p2q）（1、p2>q2）（p^q、pq）;经分析可知，只有当思思拿到（p、q、pq）时，才一定能确定学学手中的牌，此时学学手中的牌为（1、p2q、pq2）,故l+p2q+pq2二625,解得A的两个质因数p、q为3和13,故思思手中的牌为（3、13、39）,所求答案为3+13+39二55.故答案为55・【点评】本题考查约数和定理，考查幻方的运用，考查分类讨论的数学思想，正确运用约数个数定理是关键.23・一个四位数，他最小的8个约数的和是43,那么这个四位回文数是2772・（回文数例如：1111>4334、3210123）【分析】最小的八个约数的和为43,约数首先为自然数，首先该有1和2（如果没2的话，就不会有偶约数，最小的8个奇数的和大于43）,不该有5（有5的话首末位都为0）和10,而1+2+3+4+6+7+8+9=40不够43,而回文数必然是口的倍数，所以口也是这8个约数之一，把门考虑进去，就只有下面一种情形了：1+2+3+4+6+7+9+1X43,然后求出这8个数的最小公倍数即可；由此解答.【解答】解：由分析可知：约数首先为自然数，首先该有1和2,不该有5和10,而1+2+3+4+6+7+8+9=40不够43,而回文数必然是口的倍数，所以11也是这8个约数之一，把考虑进去，则有：1+2+3+4+6+7+9+11=43,以上数的最小公倍数为：4X7X9X11二2772,正好满足耍求；答：这个四位回文数是2772；故答案为:2772.【点评】明确回文数的含义：从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数〃；然后根据题意，进行推导，求出这8个约数，是解答此题的关键.24.一个正整数恰有8个约数，它的最小的3个约数的和为15,且这个四位数的一个质因数减去另一个质因数的5倍等于第三个质因数的2倍，这个数是1221或2013•【分析】它的最小的3个约数的和为15,1肯定是其中一个约数，另两个最小的约数之和是14,然后通过列举，推出它的最小的3个约数只能是：1,3,11；
它是4位数，所以，3和它本身肯定也是它的约数，所以已经有5个约数了,其中有两个质因数3,口，另外它至少有3个质因数，设第3个质因数为x・那么它的约数有：1,3,11,33,x,3Xx,HXx,这个数木身，刚好8个，所以有x-5X3二2X11或者x-5X11二2X3,由此可以得出x=37或61；由此即可得出结论.【解答】解：它的最小的3个约数的和为15,1肯定是其屮一个约数，另两个最小的约数之和是14,可能是：7、7(不符)，6、8(如果是这两个，那2也是，不符)，5、9(如果是这两个，那3也是，不符)，4、10(如果是这两个，那2也是，不符)，3、11(符合)，所以可以推岀它的最小的3个约数只能是：1,3,11；它是4位数，所以，33和它本身肯定也是它的约数，所以已经有5个约数了，其中有两个质因数3,11,另外它至少有3个质因数，设第3个质因数为X.那么它的约数有：1,3,11,33,x,3Xx,HXx,这个数本身，刚好8个，所以有x-5X3=2Xll或者x・5X11=2X3,由此可以得出x二37或61；所以它的约数有：1,3,11,33(3X11),37,111(3X37),407(11X37),1221(3X11X37)或1,3,11,33(3X11),61,183(3X61),671(11X61),2013(3X11X61)所以答案应该是1221或2013；故答案为：1221或2013.【点评】此题考查了约数个数和约数和定理，根据题意，进行推导，得出它的最小的3个约数是：1,3,11,是解答此题的关键.25.定义：AeiB为A和B乘积的约数个数，那么，1口8+2口7+3口6+4口5二20・【分析】依次算出各部分约数的个数，然后相加即可.【解答】解：1X8的因数有4个2X7的因数有4个3X6的因数有6个4X5的因数有6个所以1口8+2口7+3口6+4口5二4+4+6+6二20故填20
【点评】此题的关键是看懂AdB的意思，然后确定运算顺序.25.已知自然数N的个位数字是0,且有8个约数，则N最小是30・【分析】根据能被2、5整除的数的特征；自然数N的个位数字是0,它一定有质因数5和2,要使N最小，5的个数应最少，而其它质因数最好都是2和3,并且2的个数不能超过2个；据此解答.【解答】解：自然数N的个位数字是0,它一定有质因数5和2,要使N最小,5的个数应最少为1个，而求其它因数最好都是2和3,并且2的个数不能超过2个，其它最好都是3；设这个自然数N二2】X5】X3a,根据约数和定理，可得：(a+1)X(1+1)X(1+1)=8,(a+1)X2X2=8,a=l；所以，N最小是：2X3X5=30；答:N最小是30.故答案为：30.【点评】本题关键是根据能被2、5整除的数的特征确定自然数N的质因数；难点是根据约数和定理得岀质因数5、3和2的个数.26.一个合数至少有3个约数.V•(判断对错)【分析】根据合数的意义，一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数.由此解答.【解答】解：根据合数的意义，一个合数至少有3个约数；所以这种说法是对的.故答案为：正确.【点评】此题主要考查对合数的概念的理解和掌握，并能据此解决有关的问题.27.把72的所有约数从小到大排列，笫4个是4・【分析】72的所有约数中，最小的约数是1,第二小的约数是2,第三小的约数是3,第4小的约数是4,不难得出第4个约数是4・【解答】解：根据分析，将72的约数从小到大排列，显然，前面3个最小的约数分别为1、2、3,而第4个是4・
故答案是：4【点评】本题考查了约数个数与约数和定理，本题突破点是：将约数一一排列,按题意不难求得答案.25.把360的所有约数从小到大排列，第4个数是4,那么倒数第4个数是【分析】显然数的约数是成对出现的，最大的约数与最小的约数的乘积等于数的本身，第二大的约数与第二小的约数相乘也等于这个数，依此类推，即可求得倒数第4个数.【解答】解：根据分析，数的约数是成对出现的，最大的约数与最小的约数的乘积等于数的本身，设倒数第4个数为N,贝I」：4XN=360,解得：N二孕二90.4故答案是：90.【点评】本题考查了约数个数和约数和定理，突破点是：依据数的约数是成对出现的，不难求出倒数第4个数的值.30・已^11360=2X2X2X3X3X5,那么360的约数共有24个.【分析】根据求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，即(1+3)X(1+2)X(1+1)个，然后解答可得出答案.【解答】解：360=2X2X2X3X3X5=23X32X5所以，(1+3)X(1+2)X(1+1)=4X3X2=24(个)答：360的约数共有24个.故答案为：24.【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=paXqpXrv(其中a为合数，p、q、r是质数)，则a的约数共有(a+1)(p+l)(y+l)个约数.28.一个正整数，它的2倍的约数恰好比它自己的约数多2个，它的3倍的约数恰好比它自己的约数多3个.那么，这个正整数是12.【分析】这个数只能含2和3两种质因数，因为如果它还有别的质因数，例如5,那么最后增加的个数要比给定的数字大•例如：设x=2a3b5,则它的约数有(a+1)(b+1)(1+1),它的2倍为2a+13b5,它的约数有(a+1+1)(b+1)(1+1)个,则(a+1+1)
(b+1)(1+1)-(a+1)(b+1)(1+1)24,所以最后增加的个数要比给定的数字大,设x=2a3b,它的约数(a+1)(b+1)个，它的2倍为2丹3幕它的约数有(a+1+1)(b+1)个，贝山(a+1+1)(b+1)-(a+1)(b+1)=b+l=2,求出b二1；同理，它的3倍为丫，它的约数为(a+1)(b+1+l)个，比原数多3个，即(a+1)(b+1+l)-(a+1)(b+1)=a+l=3,求出a=2,所以这个数的形式是223=12；由此解答.【解答】解：这个数只能含2和3两种质因数，因为如果它还有别的质因数，那么最后增加的个数要比给定的数字大.设x=2a3b,它的约数(a+1)(b+1)个,它的2倍为2al3b,它的约数有(a+1+1)(b+1)个，则：(a+1+1)(b+1)-(a+1)(b+1)=b+l=2,求出b二1；同理，它的3倍为2铁它的约数为(a+1)(b+1+l)个，比原数多3个，即(a+1)(b+1+l)-(a+1)(b+1)=a+l=3,求出a=2,所以这个数的形式是223=12；答：这个正整数是12.故答案为:12.【点评】此题考查了约数个数与约数和定理，根据题意，推出这个数只能含2和3两种质因数，是解答此题的关键.28.已矢口300=2X2X3X5X5,则300—共有18不同的约数.【分析】已知300=2X2X3X5X5,可以写成：300=22X3X52,由此利用约数和定理即可求得它的约数个数.【解答】解:300=22X3X52,所以300的约数个数为：(2+1)X(1+1)X(2+1)=3X2X3=18(个)，答:300—共有18个不同的约数.故答案为：1&【点评】此题考查了利用约数个数定理求一个合数的约数总个数的方法：对于一个合数a可以分解质因数a=a^Xa^X牛卩…则a的约数的个数就是(m+1)X(n+1)X(p+1)....29.A、B两数都只含有质因数3和4,它们的最大公约数是36.已知A有12
个约数，B有9个约数，那么A+B二108或144・【分析】A,B两数都只含有质因数3和4；A有12个约数，B有9个约数；36=22X32,共有(2+1)X(2+1)=9个约数，因为12=3X4=2X6,当12=2X6时，不符合，舍去；所以取12=3X4或4X3；即A的质因数每多个3或每多个2则约数多3个，即A=23X32或A=22X3?,B有9个约数，即B=22X32；进而计算得出答案.【解答】解：23X32+22X32,=72+36,=108；或：22X33+22X32=108+36,=144；答:A+B=108或144；故答案为：108或144.【点评】此题较难，做题时应认真审题，分清题意，结合最大公因数和最小公倍数的基础知识，进行分析、列式解答即可得出结论.28.能被2345整除恰有2345个约数的数有6个.【分析】将2345分解质因数，得到5X7X67,说明所求的这个数中含有5、7、67这三个质因数，再根据因数的个数2345确定指数分别是57・1、67・1【解答】解：2345=5X7X67,5-1=47-1=667・1=66所以符合条件的数有：54X76X6766>54X766X676>56X74X6766>56X766X674>566X74X67\566X76X674
所以此题填6【点评】此题主要考查了约数个数和约数和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是求出2345的质因数有哪些.35.分母是3553的最简真分数的和是1440・【分析】解答此题要先把3553分解质因数，计算岀分母是3553的不是最简真分数(分子是质因数的倍数的均不是最简真分数)的个数，即用质因数分别除3553算岀个数，减去重复的即为真分数的个数，毎对真分数是成对出现的和为除以2即为和.【解答】解：因为3553=19X17X11,在1〜385这385个自然数中，19的倍数有17X11=187个，17的倍数有19X11=209个,11的倍数有17X19=323个，19X17=323的倍数有口个,19X11=209的倍数有17个，17X11=77的倍数有19个，3553的倍数有1个.由容斥原理知，在1〜3553中能被19、17或11整除的数有187+209+323-(11+17+19)+1=673个，而19、17、11互质的数有3553-673=2880个即分母为3553的真分数有2880个.如果有一个真分数为石缶，则必还有另一个真分数疇产，即以3553为分母35533553的最简真分数是成对岀现的，而每一对之和恰为故以3553为分母的2880最简分数可以分成1440对，它们的和为1440.故答案为：1440.【点评】此题主要考查数的倍数，分解质因数，最简分数以及容斥原理运用方面的知识.36.若用G(a)表示自然数a的约数的个数，女山自然数6的约数有1、2、3、6,共4个，记作G(6)=4,则G(36)+G(42)二17・【分析】根据题干，这里就是求36的约数个数与42的约数个数Z和是多少，利用约数和定理即可解决问题.
【解答】36=22X32,所以36的约数有：(2+1)X(2+1)=9(个)，42=2X3X7,所以42的约数个数有：(1+1)X(1+1)X(1+1)=8(个)，9+8=17(个)，答：G(36)+G(42)=17.故答案为：17.【点评】此题考查了利用约数和定理求一个合数的约数的个数的灵活应用.36.聰聰先求出自然數N的所有約數，再將這些約數兩兩求和，結果發現，最小的和是3,最犬的和是2010,那麼這個自然數N是1340・【分析】一个数最小的约数是1,最大的约数是它木身；由在所有的和中最小的是3,可知该数较小的两个因数是1和2,和最大的是2010,说明这个数字小于2010,且2010是这个数字本身和它第二大的约数之和，第二大的因数与第二小的因数的积也是这个数，所以第二大的因数是这个数的寺，由此即可进行推理.【解答】解：因为1+2=3,所以这个数是2的倍数，这个数本身与第二大约数之和是2010,由于除了外，最小约数是2,所以第二大约数必定是最大约数的设这个数的最大约数是x,则第二大约数就是*x,根据和是180,可得：x+—x=201023—x=20102x=1340答：这个数是1340.故答案为：1340.【点评】先找出较小的两个因数是1和2,最大的因数是它本身，第二大的因数和第二小的因数的积也是这个数，由此得出第二大的因数是这个数斗・37.自然数N有20个正约数，N的最小值为240•
【分析】先将20写成几个数相乘的形式，再写成几个和的积的形式，最后利用约数个数的公式解答即可.【解答】解：①20=20X1=19+1,N的最小值为：219=524288,②20=2X10=(9+1)X(1+1),N的最小值为:29X3=1536,③20=4X5=(4+1)X(3+1),N的最小值为：24X33=432,④20=2X2X5=(4+1)X(1+1)X(1+1),N的最小值为：24X31X51=240,故答案为：240.【点评】此题主要考查的是，约数个数定理(即对于一个数a可以分解质因数:a=al的rl次方乘以a2的r2次方乘以a3的r3次方乘以…则a的约数的个数就是(rl+1)(r2+l)(r3+l)...)的逆运用.36.一个自然数恰好有18个约数，那么它最多有9个约数的个位是3・【分析】根据因数个数的公式反推,①:18=2X3X3=(1+1)X(2+1)X(2+1),这个自然数可能是MXN2XK2的形式；②：18=3X6=(2+1)X(5+1),这个自然数可能是MM2XN5的形式；然后进行分析，进而得出结论.【解答】解：根据因数个数的公式反推，情况一：18=2X3X3=(1+1)X(2+1)X(2+1),这个自然数可能是MXN2XK2的形式；则使其个位含3的因数最多的可能是：M是个位为3的质数、N是个位为1的质数、K是个位为1的质数,则个位含3的因数个数有：(2+1)X(2+1)二9个；情况二：18=3X6=(2+1)X(5+1)这个自然数可能是MM?X屮的形式；则使其个位含3的因数最多的可能是：M是个位为3的质数、N是个位为1的质数，则个位含3的因数个数有5+1=6个；粗略考虑其他情况如：7的3次方尾数为3等，均使得M、N可用的幕次数大大下降，则个位含3的因数个数无
法超过2X4、3X3的情况，即不会比9多.综上，一个自然数恰好有18个因数，最多有9个因数个位是3・故答案为：9.【点评】此题考查了约数个数及约数和定理，利用因数的个数公式进行反推，是解答此类题的一个重要方法.36.数22X33X55有72个不同的约数.【分析】直接根据约数个数的定理进行计算.用它们的指数分别加1,然后算乘积.【解答】解：(2+1)X(3+1)X(5+1)=3X4X6=72故填72【点评】此题已经分解为质因数相乘，故可直接运用定理进行计算.如果直接给出一个数，就要先分解，化成上面这个形式.37.设数A共有9个不同约数，B共有6个不同约数，C共有8个不同约数，这三个数中的任何两个都互不整除，则三个数之积的最小值是一27280・【分析】利用A有9个不同的约数，B有6个不同约数，C有8个不同约数得出A,B,C的最小值，进而得出三个数的积的最小值.【解答】解：因为A有9个不同的约数，那么A就是平方数，最小是22X32=36B有6个不同约数,最小是22X3=12,AB互不整除,那B最小只能是22X5=20,C有8个不同约数，最小是2X3X4=24,所以三个数Z积最小是：36X20X24=17280.故答案为：17280.【点评】此题主要考查了约数与倍数，利用己知得出A,B,C的最小值是解题关键.三.解答题（共9小题）38.已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10,这些自然数共有多少个？【分析】因为2008-10=1998,所以这些自然数一定整除1998,然后把1998分解质因数，由此根据约数个数公式，找出这些自然数即可.【解答】解：设符合要求的自然数为n,20084-n余数为10,
则，2008-10=1998-定能被n整除，即n是1998的约数，1998=2X33X37+11998有（1+1）X（1+3）X（1+1）=16个约数；其屮不大于10的约数有5个，分别是：1、2、3、4、6、9；所以，符合要求的自然数共有：16-5=11（个）；答：这些自然数共有口个.【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=paXqpXrv（其中a为合数，p、q、r是质数），则a的约数共有（a+l）（P+1）（v+1）个约数.36.A、B、C、D是一个等差数列，并且A有2个约数、B有3个约数、C有4个约数、D有5个约数.那么，这四个数和的最小值是1708•【分析】A有2个约数，则A为质数，有3个约数，则B为质数的完全平方数,即4,9,25,49,121.D有5个约数，这个数可以用/的形式（a为质数）2丄4来表示，设A、B、C、D是x,m2,111J1,n4（x,m,n均为质数），则2m2=x+2.4罟L_,所以3m2=2x+n4,验证可得A、B、C、D,即可得出结论.【解答】解：A有2个约数，则A为质数，有3个约数，则B为质数的完全平方数，即4,9,25,49,121.D有5个约数，这个数可以用/的形式（a为质数）来表示，2.42,4设A、B、C、D是x,m2,皿严,n4（x,m,n均为质数），则2mJx+斗空~,所以3m2=2x+n4验证可得A、B、C、D是229,361,493,625,符合题意；所以这四个数和的最小值是229+361+493+625=1708,故答案为1708.【点评】本题考查约数个数和约数和定理，确定A有2个约数，则A为质数，有3个约数，则B为质数的完全平方数，即4,9,25,49,121.D有5个约数，这个数可以用/的形式(a为质数)来表示是关键.44・如果一个数的奇约数个数有2口个(m为自然数)，则我们称这样的数为〃中环数〃，比如3的奇约数有1,3,一共2二2】，所以3是一个〃中环数〃.再比如
21的奇约数有1,3,7,21,4=22,所以21也是一个中环数.我们希望能找到n个连续的中环数.求n的最大值.【分析】可以将一个数分解质因数，得到N二p；】Xp?X・・・Xp：»,则这个数约数的个数为(ax+1)X(a2+l)X...X(an+l),而事实上,一个数的奇约数个数也可以用类似的求法，由于乘法中偶偶得偶，所以将一个奇数分解质因数，那么得到的质因子均为奇数，所以将一个数分解质因数，得到N二p；iXX・・・Xp：n(ainJ以为0)则N的奇约数个数为:(a2+l)X(a3+l)X...X(an+l),现在我们要写出连续的n个数，使得每个数均有(a2+l)X(a3+l)X...X(an+l)=2m,首先证明nW17・【解答】解：根据分析，将一个数分解质因数，得到N二p；】Xp?X…心》，则这个数约数的个数为(ai+1)X(a2+l)X...X(an+l),而事实上，一个数的奇约数个数也可以用类似的求法，由于乘法屮遇偶得偶，所以将一个奇数分解质因数，那么得到的质因子均为奇数，所以将一个数分解质因数，得到N二P；】X>136、137、138、139、140、141>142、143,
这17个数的奇约数个数分别是：2、1、4、4、2、4、4、2、8、2、2、4、2、4、4、2、4,因此n的最大值为17.故答案是：17.【点评】本题考查了约数个数与约数和定理，本题突破点是：根据约数和定理,以及中环数的定义，逐步缩小范围，确定最大值.45.如果一个自然数的约数的个数是奇数，我们称这个自然数为"希望数〃，那么，1000以内最大的"希望数〃是961・【分析】自然数的因数都是成对出现的，比如1和本身是一对，出现奇数个因数的吋候是因为其中有一对的因数是相等的，那么这个自然数是完全平方数•所以只有完全平方数的约数个数才是奇数，则这道题就变成了求〃1000以内最大的完全平方数是多少〃，312=961,322=1024,由此即可得出1000以内最大的完全平方数，从而解决问题.【解答】解：根据分析可得：1000以内最大的"希望数〃就是1000以内最大的完全平方数，而己知1000以内最大的完全平方数是312=961,根据约数和定理可知，961的约数个数为：2+1=3(个)，符合题意，答：1000以内的最大希望数是961.故答案为：961.【点评】这道题主要考查的知识点是完全平方数的约数个数是奇数这一特点的灵活应用.46.求100至160之间有8个约数的数.【分析】由求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，可知8只能写成1X8和2X4这两个算式，由此推出应是7个相同质数的乘积或3个相同质数与1个质数的乘积，由此分析探讨即可得出答案.【解答】解：因为8=1X8=2X4；所以有8个约数的数可以写成a?或a3Xb的形式（a、b是质数），
根据题意有27=1285X33=13513X23=10417X23=13619X23=152所以在100至160Z间有8个约数的数是104、128、135、136、152五个数.【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=paXq^Xrv（其中a为合数，p、q、r是质数），则a的约数共（ot+1）（p+1）（y+1）个约数.47・2008的约数有8个.【分析】先把2008进行分解质因数，然后约数的个数就是把每个指数加1乘起來，解答即可.【解答】解:2008=23X251,（3+1）X（1+1）=8；或：2008=1X2X2X2X251,1、2、4、8、251、502、1004、2008；所以共8个约数；故答案为：8.【点评】解答此题应根据：约数的个数等于这个数的各个质因数的个数加1后的连乘积.48・100以内共有8个约数的数共有多少个？它们各是多少？【分析】因为8可以分解成2X2X2或者4X2或者8X1,然后按照这个进行列举.【解答】解：如果这个数分解成/形式，那么这个数最小是27=128,大于100,不合要求.如果这个数分解成a3Xb的形式，那么符合条件的数有：24、40、56、88、54；如果这个数分解成aXbXc的形式，那么符合条件的数有：30、42、66、78.所以符合条件的数共有9个，从小到大分别是24,40,56,8&54,30,42,66,7&【点评】这题是约数定理的逆用，按照不同形式进行分类.49・已知三位数240有d个不同的约数(因子)，求d的值.【分析】先把240分解质因数，然后根据约数个数定理求解.【解答】解:240=2X2X2X2X3X5=24X31X51；240的约数一共有：(4+1)X(1+1)X(1+1)=5X2X2
=20；所以d=20；答:d是20・【点评】先分解质因数，然后把不同质因数的个数加1以后再相乘，就是约数的总个数.50.求360所有约数的和.【分析】约数和是在分解质因数后，将分解后的每个质因数的最高次幕的所有约数的和所得到的乘积，由此即可解决问题.【解答】解：360=4X9X10=2X2X2X3X3X5=23X32X51,所有约数的和为：(23+22+2i+2o)%(32+31+3°)X(5丄+5°)=15X13X6=1170,答：360的约数个数有24个，各约数的和是1170.【点评】此题考查了约数和定理的公式：对于一个数a可以分解质因数：a=aalXbblX...Xnnl...则a的约数的个数就是(ai+1)X(bi+1)X...X(m+1)；以及求一个合数的约数和的方法的灵活应用.
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