资料简介
2021 年中考九年级数学第三轮冲刺训练:四边形 综合练习试题
1、如图,在平行四边形 ABCD 中,∠ACB=45°,点 E 在对角线 AC 上,BE=BA.BF⊥AC
于点 F,BF 的延长线交 AD 于点 G.点 H 在 BC 的延长线上,且 CH=AG, 连接 EH.
(1)若 BC= 212 ,AB=13,求 AF 的长;
(2)求证:EB=EH.
、
2、如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 是 CD 的中点,点 F 是 BC 边上的点,AF=AD+FC,
平行四边形 ABCD 的面积为 S,由 A、E、F 三点确定的圆的周长为 t.
(1)若△ABE 的面积为 30,直接写出 S 的值;
(2)求证:AE 平分∠DAF;
(3)若 AE=BE,AB=4,AD=5,求 t 的值.
3、如图①,在矩形 ABCD 中,动点 P 从点 A 出发,以1 /cm s 的速度沿 AD 向终点 D
移动,设移动时间为 ( )t s ,连接 PC ,以 PC 为一边作正方形 PCEF ,连接 DE 、DF ,
设 PCD 的面积为 2( )y cm , y 与t 之间的函数关系如图②所示.
(1) AB cm , AD cm ;
(2)当t 为何值时, DEF 的面积最小?请求出这个最小值;
(3)当t 为何值时, DEF 为等腰三角形?请简要说明理由.
4、如图,在菱形 ABCD中, AC 与 BD 交于点O, E 是 BD 上一点, / /EF AB ,
EAB EBA ,过点 B 作 DA 的垂线,交 DA 的延长线于点G .
(1) DEF 和 AEF 是否相等?若相等,请证明;若不相等,请说明理由;
(2)找出图中与 AGB 相似的三角形,并证明;
( 3 ) BF 的 延 长 线 交 CD 的 延 长 线 于 点 H , 交 AC 于 点 M . 求 证 :
2BM MF MH .
5、【问题解决】
一节数学课上,老师提出了这样一个问题:如图 1,点 P 是正方形 ABCD 内一点,
PA=1,PB=2,PC=3.你能求出∠APB 的度数吗?
小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路:
思路一:将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 90°,得到△BP′A,连接 PP′,求出∠APB
的度数;
思路二:将△APB 绕点 B 顺时针旋转 90°,得到△CP'B,连接 PP′,求出∠APB
的度数.
请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程.
【类比探究】
如图 2,若点 P 是正方形 ABCD 外一点,PA=3,PB=1,PC= ,求∠APB 的度数.
6、(1)如图 1,在四边形 ABCD 中,AB AD , 180B D ,E ,F 分别是边 BC ,
CD 上的点,且 1
2EAF BAD ,则 BE , EF , DF 之间的数量关系是 .
(2)如图 2,若 E ,F 分别是边 BC ,CD 延长线上的点,其他条件不变,则 BE ,
EF , DF 之间的数量关系是什么?请说明理由.
(3)如图 3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心 (O 处)北偏西30 的 A 处,
舰艇乙在指挥中心南偏东 70 的 B 处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到
行动命令后,舰艇甲向正东方向以 60 海里 / 小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50
的方向以 80 海里 / 小时的速度前进,1.5 小时后,指挥中心观察到舰艇甲、乙分
别到达 E , F 处,且两舰艇与指挥中心 O 连线的夹角 70EOF ,试求此时两舰
艇之间的距离.
7、实践操作:
第一步:如图 1,将矩形纸片 ABCD 沿过点 D 的直线折叠,使点 A 落在 CD 上的点
A'处,得到折痕 DE,然后把纸片展平.
第二步:如图 2,将图 1 中的矩形纸片 ABCD 沿过点 E 的直线折叠,点 C 恰好落
在 AD 上的点 C′处,点 B 落在点 B'处,得到折痕 EF,B'C′交 AB 于点 M,C′F
交 DE 于点 N,再把纸片展平.
问题解决:
(1)如图 1,填空:四边形 AEA'D 的形状是 ;
(2)如图 2,线段 MC′与 ME 是否相等?若相等,请给出证明;若不等,请说明
理由;
(3)如图 2,若 AC′=2cm,DC'=4cm,求 DN:EN 的值.
8、如图 1,点 E 是正方形 ABCD 边 CD 上任意一点,以 DE 为边作正方形 DEFG,连
接 BF,点 M 是线段 BF 中点,射线 EM 与 BC 交于点 H,连接 CM.
(1)请直接写出 CM 和 EM 的数量关系和位置关系;
(2)把图 1 中的正方形 DEFG 绕点 D 顺时针旋转 45°,此时点 F 恰好落在线段
CD 上,如图 2,其他条件不变,(1)中的结论是否成立,请说明理由;
(3)把图 1 中的正方形 DEFG 绕点 D 顺时针旋转 90°,此时点 E、G 恰好分别落
在线段 AD、CD 上,如图 3,其他条件不变,(1)中的结论是否成立,请说明理
由.
9、如图(1),已知点 G 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上,GE⊥BC,垂足为点 E,
GF⊥CD,垂足为点 F.
(1)证明与推断:
①求证:四边形 CEGF 是正方形;
②推断: 的值为 :
(2)探究与证明:
将正方形 CEGF 绕点 C 顺时针方向旋转α角(0°<α<45°),如图(2)所示,
试探究线段 AG 与 BE 之间的数量关系,并说明理由:
(3)拓展与运用:
正方形 CEGF 在旋转过程中,当 B,E,F 三点在一条直线上时,如图(3)所示,
延长 CG 交 AD 于点 H.若 AG=6,GH=2 ,则 BC= .
10、在矩形ABCD 中, 12AB , P 是边 AB 上一点,把 PBC 沿直线 PC 折叠,
顶点 B 的对应点是点G ,过点 B 作 BE CG ,垂足为 E 且在 AD 上,BE 交 PC 于
点 F .
(1)如图 1,若点 E 是 AD 的中点,求证: AEB DEC ≌ ;
(2) 如图 2,①求证: BP BF ;
②当 AD 25 ,且 AE DE 时,求cos PCB 的值;
③当 BP 9 时,求 BE EF 的值.
11、在菱形
‸䌯汯
中,∠
‸䌯 = 60
°,点
是射线
‸汯
上一动点,以
为边向
右侧作等边△
h
,
点
h
的位置随点
的位置变化而变化.
(1)如图 1,当点
h
在菱形
‸䌯汯
内部或边上时,连接
䌯h
,
‸
与
䌯h
的数量
关系是 ,
䌯h
与
汯
的位置关系是 ;
(2)当点
h
在菱形
‸䌯汯
外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以
证明;若不成立, 请说明理由(选择图 2,图 3 中的一种情况予以证明或说理).
(3) 如图 4,当点
在线段
‸汯
的延长线上时,连接
‸h
,若
‸ = 2 3
,
‸h =
2 19
,求四边形
汯h
的面积.
12、小波在复习时,遇到一个课本上的问题,温故后进行了操作、推理与拓展.
(1)温故:如图 1,在 ABC 中, AD BC 于点 D ,正方形 PQMN 的边QM 在 BC
上,顶点 P , N 分别在 AB , AC 上,若 BC a , AD h ,求正方形 PQMN 的边长
(用 a , h 表示).
(2)操作:如何画出这个正方形 PQMN 呢?
如图 2,小波画出了图 1 的 ABC ,然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方
法进行操作:先在 AB 上任取一点 P ,画正方形 P Q M N ,使点 Q , M 在 BC 边
上,点 N 在 ABC 内,然后连结 BN ,并延长交 AC 于点 N ,画 NM BC 于点 M ,
NP NM 交 AB 于点 P , PQ BC 于点 Q ,得到四边形 PQMN .
(3)推理:证明图 2 中的四边形 PQMN 是正方形.
(4)拓展:小波把图 2 中的线段 BN 称为“波利亚线”,在该线上截取 NE NM ,
连结 EQ , EM (如图3) ,当 90QEM 时,求“波利亚线” BN 的长(用 a ,h
表示).
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题.
13、(1)如图 1,将矩形 ABCD 折叠,使 BC 落在对角线 BD 上,折痕为 BE,点 C
落在点 C′处,若∠ADB=46°,则∠DBE 的度数为________°.
(2)小明手中有一张矩形纸片 ABCD,AB=4,AD=9.
【画一画】
如图 2,点 E 在这张矩形纸片的边 AD 上,将纸片折叠,使 AB 落在 CD 所在直
线上,折痕设为 MN(点 M,N 分别在边 AD,BC 上),利用直尺和圆规画出折
痕 MN(不写作法,保留作图痕迹,并用黑色水笔把线段描清楚);
【算一算】
如图 3,点 F 在这张矩形纸片的边 BC 上,将纸片折叠,使 FB 落在射线 FD
上,折痕为 GF,点 A,B 分别落在点 A′,B′处,若 AG= 7
3
,求 B′D 的长;
【验一验】
如图 4,点 K 在这张矩形纸片的边 AD 上,DK=3,将纸片折叠,使 AB 落在
CK 所在直线上,折痕为 HI,点 A,B 分别落在点 A′,B′处,小明认为 B′
I 所在直线恰好经过点 D,他的判断是否正确,请说明理由.
14、综合与实践
在线上教学中,教师和学生都学习到了新知识,掌握了许多新技能.例如教材八
年级下册的数学活动﹣﹣折纸,就引起了许多同学的兴趣.在经历图形变换的过
程中,进一步发展了同学们的空间观念,积累了数学活动经验.
实践发现:
对折矩形纸片 ABCD,使 AD 与 BC 重合,得到折痕 EF,把纸片展平;再一次折叠
纸片,使点 A 落在 EF 上的点 N 处,并使折痕经过点 B,得到折痕 BM,把纸片展
平,连接 AN,如图①.
(1)折痕 BM (填“是”或“不是”)线段 AN 的垂直平分线;请判断图
中△ABN 是什么特殊三角形?答: ;进一步计算出∠MNE= °;
(2)继续折叠纸片,使点 A 落在 BC 边上的点 H 处,并使折痕经过点 B,得到折
痕 BG,把纸片展平,如图②,则∠GBN= °;
拓展延伸:
(3)如图③,折叠矩形纸片 ABCD,使点 A 落在 BC 边上的点 A'处,并且折痕交
BC 边于点 T,交 AD 边于点 S,把纸片展平,连接 AA'交 ST 于点 O,连接 AT.
求证:四边形 SATA'是菱形.
解决问题:
(4)如图④,矩形纸片 ABCD 中,AB=10,AD=26,折叠纸片,使点 A 落在 BC
边上的点 A'处,并且折痕交 AB 边于点 T,交 AD 边于点 S,把纸片展平.同学们
小组讨论后,得出线段 AT 的长度有 4,5,7,9.请写出以上 4 个数值中你认为
正确的数值 .
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