资料简介
第十六章 二次根式
二次根式的概念
学习目标
1.理解二次根式的概念.（重点）
2.掌握二次根式有意义的条件.（重点）
3. 会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
问题1 什么叫做平方根?
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数
叫做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根?
如果一个非负数x的平方等于a, x2 = a（a≥0），那么
这个非负数x 叫做a 的算术平方根.用 表示.( 0)a a
问题3 什么数有平方根?
我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内
开平方时，被开方数只能是正数或0.
思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
(1)若面积为3 的正方形,则边长为 _____m；若面积
为S 的正方形的边长为_____m．
(2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，
则它的宽为_____m．
S
3
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t
（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m） 满足关系
h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ， 那么t为_____．5
h
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根
式. “ ”称为二次根号.
( 0)a a
两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ”
②内在特征：被开方数a ≥0
注意：a可以是数，也可以是式.
11
1
1.二次根式的概念及有义的意条件
上面问题中，得到的结果分别是 ， ， ， .
问题：这些式子有什么共同特征？
①含有“ ”
②被开方数为非负数.
3 S 5
h
2
）（ 0mm
1m2
下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：(1)(4)(5)(7)均是二次根式，其中a2+1属于“非
负数+正数”的形式一定大于零.(2)(3)(6)(8)均
不是二次根式.
①是否含二次根号 ②被开方数是不是非负数分析：
例1
321 62 123 04 mm
45 a6 17 2a 3 58
当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义?2x
解：由x-2≥0，得 x≥2.
当x≥2时， 在实数范围内有意义.2x
【变式题1】
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范 围内有
意义？ 11
1x
（ ） ；
解：由题意得，∵被开方数大于等于0，
∴得x-1≥0，
∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.
.∴x＞1
例2
∴x≥1
3(2) .1
x
x
解：∵被开方数需大于或等于零，
∴3+x≥0，∴x≥-3.
∵分母不能等于零，
∴x-1≠0，∴x≠1.
∴x≥-3 且x≠1.
归纳：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方
数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分
式的分母时，应同时考虑分母不为零.
当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；
当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 =0.这就是说
，当a≥0时， ≥0.
aa
a a
a
问题： 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？
它本身的取值范围又是什么？
a
二次根式的双重非负性2
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平
方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：a
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0. a a
二次根式的被开
方数非负
二次根式的值非
负
二次根式的
双重非负性
注意：三个非负数——绝对值、完全平方式、
二次根式。
例3 的值？成立，则若 yxxxy 322.1
的值？和，求若 yxyxy 023.2 2
分析：利用二次根式、完全平方的非负性
.解：由题意得
02
03 2
yx
y
02
03
yx
y
3-
5
y
x解之得：
分析：利用被开方数的非负性
.解：由题意得
02
02
x
x
2
2
x
x解之得： 2 x 3 y 5 yx
几个非负数之和为零，则每个非负数都为零
∵它们之和为零
二次根式
定 义
带有二次根号
在有意义条
件下求字母
的取值范围
抓住被开方数必须为
非负数，从而建立不
等式求出其解集
被开方数为非负数
二次根式的
双重非负性
二次根式 中,a≥0且
≥0
a
a
1.下列各式： .
一定是二次根式的有 （ ）
2 233; 5; ; 1 1 27 2 1a x x x x ≥ ； ;
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值
范围是_______;
1
2
x
(2)若式子 在实数范围内有意义，则x的
取值范围是___________.
B
x≥1
x≥0且x≠2
2x
x
3.当x=____时，二次根式 取最小值，其最小值
为______．
4 .
-1 1x
0
。则若 _______,023 abba 8
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