天天资源网 / 初中数学 / 二轮复习 / 中考复习：相似三角形专练（附答案）
资料简介
1
中考复习：相似三角形专练
一、单选题
1．若 ABC DEF∽△ △ 且周长之比 1：3，则 ABC 与 DEF 的面积比是（ ）
A．1：3 B．1: 3 C．1：9 D．3：1
2．如图，已知 D 是三角形 ABC 中的边 BC 上的一点， BAD C ， ABC 的平分线交
边 AC 于 E ，交 AD 于 F ，那么下列结论中错误的是（ ）
A．三角形 BDF 相似于三角形 BAE B．三角形 BFA相似于三角形 BEC
C．三角形 BDF 相似于三角形 BEC D．三角形 BAC 相似于三角形 BDA
3．如图 Rt ABC 中， 6, 4AB AC ，D 为 AB 上任意点，且 B ACD ，则 BD 值为
（ ）
A．13
3 B． 8
3 C．3 D．10
3
4．如图，在 ABC 中， //DE BC ，若 4, 8, 3AD DB DE ，则 BC 长为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
5．如图，D、E 分别是△ABC 的边 AB、BC 上的点，DE∥AC，若 S△BDE：S△CDE＝1：3，DC、
AE 交于点 F，则 S△DEF：S△ACF＝（ ）
2
A． 1
3 B． 1
4 C． 1
9 D． 1
16
6．如图，点 P 为 MON 的平分线上一点， APB 的两边分别与射线 ,OM ON 交于 ,A B 两
点， APB 绕点 P 旋转时始终满足 2OA OB OP ，若 54MON ，则 APB 的度数为
（ ）
A．153° B．144° C．163° D．162°
7．如图，在 ABC 中，D 、E 为边 AB 的三等分点， // //EF DG AC ，点 H 为 AF 与 DG 的
交点．若 9AC ，则 DH 为（ ）
A．1 B．2 C． 3
2 D．3
8．如图，知形 ABCD 中，AB＝6，BC＝4，对角线 AC、BD 相交于点 O，CE 平分 OB，且与
AB 交于点 E．若 F 为 CE 中点，则△BEF 的周长是（ ）
A． 5 ＋2 B．2 3 ＋2 C．2 5 ＋2 D．6
9．如图， ABC 中， BE ， CD 分别是 AC ， AB 边上的高，且 10BC DE ， 6BE ，
则 AE 的值为（ ）
3
A． 3
2 B．2 C． 2 D． 3
10．已知在 ABC 中， 90 , 6 2,C AC BC D 是 AB 边上的一点， 7AD ，过点 D
作 DH AC 于点 H ，将 BÐ 沿着过点 D 的直线折叠，使点 B 落在 AC 边的点 P 处（不与点
,A C 重合），折痕交 BC 边于点 E ，则 AP 的长为（ ）
A． 4 2 或3 2 B． 4 2 C．3 2 D． 2 或3 2
11．△ABC 的边长 AB＝2，面积为 1，直线 PQ // BC，分别交 AB、AC 于 P、Q，设 AP＝t，
△APQ 面积为 S，则 S 关于 t 的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，已知双曲线 8 0y xx
和 0ky xx
，直线 OA 与双曲线 8y x
交于点 A ，将直
线 OA 向下平移与双曲线 8y x
交于点 B ，与 y 轴交于点 P ，与双曲线 ky x
交于点C ，
10ABCS △ ， 1
2
BP
CP
，则 k 的值为（ ）
4
A．－4 B．－6 C．－8 D．－10
13．如图，在 Rt△OAB 中，∠OBA＝90°，OA 在 x 轴上，AC 平分∠OAB，OD 平分∠AOB，
AC 与 OD 相交于点 E，且 OC＝ 5 ，CE＝ 2 ，反比例函数 ( 0 0)ky k xx
， 的图象经
过点 E，则 k 的值为（ ）
A． 10 B． 10
2
C． 9
5 D． 18
5
14．如图，AB＝4，射线 BM 和 AB 互相垂直，点 D 是 AB 上的一个动点，点 E 在射线 BM 上，
2BE＝DB，作 EF⊥DE 并截取 EF＝DE，连接 AF 并延长交射线 BM 于点 C．设 BE＝x，BC＝
y，则 y 关于 x 的函数解析式是（ ）
A．y＝﹣ 12
4
x
x B．y＝﹣ 2
1
x
x C．y＝﹣ 3
1
x
x D．y＝﹣ 8
4
x
x
15．几千年来，在勾股定理的多种证明方法中，等面积法是典型的一种证法，清代数学家李锐
运用这一方法借助三个正方形也证明了勾股定理．如图，四边形 ABCD ，四边形 DEFG ，四
边形CGHI 均为正方形，EF 交 BG 于点 L DG， 交 IH 于点 K，点 , , ,B L C G 在同条直
线上，若 9ADES △ ， 4GHKS ，记四边形 DELC 的面积为 1S ，四边形CGKI 的面积为 2S ，
则 1
2
S
S 的值为（ ）
A． 9
4 B． 17
8 C． 13
6 D． 3
2
5
16．如图，等腰 Rt ABC 中， 90BAC AD BC ， 于 D， ABC 的平分线分别交
AC AD、 于 E F、 两点，M 为 EF 的中点，延长 AM 交 BC 于点 N，连接 DM MC、 下列结
论：① DF DN ；② ABE MBN ≌ ；③ CMN 是等腰三角形；④ AE CN ，其中正确
的是（ ）
A．①② B．①④ C．①③ D．②③
17．如图，在等腰 Rt ABC 中， 90C ， 2 2AC BC ．点 D 和点 E 分别是 BC 边
和 AB 边上两点，连接 DE ．将 BDE 沿 DE 折叠，得到 B DE ，点 B 恰好落在 AC 的中点
处设 DE 与 BB交于点 F ，则 EF （ ）
A． 1
2 B． 5
3 C． 10
6
D． 3
2
18．如图，在正方形 ABCD 中，△BPC 是等边三角形，BP、CP 的延长线分别交 AD 于点 E、
F，连接 BD、DP，BD 与 CF 相交于点 H，给出下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；
③△PFD∽△PDB；④DP2=PH·PC；其中正确的有（ ）
A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③
二、填空题
19．如图，已知 DC 为∠ACB 的平分线，DE∥BC．若 AD＝8，BD＝10，BC＝15，求 EC 的
长＝_____．
6
20．如图，在平行四边形 ABCD 中， 6AB ， 9AD ， BAD 的平分线交 BC 于 E，交 DC
的延长线于 F， BG AE 于 G， 4 2BG ，则 CE 的长______，为 AF 的长为______．
21．如图，在 ABC 中，D、E 分别是 AC、AB 上的点， AD
AE
＝ AB
AC
，若 1
3ADES△ ＝ S 四边形 DEBC，
则 DE
BC
＝_____．
22．如图，在 Rt ABC 中， 90ACB ， 6AC ， 8BC ，D，E 分别是边 AC，BC 上
的两动点，将 CDE 沿着直线 DE 翻折，点 C 的对应点为 F，若点 F 落在 AB 边上，使 BEF
为直角三角形，则 BF 的长度为______ ．
23．如图，在矩形 ABCD 中， 4AB ， 6AD ， BE 平分 ABC ，点 F 在线段 BE 上，
3 2BF ，过点 F 作 FG DF^ 交 BC 边于点G ，交 BD 边于点 H ，则 GH ___．
24．如图，在矩形 OAA1B 中，OA=3，AA1=2，连接 OA1，以 OA1 为边，作矩形 OA1A2B1 使
A1A2
2
3
OA1，连接 OA2 交 A1B 于点 C；以 OA2 为边，作矩形 OA2A3B2，使 A2A3
2
3
OA2，连
7
接 OA3 交 A2B1 于点 C1；以 OA3 为边，作矩形 OA3A4B3，使 A3A4
2
3
OA3，连接 OA4 交 A3B2 于
点 C2；…按照这个规律进行下去，则△C2019C2020A2022 的面积为____．
三、解答题
25．如图，已知 AABC DE∽△△ ，求证： ABD ACE ∽ ．
26．如图，在梯形 ABCD 中， / / ,AD BC AB CD ，过点 A 作 AE BC ，垂足为点 E，过
点 E 作 EF CD ，垂足为点 F，联结 DE ，且 DE 平分 ADC ．
（1）求证： ABE ECF≌△ △ ；
（2）联结 BD ， BD 与 AE 交于点 G，当 2 AB BG BD 时，求证 2 EC BE BC ．
27．如图，已知 Rt ABC△ 中， 90ACB ， 4CA CB ，CD AB 于点 D ，点 M 是
线段 BD 上的一个动点．
8
（1）如图 1，若点 M 恰好在 BCD 的角平分线上，则 AM ______；
（2）如图 2，若点 N 在线段 AB 上，且 45MCN ，过点 M 、 N 分别作 ME CB 于点
E ， MF CA 于点 F ．
①求证： ACM△ ∽ BNC ；
②求 AM BN 的值；
③求CE CF 的值．
28．在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O．若点 E 是 BC 上的一个动点．
（1）如图 1，若 F 为 DE 的中点，求证：CF＝DF；
（2）如图 2，连接 DE，交 AC 与点 F，当 DE 平分∠CDB 时，求证：AF＝ 2 OA；
（3）如图 3，当点 E 是 BC 的中点时，过点 F 作 FG⊥BC 于点 G，求证：CG＝ 1
2 BG．
29．（1）问题探究：如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E 、 F 、G 分别是 BC 、 AB 、CD 上
的点，且 FG AE ，求证： FG AE ；
（2）类比应用：如图 2，在矩形 ABCD 中， AB nBC ，FG AE ，将矩形 ABCD 沿 FG
折叠使点 A 落在 E 点处，得到矩形 FEPG ．
①若点 E 为 BC 的中点，试探究 FG 与 AF 的数量关系；
9
②拓展延伸：连CP ，当 3
2n 时， 2 10GF ， 3
4tan CGP ，求CP 的长．
30．在 ABC 中， AB AC ，点 D 在 AC 边上， ADE ABC ，分别连接 ,BD CE ．
（1）如图 1， , ,B D E 三点在同一条直线上．
①若 2, 3AD BC ，求 AB 的长；
②求证： 2CE AB CD ．
（2）如图 2，若 60BAC ， , ,D M N 分别是 , ,AC BD CE 的中点，求 MN
BC
的值．
1
参考答案
1．C
解：∵ ABC DEF∽△ △ 且周长之比 1：3，
∴ ABC 与 DEF 的相似比=1：3，
∴ ABC 与 DEF 的面积比=12：32=1：9，
2．C
解：A. BAD C
,BDA C DAC BAD DAC BAE
又 AE∵ 平分 ABC
ABE EBC
BDF BAE
故 A 不符合题意；
B. AE∵ 平分 ABC
ABE EBC
又 BAD C
BFA BEC
故 B 不符合题意；
C. 三角形 BDF 与三角形 BEC ，仅有一个公共角 EBC ，不能证明相似，故 C 错误，符
合题意；
D. ,BAD C ABC ABC
BAC BDA
故 D 不符合题意，
3．D
解：∵ B ACD ，∠CAD=∠BAC=90°，
∴△CAD∽△BAC，
∴ AD AC
AC AB
，
设 BD x ，则 6 4
4 6
x ，解得 10
3x ，
4．C
2
解：∵ //DE BC ，
∴△ADE∽△ABC，
∴ =AD DE
AB BC
即 4 3=4 8 BC
，
∴ =9BC ．
5．D
∵ //DE AC ，
∴ ABC DBE∽△ △ ， DEF CAF∽△ △
∵ : 1:3BDE CDES S ，
∴ : 1:3BE EC ， 1: 4BE BC ∶ ，
∴ : 1:4DE AC ，
∴
21 1
4 16:DEF ACFS S
，
6．A
解：∵OA•OB＝OP2，
∴ OB OP
OP OA
，
∵∠BOP＝∠AOP，
∴△PBO∽△APO，
∴∠OBP＝∠OPA，
∵∠MON＝54°，
∴∠BOP＝27°，
∴∠OBP+∠BPO＝180°﹣27°＝153°
∴∠APB＝∠BPO+∠APO＝153°；
7．C
解：∵D、E 为边 AB 的三等分点，EF∥DG∥AC，
∴BE＝DE＝AD，BF＝GF＝CG，AH＝HF，
∴AB＝3BE，DH 是△AEF 的中位线，
∴DH 1
2
EF，
∵EF∥AC，
3
∴△BEF∽△BAC，
∴ EF BE
AC AB
，即
9 3
EF BE
BE
，
解得：EF＝3，
∴DH 1
2
EF 1
2
3＝ 3
2
，
8．C
解：∵四边形 ABCD 是矩形，设CE 与 BD 交于点 P ，如图，
∴ / /AB CD
∴ CDP EBP
又 BPE DPC
∴ BPE DPC
∴ BE BP
CD DP
在矩形 ABCD 中，OB OD
∵CE 平分 OB，
∴OP BP
∴ 1
3
BP
DP
∴ 1
3
BE
CD
∵ 6CD AB
∴ 2BE
在 Rt CBE 中， 2, 4BE BC
∴ 2 2 2 24 2 2 5CE BC BE
∵ F 为 CE 中点，
4
∴ 1 52BF EF EC
∴ BEF 的周长等于 2 5 5 2 2 5BE EF BF
9．B
解：∵ BE AC ，CD AB ， A 为公共角，
∴ ABE△ ∽ ACD△ ，
∴ AD AC
AE AB
，
∴ ADE ∽ ACB△ ，
∴ 10
10
AE DE
AB BC
，
∴ 10AB AE ，
在 Rt ABE△ 中， 2 2 2AE BE AB ，
即 22 26 10AE AE ，解得 2AE （负值已舍去），
10．A
解：∵ 6 2, 90AC BC C ，
∴ 2 2 2 2(6 2) (6 2) 12AB AC BC ，
∵DH⊥AC，
∴DH∥BC，
∴△ADH∽△ABC，
∴ AH DH AD
AC BC AB
，
∵AD=7，
∴ 7
126 2 6 2
AH DH ，
∴ 7 2
2AH DH ，
将∠B 沿过点 D 的直线折叠，
情形一：当点 B 落在线段 CH 上的点 P1 处时，如图 1 中，
5
∵AB=12，
∴DP1=DB=AB-AD=5，
∴ 2 2 2 2
1 1
7 2 2. 5 ( )2 2HP DP DH ，
∴ 1 1 4 2AP AH HP ；
情形二：当点 B 落在线段 AH 上的点 P2 处时，如图 2 中，
同法可得 2
2
2HP ，
2 2 3 2AP AH HP ，
综上所述，满足条件的 AP 的值为 4 2 或3 2 ．
11．B
解：∵PQ∥BC，
∴ ,AQP C APQ B
∴△APQ∽△ABC，
∴
22
2
AQP
ACB
S AP AP
S AB AB
，
∴S＝（ AP
AB
）2，
∴（
2
t ）2＝S，
∴S＝ 21
4 t ，0≤t≤2，
6
结合二次函数的图象，可得其图象为 B．
12．C
解：连接 OB，OC，作 BE⊥OP 于 E，CF⊥OP 于 F．
∵OA//BC，
∴S△OBC＝S△ABC＝10，
∵ 1
2
BP
CP
，
∴S△OPB＝10
3
，S△OPC＝ 20
3
，
∵S△OBE＝ 8 =42
，
∴S△PBE＝ 10 24 3 3
，
∵△BEP∽△CFP，
∴S△CFP＝4× 2
3
＝ 8
3
，
∴S△OCF＝S△OCP －S△CFP＝ 20 8 12 43 3 3
，
∴k＝−8．
13．D
解：∵∠OBA＝90°，AC 平分∠OAB，OD 平分∠AOB，
∴∠DOA+∠OAC=45°，
∴∠OEA=135°，
∴∠OEC=45°，
过 C 作 CF⊥OE 于点 F，过点 E 作 EG⊥OB 于点 G，过点 E 作 EH⊥OA 于点 H，
7
在 Rt△CEF 中，∠OEC=45°， 2CE ，
∴CF=EF，
设 CF=EF=x，则有 2 2 2CE CF EF ，即有： 22=2x ，
解得：x=1 或-1(舍)，
∴CF=EF=1，
在 Rt△OCF 中，OC= 5 ，
∴OF= 2 2 2OC CF ，
∵∠COF=∠EOG，∠OFC=∠OGE=90°，
∴△OFC∽△OGE，
∴ OC CF
OE GE
，即 5 1
3 GE
，
∴ 3 5
5GE ，
∵OD 平分∠AOB，
∴GE=EH= 3 5
5
，
在 Rt△OEH 中， 2 2 6 5
5OH OE EH ，
∴E( 6 5 3 5,5 5
)，
∵E 在 ( 0 0)ky k xx
， 上，
8
∴
3 5
5 6 5
5
k ，
∴k=18
5
，
14．A
作点 F 作 FG⊥BC 于 G，
∵∠DEB+∠FEG＝90°，∠DEB+∠BDE＝90°；
∴∠BDE＝∠FEG，
在△DBE 与△EGF 中，
B FGE
BDE FEG
DE EF
，
∴△DBE≌△EGF（AAS），
∴EG＝DB，FG＝BE＝x，
∴EG＝DB＝2BE＝2x，
∴GC＝y﹣3x，
∵FG⊥BC，AB⊥BC，
∴FG∥AB，
∴△FGC∽△ABC，
∴CG：BC＝FG：AB，
即
4
x ＝ 3y x
y
，
∴y＝﹣ 12
4
x
x
．
15．B
解： 90ADE EDC EDC IDK ，
ADE IDK ，
9
又 //DC HG ，
IDK HGK ADE ，
又 90EAD KHG ，
ADE HGK△ ∽△ ，
9= 4
ADE
HGK
S
S △
△
，
3
2
AD
HG
，
设 3AD x ，则 2CG x ，
由已知： AD CD ， DG DE ， 90DAE DCG ，
( )ADE CDG HL△ ≌△ ，
=2AE CG x ，
又 2 6ADESAE AD x
△ ，
62x x
，
解得 3x ，检验是方程的解，
3 3AD ， 2 3HG ，
作 EM DC ， KN CG ，四边形 AEMD 、 KNGH 、 ICNK 、 EBCM 是矩形，
9ADE DMES S △ △ ， 4HGK KNGS S △ △ ，
2 4 3
3
HGKSHK HG
△ ，
2 3
3IK HI HK ，
2 3 2 3 43ICNKS ，
2 4 4 8ICNK KNGS S S △ ，
90LEB AED ，
LEB ADE IDK ，
又 3DI DC CI EB AB AE x ， 90EBL DIK ，
10
DIK EBL△ ≌△ ，
2 3
3IK BL ，
7 3
3LC BC BL ，
( ) 82ELCM
LC EM MCS ，
1 8 9 17ELCM DEMS S S △ ，
1
2
17
8
S
S
，
16．B
解： 90BAC ， AC AB ， AD BC ，
45ABC C ， AD BD CD ， 90ADN ADB ，
45BAD CAD ，
BE 平分 ABC ，
1 22.52ABE CBE ABC ，
90 22.5 67.5BFD AEB ，
67.5AFE BFD AEB ，
AF AE ， AM BE ，
90AMF AME ，
90 67.5 22.5DAN MBN ，
在 FBD 和 NAD 中，
11
FBD DAN
BD AD
BDF ADN
，
( )FBD NAD ASA ≌ ，
DF DN ，故①正确；
AB BM ，
ABE 与 MBN 显然不全等，故②错误，
在 AFB 和△ CNA 中，
45
22.5
BAF C
AB AC
ABF CAN
，
( )AFB CAN SAS ≌ ，
AF CN ，
AF AE ，
AE CN ，故④正确，
ABE MBN ， 90BAE BMN ，
ABE MBN ∽ ，
AB AE
BM MN
，
AB BM ，
AE MN ，
MN CN ，故③错误．
17．C
解：∵在等腰 Rt△ABC 中∠C=90°，AC=BC=2 2 ，
∴AB= 2 AC=4，∠A=∠B=45°，
如图，过 B′作 B′H⊥AB 与 H，
12
∴△AHB′是等腰直角三角形，
∴AH=B′H= 2
2
AB′，
∵AB′= 1 22 AC ，
∴AH=B′H=1，
∴BH=3，
∴BB′= 2 2 2 2' 1 3 10B H BH ，
∵将△BDE 沿 DE 折叠，得到△B′DE，
∴BF= 1 10
2 2BB ，DE⊥BB′，
∴∠BHB′=∠BFE=90°，
∵∠EBF=∠B′BH，
∴△BFE∽△BHB′，
∴
'
EF BF
B H BH
，
∴
10
2
1 3
EF ，
∴EF= 10
6
，
故答案为： 10
6
18．C
解：在正方形 ABCD 中，AD∥BC，AB=BC=DC，
∠A=∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°，∠ABD=∠ADB=∠BDC=45°
∵△BPC 是等边三角形
13
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
∴DC=PC ，∠ABE=∠ABC-∠PBC=30°
∴BE=2AE，故①正确；
∵AD∥BC
∴∠PFD=∠BCF=60°
∴∠PFD=∠BPC
同①得：∠DCF=30°
∴∠CPD=∠CDP=75°
∴∠PDF=15°
又∵∠PBD=∠ABD-∠ABE=45°-30°=15°，
∴∠PDF=∠PBD
∴△DFP∽△BPH，故②正确；
∵∠PDB=∠CDP-∠BCD=75°-45°=30°，∠PFD=60°
∠BPD=135°，∠DPF=105°
∴∠PDB≠∠PFD≠∠BPD≠∠DPF
∴△PFD 与△PDB 不相似，故③错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC
∴△DPH∽△CDP
∴ PH PD
PD PC
∴PD2=PH·CD，故④正确．
19． 20
3
解：∵DC 为∠ACB 的平分线
∴∠BCD=∠ECD
∵DE∥BC
∴∠EDC=∠BCD
∴∠EDC=∠ECD
∴EC=DE
∵AD=8，BD=10
∴AB=18
14
∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴ AD DE
AB BC
，
∵AD=8，AB=18，BC=15
∴ 8
18 15
DE ，
∴ 20
3DE
∴ 20
3
EC
20．3 6
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ //AD BC ， //AB DC ，
∴ DAE BEA ，
∵ BAD 的平分线交 BC 于 E，
∴ BAE DAE ，
∴ BAE AEB ，
∴AB=BE，
∵ BG AE ，
∴ 1
2AG GE AE ，
∵ 6AB ，
∴ 6BE ，
∵ 9AD ，
∴ 3CE ，
∵ 4 2BG ，
∴根据勾股定理可得 2 2 2AG AB BG ，
∴ 4AE ，
∵ //AB DC ，
∴△ABE∽△FCE，
15
∴ 6 23
AE BE
EF EC
，
∴ 2EF ,
∴AF=6；
21． 1
2
解：∵ 1
3ADES△ ＝ S 四边形 DEBC，
∴S△ADE＝ 1
4 S△ABC，
∵ AD
AE
＝ AB
AC
，∠DAE＝∠BAC，
∴△DAE∽△BAC，
∴
2
ADE
ABC
S DE
S BC
△
△
，
∴ 1
2
DE
BC
，
22． 40
7
或 4
解：如图，当 90EFB 时，
将 CDE△ 沿着直线 DE 翻折，
6AC AF ，
6AC ， 8BC ，
2 2 2 26 8 10AB AC BC ，
10 6 4BF AB AF ，
当 90FEB 时，
16
设 EF CE x ，则 8BE x ，
FE BC ， AC BC ，
/ /EF AC ，
FEB ∽ ACB△ ，
EF BE
AC BC
，
8
6 8
x x ，
24
7x ，
32
7BE ，
2 2 40
7BF BE EF ．
23． 8 10
11
解：如图，过点 F 作 BC 的垂线，分别交 BC、AD 于点 M、N，则 MN⊥AD，延长 GF 交 AD
于点 Q，如图所示．
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC=90°，AD∥BC，
∵BE 平分∠ABC，
∴∠AEB=∠ABE=∠EBC=45°，
∴△NFE、△MBF 和△ABE 都是等腰直角三角形，
∵ 3 2BF ， 4AB
∴BM=FM=3， 4 2BE ，
∴ 2FE
∴NF=NE=1，
∵FD⊥FG，
17
∴∠DFG=90°，
∴∠DFN+∠MFG=90°，
∵MN⊥AD，
∴∠NDF+∠DFN=90°，
∴∠NDF=∠MFG，
在 DNF 和△FMG 中，
90
NDF MFG
DNF FMG
FD FM
，
∴△DNF≌△FMG（AAS），
∴DN=FM=3，NF=MG=1，
由勾股定理得： 10FG FD
∵QN∥BC，
∴△QFN∽△GFM，
∴ FN FQ QN
FM GF MG
，即 1
3 110
FQ QN ，
∴ 10 1,3 3FQ QN ，
设 GH=x，则 10FH x ，
∵QD∥BG，
∴△QHD∽△GHB
∴ QD QH
BG GH
∴
1 103 103 3
3 1
x
x
，解得 8 10
11x ，
即 8 10
11GH ．
24．
2021
4039
13
3 36
．
18
解：在矩形 OAA1B 中，∵OA=3，AA1=2，
∴∠A=90°，
∴ 2 2 2 2
1 1 2 3 13OA OA A A ，
∵ 1 2 1
1
2
3
A A AA
OA OA
，
∴ 1 2 1
1
A A OA
AA OA
，
∵∠OA1A2=∠A=90°，
∴△OA1A2∽△OAA1，
∴∠A1OA2=∠AOA1，
∵A1B//OA，
∴∠CA1O=∠AOA1，
∴∠COA1=∠CA1O，
∴OC=CA1，
∵∠A2OA1+∠OA2A1=90°，∠OA1C+∠A2A1C=90°，
∴∠CA2A1=∠CA1A2，
∴CA1=CA2=OC，
同法可证 OC1=A3C1，
∴CC1∥A2A3，CC1= 1
2 A2A3，
∴S△CC1A3=S△CC1A2，
∵ 1 2
2 13
3A A ，
∴ 2 2 2 2
2 1 1 2
2 13 13( 13) ( )3 3OA AO A A ，
∴ 2 3
2 13 26
3 3 9A A ，
∴ 1 2 3
1 13
2 9CC A A ，
∴
1 3 1 2
1 13 13 169
2 9 6 108CC A CC AS S ，
同法可证 1 2 4 1 2 3C C A C C AS S ，
19
由题意， 3 1 3 2
2 2
13
3C
A C OA OA
A OA OA
，
∵△C2A3C1∽△C1A2C，
∴相似比为： 3 1
2
13
3
A C
A C
，
∴
1 2 4 2 3 5
3 4
2
3 5
13 169 13 13( ) ,3 108 3 36 3 36C C A C C AS S
，…，
由此规律可得，△C2019C2020A2022 的面积为
2021
4039
13
3 36
．
25．见解析
证明：∵ AABC DE∽△△ ，
∴ AB AC
AD AE
， BAC DAE ，
∴ AB AD
AC AE
， BAC DAC DAE DAC ，
∴ BAD CAE ，
∴ ABD ACE ∽ ．
26．（1）见解析；（2）见解析
（1）∵ / /AD BC ， AE BC ，
∴ 90EAD ，
∵ 90DFE ， DE 平分 ADC ，
∴ AE FE ，
∵ AB CD ，
∴ B C ，
在△ABE 和△ECF 中，
90
B C
AEB EFC
AE EF
，
∴ ABE ECF≌△ △ ；
（2）连接 BD，
20
∵ 2 AB BG BD ，
∴ AB BD
BG AB
，
∴ ∽ ABD GBA ，
∴ ADB GAB ，
∵ 90AEB ∠ ，
∴ 90BAE ABE ，
∴ 90BDA ABE ，
∵ ABE DCB ，
90BDA DCB ，
∵ / /AD BC ，
∴ 90 ADB BCD ， ADC ADB BDC ，
∴ 180 90BDC ADB BCD ，
∵ BCD ABE ， 90 AEB BDC ，
∴ ABE BCF ，
∴ AB BC
BE DC
，
∵ AB CD ，
∴ AB BC
BE AB
，
∴ 2 AB BE BC ，
∵ AB CE ，
∴ 2 EC BE BC ；
27．（1）4；（2）①见解析；②16 ；③8
21
（1）根据题意可知 ABC 为等腰直角三角形．
∵CD AB ，
∴ 45BCD ACD ．
∵点 M 恰好在∠BCD 的角平分线上，
∴ 1 22.52MCD BCD ．
∴ 90 90 22.5 67.5DMC MCD ，
45 22.5 67.5ACM ACD MCD ．
∴ DMC ACM ，
∴ 4AM AC ．
（2）①∵ 45AMC B BCM BCM ，
45BCN MCN BCM BCM ．
∴ AMC BCN ．
又∵ 45A B ，
∴ ACM BNC ．
②∵ ACM BNC ，
∴ AM AC
BC BN
，即 4
4
AM
BN
．
∴ 4 4 16AM BN ．
③∵ 45BCD ECM DCM ， 45MCN DCM DCN ，
∴ ECM DCN ，
又∵ 90CEM CDN ，
∴ CEM CDN ，
∴ CE CM
CD CN
．
∵ 45ACD FCN DCN ， 45MCN DCM DCN ，
∴ FCN DCM ，
又∵ 90CFN CDM ，
∴ CFN CDM ，
∴ CD CM
CF CN
．
∴ CD CE
CF CD
．
22
∴ 2CE CF CD ．
在 Rt ACD△ 中， 2 22CD CA ，
∴ 2 21 4 82CD ．
∴ 8CE CF ．
28．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠DCB＝90°，
∵F 为 DE 的中点，
∴CF＝ 1
2 DE，DF＝ 1
2 DE，
∴CF＝DF；
（2）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ADB＝∠ACD＝45°，AD＝ 2 OA，
∵DE 平分∠CDB，
∴∠BDE＝∠CDE，
∵∠ADF＝∠ADB+∠BDE，∠AFD＝∠ACD+∠CDE，
∴∠ADF＝∠AFD，
∴AF＝AD，
∴AF＝ 2 OA；
（3）证明：设 BC＝4x，CG＝y，
∵E 为 BC 的中点，
则 CE＝2x，FG＝y，
∵FG⊥BC
∵FG∥CD，
∴△EGF∽△ECD，
∴ EG FG
EC CD
，
即 2
2 4
x y y
x x
，
23
整理得，y＝ 4
3 x，即 CG＝ 4
3 x，
则 EG＝2x﹣y＝ 2
3 x，
∴BG＝2x+ 2
3 x＝ 8
3 x，
∴CG＝ 1
2 BG．
29．（1）见解析；（2）①
24 1
4
AF n
FG
；② 9 55CP
（1）证明：如图，过点G 作GH AB 于 H ，则∠AHG＝∠FHG＝90°，
∵在正方形 ABCD 中，
∴∠HAD＝∠D＝∠B＝90°，AD＝AB，
∴四边形 AHGD 为矩形，
∴AD＝HG，
∴AB＝HG，
∵ FG AE ，
∴∠FQA＝90°，
∴∠AFQ＋∠BAE＝90°，
∵∠FHG＝90°，
∴∠AFQ＋∠FGH＝90°，
∴∠BAE＝∠FGH，
∴在 ABE△ 与 GHF△ 中
BAE HGF
AB HG
B FHG
24
∴ ABE GHF （ASA），
∴ FG AE ；
2 ①∵点 E 为 BC 的中点，
∴ 1
2BE CE BC ，
∵折叠，
∴设 AF EF x ，
∴ FB AB AF nBC x ，
在 Rt BFE 中，BF2＋BE2＝EF2，
∴ 2 2 21( )2nBC x BC x ，
解得：
24 1
8
nx BC AFn
，
又∵ 2 2 2AE AB BE ，
∴ 2 2 21( )4AE n BC ，
如图，过点G 作GH AB 于 H ，则∠AHG＝∠FHG＝90°，
∵在矩形 ABCD 中，
∴∠HAD＝∠BCD＝∠B＝90°，
∴四边形 AHGD 为矩形，
∴BC＝HG，
∵∠FHG＝90°，
∴∠AFQ＋∠FGH＝90°，
∵ FG AE ，
∴∠FQA＝90°，
∴∠AFQ＋∠BAE＝90°，
25
∴∠BAE＝∠FGH，
又∵∠FHG＝∠D＝90°，
∴ ABE GHF ，
AE AB AB nFG GH BC
，
AE nFG ，
2 2 2n FG AE ，
2 2 2 21( )4n FG n BC ，
2
2 2
2
4 1
4
nFG BCn
，
又∵
24 1
8
nAF BCn
，
2 2
2 2
2
(4 1)
64
nAF BCn
，
∴
2 2
2
4 1
16
AF n
FG
，
∴
24 1
4
AF n
FG
；
②如图，过点 P 作 PM BC 于点 M ，
∵ 2 10GF ， 3
2n ，
∴由①得 3 3 102AE FG ，
∵∠EPG＝∠GCE＝90°，∠EOC＝∠GOP，
∴∠CGP＝∠OEC，
26
∵∠FEP＝∠B＝90°，
∴∠OEC＋∠BEF＝90°，∠BFE＋∠BEF＝90°，
∴∠BFE＝∠OEC，
∴∠BFE＝∠CGP，
又∵ 3
4tan CGP ，
∴ 3
4
BEtan BFE BF
，
∴设 3BE x ， 4BF x ，
则 5EF AF x ， 9AB x ，
22 29 3 3 10x x ，
解得： 1x ，
3BE ， 4BF ， 9AB ，
2 63BC AB ，
3CE ， 6PE AD ，
90FEP FAD ，
BEF MPE ，
EF BF BE
PE ME MP
，
5 4 3
6 ME MP
，
24
5ME ， 18
5MP ，
24 935 5CM ，
2 2 9 55CP CM PM ．
30．（1）①1 10 ；②见解析；（2） 7
4
MN
BC
解：（1）①∵ ADE ABC ，
∴ ACB AED ，
又∵ BDC ADE ，
∴ ADE BDC ，
∴ BDC ABC ，
27
∴ BC AC
CD BC
．
设 AB AC x ，则 3
2 3
x
x
，
解得 1 10x （负值已舍去），即 AB 的长为1 10 ；
②证明：∵ ,ADE ABC AB AC ，
∴ ,AD AE DAE BAC ，
∴ ABD ACE SAS ，
∴ ,CE BD ABD ECD ，
∴ ABD ECD ，
∴ 2CE AB CD ；
（2）如图，连接 AN ，由（1）得 ABD ACE ，
∴ ,ABM ACN BD CE ，
∵ ,M N 分别是 ,BD CE 的中点，
∴ BM CN ，
又∵ AB AC ，
∴ ABM ACN SAS ，
∴ ,AM AN BAM CAN ，
∵ 60BAM MAC ,
∴ 60CAN MAC ,
∴ 60MAN BAC ，
∴ AMN 是等边三角形，
∴ AMN ABC ，
28
∵D 是 AC 的中点，
设 AD a ，则 2AB BC a ，
∴ BD AC ,
∴ 2 2 2 24 3BD AB AD a a a ，
∴ 3
2DM a ,
∴
2
2 2 2 3 7
2 2AM MN AD DM a a a
，
∴
7
72
2 4
aMN
BC a
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