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9、约数与倍数【约数问题】 例1用1155个同样大小的正方形拼成一个长方形，有______种不同的拼法。（上海市第五届小学数学竞赛试题） 讲析：不论拼成怎样的长方形，它们的面积都是1155。 而长方形的面积等于长乘以宽。所以，只要将1155分成两个整数的积，看看有多少种方法。一般来说，约数都是成对地出现。 1155的约数共有16个。 16÷2=8（对）。 所以，有8种不同的拼法。 例2说明：360这个数的约数有多少个？这些约数之和是多少？ （全国第三届“华杯赛”决赛第一试试题） 讲析：将360分解质因数，得 360=2×2×2×3×3×5=23×32×5。 所以，360的约数个数是：（3+1）×（2+1）×（1+1）=24（个） 这24个约数的和是： 例3一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。这个数当然有许多约数是两位数，这些两位的约数中，最大的是几？ （全国第一届“华杯赛”决赛第一试试题） 讲析：这个数是2×2×2×2×2×3×3×3×5×5×7。 把两位数从99、98、……开始，逐一进行分解： 99=3×3×11；98=2×7×7； 97是质数；96=2×2×2×2×2×3。
发现，96是上面数的约数。 所以，两位数的约数中，最大的是96。 例4有8个不同约数的自然数中，最小的一个是______。 （北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题） 讲析：一个自然数N，当分解质因数为： 因为8=1×8=2×4=2×2×2， 所以，所求自然数分解质因数，可能为： 27，或23×3，或2×3×5，…… 不难得出，最小的一个是24。【倍数问题】 例16枚1分硬币叠在一起与5枚2分硬币一样高，6枚2分硬币叠在一起与5枚5分硬币一样高，如果分别用1分、2分、5分硬币叠成的三个圆柱体一样高，这些硬币的币值为4元4角2分，那么这三种硬币总共有______枚。 （上海市第五届小学数学竞赛试题） 讲析：因为6枚1分的硬币与5枚2分的一样高，所以36枚1分的硬币与30枚2分的一样高。 6枚2分的硬币与5枚5分的一样高，所以30枚2分的硬币与25枚5分的一样高。 因此，36枚1分的硬币高度等于30枚2分的高度，也等于25枚5分的高度。它们共有： 1×36+2×30+5×25=221（分）。 4元4角2分=442（分），442÷221=2。 所以，1分的硬币共36×2=72（枚），2分的硬币共30×2=60（枚），5分的硬币共25×2=50（枚），即总共有182枚。
例2从1、2、……、11、12中至多能选出______个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍。 （1990年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 讲析：1、3、5、7、9、11是奇数，不可能是任何整数的2倍。剩下的数有2、4、6、8、10、12六个数，且6是3的2倍，10是5的2倍。如取2，则4、8、12就都不能取；如取4，则2、8不能取，故只可取12；如取8，则2、4不能取，故只可取8。所以至多能选取8个数。 例3小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1、2、3、……13。如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积，可以得到许多不相等的乘积，那么，其中能被6整除的乘积共有______个。 （北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题） 讲析：因为6=2×3，所以能被6整除的因数中，至少含有一个2和一个3。 当一边取6，另一边取1、2、……、13时均成立，有13个积； 当一边取7、8、9、10、11、12、13，另一边取12时，有7个积； 当一边取10，另一边取9时，有1个积。 所以，不相等的乘积中，被6整除的共有： 13+7+1=21（个）。 例4设a与b是两个不相等的自然数。如果它们的最小公倍数是72，那么a与b之和可以有______种不同的值。 （北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题） 讲析：因为72=23×32，它共有约数 （3+1）×（2+1）=12（个） 这12个约数，每个约数与72的最小公倍数都是72，a、b之和有12种不同的值； 当a=22×32=36时，b可取23=8或23×3=24，a、b之和有2种不同的值； 当a=23×3=24时，b可取32=9或2×32=18，a、b之和有2种不同的值。 当a=2×32=18时；b可取23=8，a、b之和有1种不同的值。
所以，满足条件的a与b之和共有17种不同的值。
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