资料简介
2021 年九年级中考数学三轮冲刺专题：《圆》
解答题冲刺练习（一）
1．如图，四边形 ABCD 内接于
⊙
O，AC 是直径，AB＝BC，过点 B 作 BF∥AC 交 DC 的延
长线于点 F．
（1）求证：BF 是
⊙
O 的切线；
（2）若 AC＝2 ， ＝ ，求 BF 的值．
2．已知，AB 为
⊙
O 的直径，PA，PC 是
⊙
O 的的切线，切点分别为 A，C，过点 C 作 CD
∥AB 交
⊙
O 于 D．
（1）如图 1，当 P，D，O 共线时，若半径为 r，求证 CD＝r；
（2）如图 2，当 P，D，O 不共线时，若 DE＝2，CE＝8，求 tan∠POA．
3．在△ABC 中，∠B＝90°，D 为 AC 上一点，以 CD 为直径的
⊙
O 与 AB 相切于点 E，与
BC 相交于点 F，连接 CE．
（Ⅰ）如图①，若∠ACE＝27°，求∠A 和∠ECB 的大小；
（Ⅱ）如图②，连接 EF，若 EF∥AC，求∠A 的大小．
4．已知 AB 是
⊙
O 的直径，C 是
⊙
O 上一点，过点作
⊙
O 的切线，交 AB 的延长线于点 P．
（Ⅰ）如图①，连接 AC，BC，若 BP＝OB，求∠A 和∠P 的大小；
（Ⅱ）如图②，过点 P 作
⊙
O 的切线 PD，切点为 D，连接 CD，BD，若∠BDC＝32°，
求∠BDP 的大小.
5．如图，AB 为
⊙
O 的直径，点 C 在
⊙
O 上，点 D 为线段 BA 的延长线上一点，连接 DC，
过点 O 作 OE∥AC 交 DC 延长线于点 E，交 BC 于点 F，且满足∠B＝∠E．
（1）求证：DC 是
⊙
O 的切线；
（2）若 AB＝8，AC＝4，求 EF 的长．
6．如图，AB 是
⊙
O 的直径，点 C 和点 D 是
⊙
O 上的两点，连接 CB，CD，BD，过点 C 作
射线交 AB 的延长线于点 E，使∠BCE＝∠BDC．
（1）求证：CE 是
⊙
O 的切线；
（2）若 BC＝BE＝2，求阴影部分的面积．
7．如图，已知 Rt△ACE 中，∠AEC＝90°，CB 平分∠ACE 交 AE 于点 B，AC 边上一点 O，
⊙
O 经过点 B，C，与 AC 交于点 D，与 CE 交于点 F，连接 BF．
（1）求证：AE 是
⊙
O 的切线；
（2）若 cos∠CBF＝ ，BE＝8，求 BC 的长．
8．如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径的
⊙
O 分别交 BC、AC 边于点 D、F．过点
D 作 DE⊥CF 于点 E．
（1）求证：DE 是
⊙
O 的切线；
（2）AF﹣DE＝2，EF＝2，求
⊙
O 的半径．
9．如图，AB 是
⊙
O 的直径，C 是
⊙
O 上的一点，以点 C 为顶点作∠BCP＝∠A 与 AB 的延
长线交于点 P．
（1）求证：PC 是
⊙
O 的切线．
（2）过点 O 作半径 OD∥BC 与 AC 交于点 E，若 DE﹣OE＝ ，AC＝15，求△ABC 的
周长．
10．如图，AB 是
⊙
O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D，点 E 在射线 OC 上，且∠OEB＝∠OAB．
（1）求证：BE 是
⊙
O 的切线；
（2）若 AB＝2 ，∠OAB＝30°，求图中阴影部分弓形的面积．
11．如图，点 B 为
⊙
O 外一点，过点 B 作
⊙
O 的切线，切点为 A，点 P 为 OB 上一点，连接
AP 并延长交
⊙
O 于点 C，连接 OC，若 OC⊥OB．
（1）求证：BP＝AB；
（2）若 OB＝10，
⊙
O 的半径为 8，求 AP 的长．
12．如图，AB 是半圆的直径，弦 CD∥AB，过 D 点作圆 O 的切线 DE，与 AB 延长线相交
于点 E，连接 OC、AD，∠A＝22.5°．
（1）求证：四边形 COED 是平行四边形；
（2）当 CD＝2 时，求围成阴影部分图形的周长．
13．如图，已知直线 l 与
⊙
O 相离，OA⊥l 于点 A，交
⊙
O 于点 P，直线 AB 与
⊙
O 相切于点
B，连接 BP 并延长，交直线 l 于点 C．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若 OB＝3，PA＝2，求线段 PB 的长．
14．如图，△ABC 是
⊙
O 的内接三角形，AB 是
⊙
O 的直径，D 是 AB 上一点过 D 作 AB 的
垂线交线段 BC 于点 E．点 F 在线段 DE 的延长线上，且满足 FC＝FE．
（1）求证：CF 是
⊙
O 的切线，
（2）当直径 AB＝13，EB＝ CB，tanA＝ 时，求线段 CF 的长．
15．如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径的
⊙
O 分别与 BC、AC 交于点 D、E，过点
D 作 DF⊥AC，垂足为点 F．
（1）求证：直线 DF 是
⊙
O 的切线；
（2）求证：BC2＝4CF•AB；
（3）若
⊙
O 的半径为 2，∠CDF＝22.5°，求图中阴影部分的面积．
参考答案
1．（1）证明：连接 OB，
∵AC 是直径，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝45°，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝45°，
∵BF∥AC，
∴∠ACB＝∠CBF＝45°，
∴∠OBC＝90°，
∴OB⊥BF，
∴BF 是
⊙
O 的切线；
（2）解：过点 C 作 CM⊥BF 于点 M，则四边形 OBMC 是矩形，
∴OB＝MC＝ ，
∵ ＝ ，AC 为直径，
∴∠DAC＝30°，∠ACD＝60°，
∴∠DAB＝75°，
∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，
∴∠DAB＝75°，
∴∠BCF＝75°，
∴∠F＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∴BM＝ ，MF＝1，
∴BF＝BM+MF＝ +1．
2．（1）证明：连接 OC，
∵PA，PC 是
⊙
O 的的切线，切点分别为 A，C，
∴PA＝PC，∠PAO＝∠PCO＝90°，
在 Rt△PAO 和 Rt△PCO 中，
，
∴Rt△PAO≌Rt△PCO（HL），
∴∠POA＝∠POC，
∵CD∥AB，
∴∠CDO＝∠DOA，
∴∠CDO＝∠COD，
∴CD＝OC＝r；
（2）解：设 OP 交 CD 于 E，
连接 OC，过 O 作 OH⊥CD 于 H，
由（1）可知，Rt△PAO≌Rt△PCO，
∴∠POA＝∠POC，
∵CD∥AB，
∴∠CEO＝∠COE，
∴∠CEO＝∠COE，
∴CE＝CO＝8，
∴CD＝CE+ED＝10，
∴CH＝DH＝5，
∴EH＝3，
∴OH＝ ＝ ＝ ，
∴tan∠POA＝tan∠HEO＝ ＝ ．
3．解：（Ⅰ）∵AB 与
⊙
O 相切，
∴OE⊥AB，
∴∠AEO＝90°，
∵∠ACE＝27°，
∴∠AOE＝2∠ACE＝54°，
∴∠A＝90°﹣∠AOE＝36°，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∵∠B＝90°，
∴OE∥BC，
∴∠ECB＝∠OEC，
∴∠ECB＝27°；
（Ⅱ）如图②，连接 OF，
∵OE∥BC，EF∥AC，
∴四边形 OEFC 为平行四边形，
∴OE＝CF，
∴OC＝OF＝CF，
∴∠ACB＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠ACB＝30°．
4．解：（Ⅰ）如图①，连接 OC，
∵PC 是
⊙
O 的切线，
∴∠OCP＝90°，
∵BP＝OB，
∴BC＝OB，
∵OB＝OC，
∴△BOC 为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠A＝ ∠BOC＝30°，
∴∠P＝90°﹣∠COB＝30°；
（Ⅱ）如图②，连接 OC，OD，
设 CD 交 OP 于 E，
∵PC，PD 是
⊙
O 的切线，
∴PC＝PD，∠OCP＝∠ODP＝90°，
∵OC＝OD，
∴OP 垂直平分 CD，
∴∠CEP＝∠DEP＝90°，
∵∠BDC＝32°，
∴∠OBD＝90°﹣∠BDC＝58°，
∴∠BDP＝90°﹣58°＝32°．
5．（1）证明：连接 OC，如图所示：
∵AB 为
⊙
O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAO+∠B＝90°．
∵∠B＝∠E，
∴∠E+∠CAO＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠E+∠ACO＝90°，
∵OE∥AC，
∴∠ACD＝∠E，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴OC⊥DE，
∴DC 是
⊙
O 的切线；
（2）解：∵AB 为
⊙
O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OE∥AC，
∴∠OFB＝∠ACB＝90°，
∵AB＝8，AC＝4，
∴BC＝ ＝ ＝4 ，
∵AC∥OF，OA＝OB，
∴CF＝BF＝ BC＝2 ，
∵∠B＝∠E，∠ACB＝∠CFE，
∴△ACB∽△CFE，
∴ ，
∴ ，
∴EF＝6．
6．（1）证明：如图，连接 OC，过点 O 作 OF⊥BC 于点 F，
则∠OFC＝90°，
∴∠BCO+∠COF＝90°，
∵OB＝OC，OF⊥BC，
∴∠COF＝ ∠BOC，
又∵∠BDC＝ ∠BOC，
∴∠COF＝∠BDC，
∵∠BCE＝∠BDC，
∴∠COF＝∠BCE，
∵∠BCO+∠COF＝90°，
∴∠BCO+∠BCE＝∠OCE＝90°，
∴OC⊥CE，
∵点 C 在
⊙
O 上，即 OC 是
⊙
O 半径，
∴CE 是
⊙
O 的切线；
（2）解：∵BC＝BE＝2，
∴∠E＝∠BCE，
∵∠OBC＝∠E+∠BCE，
∴∠OBC＝2∠BCE，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝2∠BCE，
又∵∠OCB+∠BCE＝90°，
∴∠BCE＝30°，∠OCB＝60°，
∴△BOC 是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝2，∠BOC＝60°，
∴CF＝ BC＝1，
在 Rt△BOC 中，由勾股定理得：OF＝ ，
∴S 扇形 OBC＝ ，S△BOC＝ ，
∴S 阴影＝S 扇形 BOC﹣S△BOC＝ ．
7．（1）证明：连接 OB，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵CB 平分∠ACE，
∴∠OCB＝∠BCF，
∴∠OBC＝∠BCF，
∴∠ABO＝∠AEC＝90°，
∴OB⊥AE，
∴AE 是
⊙
O 的切线；
（2）解：过 O 作 OM⊥CE 于 M，连接 OF，
则四边形 OBEM 为矩形，
∴OM＝BE＝8，
∵OM⊥CE，
∴∠COM＝ ∠COF，
∵∠CBF＝ ∠COF，
∴∠COM＝∠CBF，
在 Rt△OCM 中，cos∠COM＝ ，
∴ ，
∴OC＝10，
∴CM＝ ＝ ＝6，
又∵ME＝OB＝OC＝10，
在 Rt△CBE 中，BC＝ ＝ ．
8．（1）证明：连接 OD，
∵DE⊥CF，
∴∠DEC＝∠DEF＝90°．
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∴∠C＝∠ODB．
∴OD∥AC，
∴∠ODE＝∠DEC＝90°，
∴OD⊥DE，
又 OD 为
⊙
O 的半径．
∴DE 是
⊙
O 的切线．
（2）解：过点 O 作 OG⊥AF 于点 G，
∴∠OGE＝∠OGA＝90°，AG＝GF＝ AF，
又∵∠DEG＝∠ODE＝90°，
∴四边形 OGED 为矩形，
∴OG＝DE，OD＝GE，
设 AG＝GF＝x，则 OA＝OD＝GE＝GF+EF＝x+2，OG＝DE＝AF﹣2＝2x﹣2．
在 Rt△OAG 中，AG2+OG2＝OA2，
即 x2+（2x﹣2）2＝（x+2）2，
解得 x1＝3，x2＝0（舍去），
∴OD＝3+2＝5，
即
⊙
O 的半径为 5．
9．（1）证明：连接 OC，
∵AO＝OC，
∴∠OCA＝∠A，
∵∠BCP＝∠A，
∴∠BCP＝∠OCA，
∴∠PCO＝∠ACB，
∵AB 是
⊙
O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠PCO＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC 是
⊙
O 的切线；
（2）解：∵OD∥BC，
∴∠AEO＝∠ACB＝90°，
∴OD⊥AC，
∴AE＝CE，
∵OA＝OB，
∴BC＝2OE，
设 OE＝x，
则 BC＝2x，
∵DE﹣OE＝ ，
∴DE＝x+ ，
∴OD＝2x+ ，
∴AB＝4x+1，
在 Rt△ABC 中，BC2+AC2＝AB2，
∴（2x）2+152＝（4x+1）2，
∴x＝4 或 x＝﹣ （舍去），
∴BC＝8，AB＝17，
∴△ABC 的周长为 8+17+15＝40．
10．（1）证明：连接 OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵OC⊥AB，
∴∠BDE＝90°，
∴∠DBE+∠OEB＝90°，
∵∠OEB＝∠OAB，
∴∠OBA+∠DBE＝90°，
∴∠OBE＝90°，
∴OB⊥BE，
∴BE 是
⊙
O 的切线；
（2）解：∵OD⊥AB，AB＝2 ，
∴AD＝ AB＝ ，
∵∠OAB＝30°，
∴OD＝ AD＝1，∠AOD＝60°，
∴OA＝2，∠AOB＝2∠AOD＝120°，
∴S△AOB＝ AB×OD＝ ×1＝ ，S 扇形 AOB＝ ＝
π
，
∴阴影部分弓形的面积为 S 扇形 AOB﹣S△AOB＝
π
﹣ ．
11．（1）证明：∵AB 是
⊙
O 的切线，
∴OA⊥AB，
∴∠BAP+∠OAC＝90°，
∵OC⊥OB，
∴∠OPC+∠OCA＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠BPA＝∠OPC，
∴∠BAP＝∠BPA，
∴BP＝AB；
（2）解：作 BD⊥AP 于点 D，
∵
⊙
O 的半径为 8，
∴CO＝OA＝8，
在 Rt△OAB 中，AB＝ ＝ ＝6，
∴BP＝BA＝6，
∴OP＝OB﹣BP＝4，
在 Rt△CPO 中，OP＝4，CO＝8，
∴CP＝ 4 ，
∵BA＝BP，BD⊥AP，
∴AD＝PD，∠BDP＝90°＝∠COP，
∵∠BPD＝∠CPO，
∴△BPD∽△CPO，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得，PD＝ ，
∴AP＝ ．
12．（1）证明：连接 OD，
∵DE 是圆 O 的切线，
∴OD⊥DE，
由圆周角定理得，∠DOE＝2∠A＝45°，
∴OE＝ OD，
∵CD∥AB，
∴∠ODC＝∠A＝45°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝45°，
∴CD＝ OD，
∴CD＝OE，
∵CD∥OE，
∴四边形 COED 是平行四边形；
（2）解：∵CD＝2 ，
∴OD＝ CD＝2，OE＝CD＝2 ，
∴BE＝OE﹣OB＝2 ﹣2，
的长＝ ＝ ，
∴围成阴影部分图形的周长＝2+2 ﹣2+ ＝2 + ．
13．（1）证明：∵直线 AB 与
⊙
O 相切于点 B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵∠OBC+∠ABC＝90°，∠ACP+∠APC＝90°，
∵OB＝OP，
∴∠APC＝∠OPB＝∠OBP，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）解：过点 B 作 BD⊥OP 于 D，
在 Rt△OBA 中，AB＝ ＝ ＝4，
∴AC＝AB＝4，
∴PC＝ ＝ ＝2 ，
∵S△ABC＝ ×OB×AB＝ ×OA×BD，
∴ ×3×4＝ ×5×BD，
解得，BD＝ ，
∵∠BDP＝∠CAP＝90°，∠BPD＝∠CPA，
∴△BDP∽△CAP，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得，PB＝ ．
14．（1）证明：∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB，
∵CF＝EF，
∴∠FCE＝∠FEC，
∵∠BED＝∠FEC，
∴∠BED＝∠FCE，
∵DF⊥AB，
∴∠BDE＝90°，
∴∠B+∠BED＝90°，
∴∠OCB+∠FCE＝90°，
∴∠OCF＝90°，
∴CF 是
⊙
O 的切线；
（2）解：∵AB 是
⊙
O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝13，tanA＝ ，
∴设 BC＝12x，AC＝5x，
∴AB＝13x＝13，
∴x＝1，
∴BC＝12，AC＝5，
∵EB＝ CB，
∴BE＝4，
∵∠ACB＝∠BDE＝90°，∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BCA，
∴ ，
∴ ，
∴DE＝ ，
过 F 作 FH⊥CE 于 H，
∵CF＝EF，
∴EH＝ CE＝4，
∵∠EHF＝∠BDE＝90°，∠FEH＝∠BED，
∴△EFH∽△EBD，
∴ ，
∴ ，
∴EF＝ ，
∴CF＝EF＝ ．
15．解：（1）连接 OD，如图：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥AC，
∴直线 DF 是
⊙
O 的切线；
（2）连接 AD，如图：
∵AB 为
⊙
O 直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵DF⊥AC，
∴∠DAC＝90°﹣∠ADF＝∠FDC，
而∠C＝∠C，
∴△ADC∽△DFC，
∴ ＝ ，即 CD2＝CF•AC，
∵AB＝AC，∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴CD＝ BC，
∴（ BC）2＝CF•AB，
∴BC2＝4CF•AB；
（3）连接 AD，OE，如图：
∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，
∴∠C＝∠B＝67.5°，
∴∠BAC＝45°，
∵OA＝OE，
∴∠AOE＝90°，
∵
⊙
O 的半径为 2，
∴S 扇形 AOE＝
π
，S△AOE＝2，
∴S 阴影＝S 扇形 AOE﹣S△AOE＝
π
﹣2．
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