资料简介
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6．3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
1.给出下列几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如下图，向量 a，b，c 的坐标分别是________、________、________.
3．在平面直角坐标系中，点 A(2,3)，B(－3,4)，如图所示，x 轴、y 轴正方
向上的两个单位向量分别为 i 和 j，则下列说法正确的是________(只填序号)．
①OA→＝2i＋3j；②OB→＝3i＋4j；③AB→＝－5i＋j；
④BA→＝5i－j.
知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示
4.如果用 i，j 分别表示 x 轴和 y 轴方向上的单位向量，且 A(2,3)，B(4,2)，
则AB→可以表示为( )
A．2i＋3j B．4i＋2j
C．2i－j D．－2i＋j
5．在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则
BD→等于( )
A．(－2，－4) B．(－3，－5)
C．(3,5) D．(2,4)
知识点三 平面向量加、减坐标运算的应用
6.设 i，j 是平面直角坐标系内分别与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，
且OA→＝4i＋2j，OB→＝3i＋4j，OC→＝AB→，则 C 点的坐标为( )
A．(－2,1) B．(1，－2) C．(2，－1) D．(－1,2)
7．已知平面上三个点的坐标为 A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，求点 D 的坐标，
使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．
8．已知点 A(2,3)，B(5,4)，AC→＝(5λ，7λ)．若AP→＝AB→＋AC→(λ∈R)，试求
λ为何值时：
(1)点 P 在第一、三象限的角平分线上？
(2)点 P 在第三象限内？
一、选择题
1．已知MA→＝(－2,4)，MB→＝(2,6)，则AB→＝( )
A．(0,5) B．(4,2)
C．(2,5) D．(2,1)
2．向量AB→＝(7，－5)，将AB→按向量 a＝(3,6)平移后得向量A′B′→ ，则A′B′→
的坐标为( )
A．(10,1) B．(4，－11)
C．(7，－5) D．(3,6)
3．若向量 a＝(x＋3，x2－3x－4)与AB→相等，已知 A(1,2)和 B(3,2)，则 x 的
值为( )
A．－1 B．－1 或 4
C．4 D．1 或－4
4．已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→＝( )
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
5．(多选)已知向量 i＝(1,0)，j＝(0,1)，关于坐标平面内的任一向量 a，
下列结论中正确的是( )
A．存在唯一的一对实数 x，y，使得 a＝(x，y)
B．若 x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则 x1≠x2 或 y1≠y2
C．若 x，y∈R，a＝(x，y)，且 a≠0，则 a 的起点是原点 O
D．若 x，y∈R，a≠0，且 a 的终点坐标是(x，y)，则 a＝(x，y)
二、填空题
6．在平面直角坐标系内，已知 i，j 是两个互相垂直的单位向量，若 a＝i
－2j，则向量 a 用坐标表示为________．
7．已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，|OA→|＝4 3，∠xOA＝60°，则OA→的
坐标为________．
8．如图，在正方形 ABCD 中，O 为中心，且OA→＝(－1，－1)，则OB→＝________；
OC→＝________；OD→＝________.
三、解答题
9．已知 a＋b＝(2，－3)，a－b＝(－6,7)，求 a 和 b.
10．已知点 A(2,2)，B(－2,2)，C(4,6)，D(－5,6)，E(－2，－2)，F(－5，
－6)．在平面直角坐标系中，分别作出向量AC→，BD→，EF→，并求向量AC→，BD→，EF→的坐标．
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6．3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
1.给出下列几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③
错误．
2．如下图，向量 a，b，c 的坐标分别是________、________、________.
答案 (－4,0) (0,6) (－2，－5)
解析 解法一：将各向量向基底所在直线分解．
a＝－4i＋0j，∴a＝(－4,0)，b＝0i＋6j，∴b＝(0,6)，
c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．
解法二：根据一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标，知 a＝
(－6,2)－(－2,2)＝(－4,0)；b＝(2,6)－(2,0)＝(0,6)；c＝(－3，－6)－(－1，
－1)＝(－2，－5)．
3．在平面直角坐标系中，点 A(2,3)，B(－3,4)，如图所示，x 轴、y 轴正方
向上的两个单位向量分别为 i 和 j，则下列说法正确的是________(只填序号)．
①OA→＝2i＋3j；②OB→＝3i＋4j；③AB→＝－5i＋j；
④BA→＝5i－j.
答案 ①③④
解析 i，j 互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有OA→＝2i＋3j，
OB→＝－3i＋4j，AB→＝OB→－OA→＝－5i＋j，BA→＝OA→－OB→＝5i－j，故①③④正确.
知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示
4.如果用 i，j 分别表示 x 轴和 y 轴方向上的单位向量，且 A(2,3)，B(4,2)，
则AB→可以表示为( )
A．2i＋3j B．4i＋2j
C．2i－j D．－2i＋j
答案 C
解析 记 O 为坐标原点，则OA→＝2i＋3j，OB→＝4i＋2j，所以AB→＝OB→－OA→＝2i
－j.
5．在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则
BD→等于( )
A．(－2，－4) B．(－3，－5)
C．(3,5) D．(2,4)
答案 B
解析 ∵AC→＝AB→＋AD→，∴AD→＝AC→－AB→＝(－1，－1)，∴BD→＝AD→－AB→＝(－3，
－5)，故选 B.
知识点三 平面向量加、减坐标运算的应用
6.设 i，j 是平面直角坐标系内分别与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，
且OA→＝4i＋2j，OB→＝3i＋4j，OC→＝AB→，则 C 点的坐标为( )
A．(－2,1) B．(1，－2) C．(2，－1) D．(－1,2)
答案 D
解析 由题意可知 A(4,2)，B(3,4)，AB→＝OB→－OA→＝－i＋2j.∵OC→＝AB→，∴OC→
＝－i＋2j，∴C(－1,2)．
7．已知平面上三个点的坐标为 A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，求点 D 的坐标，
使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．
解 设点 D 的坐标为(x，y)，
①当平行四边形为 ABCD 时，AB→＝DC→，
∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，
∴
1－x＝1，
－2－y＝－1，
∴
x＝0，
y＝－1.
∴D(0，－1)；
②当平行四边形为 ABDC 时，同①可得 D(2，－3)；
③当平行四边形为 ADBC 时，同①可得 D(6,15)．
综上所述，点 D 的坐标可能为(0，－1)或(2，－3)或(6,15)．
8．已知点 A(2,3)，B(5,4)，AC→＝(5λ，7λ)．若AP→＝AB→＋AC→(λ∈R)，试求
λ为何值时：
(1)点 P 在第一、三象限的角平分线上？
(2)点 P 在第三象限内？
解 设点 P 的坐标为(x，y)，
则AP→＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，
AB→＋AC→＝(5,4)－(2,3)＋(5λ，7λ)
＝(3,1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
∵AP→＝AB→＋AC→，且AB→与AC→不共线，
∴
x－2＝3＋5λ，
y－3＝1＋7λ，
则
x＝5＋5λ，
y＝4＋7λ.
(1)若点 P 在第一、三象限角平分线上，
则 5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝1
2
.
(2)若点 P 在第三象限内，则
5＋5λ
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