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天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 人教版(2012) / 七年级上册 / 第一章 有理数 / 1.2.4 绝对值 / 人教版数学七年级上册1.2.4《绝对值》 知识讲解

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WORD格式整理绝对值(提高)撰稿:孙景艳审稿:赵炜【学习目标】1.掌握一个数的绝对值的求法和性质;2.进一步学习使用数轴,借助数轴理解绝对值的几何意义;3.会求一个数的绝对值,并会用绝对值比较两个负有理数的大小;4.理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.【要点梳理】要点一、绝对值1.定义:一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a|.要点诠释:(1)绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.即对于任何有理数a都有:(2)绝对值的几何意义:一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离,离原点的距离越远,绝对值越大;离原点的距离越近,绝对值越小.(3)一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的.2.性质:绝对值具有非负性,即任何一个数的绝对值总是正数或0.要点二、有理数的大小比较1.数轴法:在数轴上表示出这两个有理数,左边的数总比右边的数小.如:a与b在数轴上的位置如图所示,则a<b.2.法则比较法:两个数比较大小,按数的性质符号分类,情况如下:两数同号同为正号:绝对值大的数大同为负号:绝对值大的反而小两数异号正数大于负数-数为0正数与0:正数大于0负数与0:负数小于0要点诠释:利用绝对值比较两个负数的大小的步骤:(1)分别计算两数的绝对值;(2)比较绝对值的大小;(3)判定两数的大小.3.作差法:设a、b为任意数,若a-b>0,则a>b;若a-b=0,则a=b;若a-b<0,a<b;反之成立.4.求商法:设a、b为任意正数,若,则;若,则;若,则;反之也成立.若a、b为任意负数,则与上述结论相反.5.倒数比较法:如果两个数都大于0,那么倒数大的反而小.【典型例题】类型一、绝对值的概念专业知识分享 WORD格式整理1.计算:(1)(2)|-4|+|3|+|0|(3)-|+(-8)|【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果.解:(1),(2)|-4|+|3|+|0|=4+3+0=7,(3)-|+(-8)|=-[-(-8)]=-8.【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法:一种是利用绝对值的几何意义求解,一种是利用绝对值的代数意义求解,后种方法的具体做法:首先判断这个数是正数、负数还是0.再根据绝对值的代数意义,确定去掉绝对值符号的结果是它本身,是它的相反数,还是0.从而求出该数的绝对值.2.如果|x|=6,|y|=4,且x<y.试求x、y的值.【思路点拨】6和-6的绝对值都等于6,4和-4的绝对值都等于4,所以要注意分类讨论.【答案与解析】解:因为|x|=6,所以x=6或x=-6;因为|y|=4,所以y=4或y=-4;由于x<y,故x只能是-6,因此x=-6,y=±4.【总结升华】已知绝对值求原数的方法:(1)利用概念;(2)利用数形结合法在数轴上表示出来.无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数,则此数有两个,且互为相反数.此外,此题x=-6,y=±4,就是x=-6,y=4或x=-6,y=-4.举一反三:【变式1】(1)如果|x|=6,|y|=4,且x>y,则x、y的值各是多少?【答案】x=6,y=±4【变式2】如果数轴上的点A到原点的距离是6,则点A表示的数为.如果|x-2|=1,那么x=;如果|x|>3,那么x的范围是.【答案】6或-6;1或3;或【变式3】已知|a|=3,|b|=4,若a,b同号,则|a+b|=_________;若a,b异号,则|a+b|=________.据此讨论|a+b|与|a|+|b|的大小关系.【答案】7,1;若a,b同号或至少有一个为零,则|a+b|=|a|+|b|;若a,b异号,则|a+b|<|a|+|b|,由此可得:|a+b|≤|a|+|b|.类型二、比大小3.比较下列每组数的大小:(1)-(-5)与-|-5|;(2)-(+3)与0;(3)与;(4)与.【思路点拨】先化简符号,去掉绝对值号再分清是“正数与0、负数与0、正数与负数、两个正数还是两个负数”,然后比较.专业知识分享 WORD格式整理【答案与解析】解:(1)化简得:-(-5)=5,-|-5|=-5.因为正数大于一切负数,所以-(-5)>-|-5|.(2)化简得:-(+3)=-3.因为负数小于零,所以-(+3)<0.(3)化简得:.这是两个负数比较大小,因为,,且.所以.(4)化简得:-|-3.14|=-3.14,这是两个负数比较大小,因为|-π|=π,|-3.14|=3.14,而π>3.14,所以-π<-|-3.14|.【总结升华】在比较两个负数的大小时,可按下列步骤进行:先求两个负数的绝对值,再比较两个绝对值的大小,最后根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断.举一反三:【高清课堂:绝对值比大小例(简单举例)】【变式1】比大小:(1)-0.3(2).【答案】>;>【高清课堂:绝对值比大小典型例题2(最后两个)】【变式2】比大小:(1)______-1.384;(2)-π___-3.14.【答案】>;<【变式3】若m>0,n<0,且|m|>|n|,用“>”把m,-m,n,-n连接起来.【答案】解法一:∵m>0,n<0,∴m为正数,-m为负数,n为负数,-n为正数.又∵正数大于一切负数,且|m|>|n|,∴m>-n>n>-m.解法二:因为m>0,n<0且|m|>|n|,把m,n,-m,-n表示在数轴上,如图所示.∵数轴上的数右边的数总比左边的数大,∴m>-n>n>-m.类型三、含有字母的绝对值的化简4.把下列各式去掉绝对值的符号.专业知识分享 WORD格式整理(1)|a-4|(a≥4);(2)|5-b|(b>5).【答案与解析】(1)∵a≥4,∴a-4≥0,∴|a-4|=a-4.(2)∵b>5,∴5-b<0,∴|5-b|=-(5-b)=b-5.【总结升华】由字母的取值范围来判断绝对值里面的符号情况,再根据绝对值的意义去掉绝对值的符号.举一反三:【变式1】已知有理数a,b,c在数轴上对应的点的位置如图所示:       化简:.【答案】解:由图所示,可得.  ∴,,,  ∵     .  ∴原式.【变式2】求的最小值.【答案】解法一:当时,则当时,则当时,则综上:当时,取得最小值为:5.解法二:借助数轴分类讨论:①;②;③.    的几何意义为对应的点到-2对应点的距离与对应点到3对应点的距离和.            专业知识分享 WORD格式整理由图明显看出时取最小值.所以,时,取最小值5.类型四、绝对值非负性的应用5.已知a、b为有理数,且满足:,则a=_______,b=________.【答案与解析】由,,,可得∴【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0,要使这两个数的和为0,需要这两个数都为0.几个非负数的和为0,则每一个数均为0.举一反三:【变式1】已知,则x的取值范围是________.【答案】;提示:将看成整体,即,则,故,.【变式2】已知b为正整数,且a、b满足,求的值.【答案】解:由题意得∴所以,类型五、绝对值的实际应用6.正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定,下面是6个足球的质量检测结果,用正数记超过规定质量的克数,用负数记不足规定质量的克数.检测结果(单位:克):-25,+10,-20,+30,+15,-40.裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由.【答案与解析】解:因为|+10|<|+15|<|-20|<|-25|<|+30|<|-40|,所以检测结果为+10的足球的质量好一些.所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛.【总结升华】绝对值越小,越接近标准.举一反三:【变式】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行,假定向右爬行的路程记为正数,向左爬行的路程记为负数,小虫爬行的各段路程(单位:cm)依次记为:+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10,在爬行过程中,如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻,那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?专业知识分享 WORD格式整理【答案】解:小虫爬行的总路程为:|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|=5+3+10+8+6+12+10=54(cm)小虫得到的芝麻数为54×2=108(粒)答:小虫一共可以得到108粒芝麻.专业知识分享 查看更多

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