资料简介
图形的相似 2
学生姓名 性别 年级 学科
授课教师
上课时
间
年 月 日
第（ ）次课
共（ ）次课
课时：3 课时
教学课题 图形的相似(二）
教学目标
1、了解位似图象和位似中心的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小；
2、经历图形的位似变换与平移、旋转的过程，体会图形间的变换过程以及内在的联系
3、了解三角形相似的条件和判定定理
教学重点
与难点
重点：三角形相似的条件
难点：三角形相似判定定理
一、作业检查
作业完成情况：优 良 中 差
二、内容回顾
回顾上节课内容
三、知识整理
知识点一、相似三角形的性质
1．性质 1
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.
2. 性质 2
相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
【练习】
【例】如图，AD 是△ABC 的高，AD=h，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，SR⊥AD，垂足为
E.当 SR= 1
2
BC 时，求 DE 的长.如果 SR= 1
3
BC 呢？
练 1. △DEF∽△ABC，若相似比 k＝1，则△DEF______△ABC；若相似比 k＝2，则
AC
DF ______，
EF
BC ______．
练 2. 若 △ABC∽△A1B1C1 ， 且 相 似 比 为 k1 ； △A1B1C1∽△A2B2C2 ， 且 相 似 比 为 k2 ， 则
△ABC______△A2B2C2，且相似比为______．
练 3、如图，小强自制了 一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为 15 cm．他准备了一支长为
20 cm 的蜡烛，想要得到高度为 5 cm 的像，蜡烛应放在距离纸筒多远的地方？
练 4. 如图 ， AB 和 CD 表示两根直立于地面的柱子，AD 和 BC 表示起固定作用的两根
钢筋， AD 与 BC 的交点为 M． 已知 AB = 10 m， CD = 15 m， 求点 M 离地面的高度 MH．
练 5.△ ABC ∽△ A′B′C′， AD 和 A′D′是它们的对应角平分线．
已知 AD = 8 cm， A′D′= 3 cm，求 △ ABC 与 △ A′B′C′对应高的比.
练 6、如果△ ABC ∽△ A′B′C′，相似比为 2，那么△ ABC 与 △ A′B′C′的周长比是多少？面积比
呢？ 如果 △ ABC ∽△ A′B′C′， 相似比为 k， 那么你能求 △ ABC 与 △ A′B′C′的周长比和面积比吗？
练 7. 等腰三角形 ABC 的腰长为 12，底的长为 10，等腰三角形 A′B′C′的两边长分别为 5 和 6，且
△ABC∽△A′B′C′,则△A‘B′C′的周长为（ ）。
A.17 B.16 C.17 或 16 D.34
练 8.如图，边长为 4 的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形 BCED 的面积为（ ）
A.
2 √3
B.
3√3
C.
4√3
D.
6√3
练 9、如图将 △ ABC 沿 BC 方向平移 得到 △DEF， △ ABC 与 △ DEF 重叠部分（图中阴影
部分） 的面积是 △ ABC 的面积的一半． 已知 BC = 2， 求 △ ABC 平移的距离.
.
练 10．如图， 在 △ ABC 和 △ DEF 中， G， H 分别是边 BC 和 EF 的中点， 已知 AB = 2DE，
AC = 2DF，∠BAC = ∠EDF．
（1） 中线 AG 与 DH 的比是多少？
（2） △ ABC 与 △ DEF 的面积比是多少？.
练11．如图所示，平行四边形ABCD 中，AE：EB=1：2，求△AEF和△CDF的周长比，如果S△AEF=6cm2，
求：S△CDF.
练 12、已知：如图所示，试分别依下列条件写出对应边的比例式．
练 13．已知：如图，△ABC 中，AB＝20cm，BC＝15cm，AD＝12.5cm，DE∥BC．求 DE 的长．
练 14．已知：如图，AD∥BE∥CF．
(1)求证： AB DE
AC DF
(2)若 AB＝4，BC＝6，DE＝5，求 EF．
练 15、如图所示，在△APM 的边 AP 上任取两点 B，C，过 B 作 AM 的平行线交 PM 于 N，过 N
作 MC 的平行线交 AP 于 D．求证：PA∶PB＝PC∶PD．
练 16．已知：如图，E 是平行四边形 ABCD 的边 AD 上的一点，且
2
3
DE
AE ，CE 交 BD 于点 F，
BF＝15cm，求 DF 的长．
练 17．如图，已知，D 为△ABC 中 AC 边的中点，AE∥BC，ED 交 AB 于点 G，交 BC 的延长线
于点 F，若 BG：GA=3：1，BC=8，求 AE 的长.
知识点二、相似三角形判定
1．相似三角形判定定理
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
2. 黄金分割
一般地，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（如图）， 如果 AC BC
AB AC
，那么称线段 AB 被
点 C 黄金分割， 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比．
【练习】
【例】如图，D， E 分别是△ ABC 的边 AB， AC 上的点，DE ∥ BC，AB = 7，AD = 5，DE = 10，
求 BC 的长.
练 1. 在△ABC 和△A′B′C′中，如果∠A＝56°，∠B＝28°，∠A′＝56°，∠C′＝28°，那么这两个三角
形能否相似的结论是______．理由是________________．
练 2.在△ABC 与△DEF 中，∠ A = ∠ D = 70° ，∠ B = 60° ，∠ E = 50° ， 这两个三角形相似
吗？ 为什么？
练 3、如图， D， E 分别是△ ABC 的边 AC， AB 上的点， AE = 1.5，AC = 2， BC = 3， 且
3
4
AD
AB
， 求 DE 的长.
练 4. 在△ABC 和△A'B′C′中，如果∠A＝34°，AC＝5cm，AB＝4cm，∠A’＝34°，A’C’＝2cm，A’B’
＝1.6cm，那么这两个三角形能否相似的结论是______，理由是____________________．
练 5. 在△ ABC 中，∠ B = 39° ，AB = 1.8 cm， BC = 2.4 cm；在△ DEF 中，∠D = 39° ，DE = 3.6
cm， DF = 2.7 cm． 这两个三角 形相似吗？ 为什么 ？
练 6、如图， 在△ ABC 和△ ADE 中， AB BC AC
AD DE AE
，∠BAD = 20° ，求 ∠ CAE 的度数.
练 7. 在△ABC 和△DEF 中，如果 AB＝4，BC＝3，AC＝6；DE＝2.4，EF＝1.2，FD＝1.6，那么这
两个三角形能否相似的结论是____________，理由是__________________．
练 8.如图，△ ABC 与 △ EFG 相似吗？ 为什么 ？
练 8．如图， 乐器上的一根弦 AB = 80 cm， 两个端点 A， B 固定在乐器板面上， 支撑点 C
是靠近点 B 的黄金分割点，支撑点 D 是靠近点 A 的黄金分割点．试确定支撑点 C 到端点 B 的
距离 以及支撑点 D 到端点 A 的距离 ．
练 9、如图所示，如果 D，E，F 分别在 OA，OB，OC 上，且 DF∥AC，EF∥BC．
练 9．如图，在平行四边形 ABCD 中，AB＝10，AD＝6，E 是 AD 的中点，在 AB 上取一点 F，
使△CBF∽△CDE，则 BF 的长是( )
A．5 B．8.2
C．6.4 D．1.8
练 10．如图所示，小正方形的边长均为 1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是( )
练 11．在一次数学活动课上，李老师带领学生去测教学楼的高度，在阳光下，测得身高为 1.65m
的黄丽同学 BC 的影长 BA 为 1.1m，与此同时，测得教学楼 DE 的影长 DF 为 12.1m，如图所示，请你根
据已测得的数据，测出教学楼 DE 的高度．(精确到 0.1m)
练 12．如图所示，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚 B 距离墙角 1.6m，梯上点 D 距离墙 1.4m，BD
长 0.55m，则梯子长为( )
A．3.85m B．4.00m C．4.40m D．4.50m.
练 13．如图所示，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看到点光源的反射光线，并测得 AB＝10m，
BC＝20cm，PC⊥AC，且 PC＝24cm，则点光源 S 到平面镜的距离即 SA 的长度为______cm．
知识点三、图形的位似
1．位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的
两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐
标的比等于 k 或﹣k．
2．作图-位似变换
（1）画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；
②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；
③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；
④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形
放大或缩小．
（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外
部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．
②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．
3．坐标与图形性质
（1）点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：
①到 x 轴的距离与纵坐标有关，到 y 轴的距离与横坐标有关；
②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
（2）有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这
类问题的基本方法和规律．
（3）若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
【练习】
【例 1】如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（6，6），B（8，2），以原点 O 为位似中心，在第一
象限内将线段 AB 缩小为原来的 1/2 后得到线段 CD，则端点 C 的坐标为（ ）
A．（3，3） B．（4，3） C．（3，1） D．（4，1）
练 1. 如图，△ABO 缩小后变为△A′B′O，其中 A、B 的对应点分别为 A′、B′点 A、B、A′、B′均在
图中在格点上．若线段 AB 上有一点 P（m，n），则点 P 在 A′B′上的对应点 P′的坐标为（ ）
A．（
2
，n） B．（m，n） C．（m，
2
） D．(
2
,
2
）
练 2. 如图，线段 CD 两个端点的坐标分别为 C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段 CD 放
大得到线段 AB，若点 B 坐标为（5，0），则点 A 的坐标为（ ）
A．（2，5） B．（2.5，5） C．（3，5） D．（3，6）
练 3、△ABC 与△A′B′C′是位似图形，且△ABC 与△A′B′C′的位似比是 1：2，已知△ABC 的面积是
3，则△A′B′C′的面积是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
练 4. 已知两点 A（5，6）、B（7，2），先将线段 AB 向左平移一个单位，再以原点 O 为位似中心，在
第一象限内将其缩小为原来的 1/2 得到线段 CD，则点 A 的对应点 C 的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（3，1） C．（2，1） D．（3，3）
练 5、如图，在 10×10 的正方形网格中，点 A，B，C，D 均在格点上，以点 A 为位似中心画四边形 AB′C′D′，
使它与四边形 ABCD 位似，且相似比为 2．
（1）在图中画出四边形 AB′C′D′；
（2）填空：△AC′D′是 三角形．
练 6. 在 13×13 的网格图中，已知△ABC 和点 M（1，2）．
（1）以点 M 为位似中心，位似比为 2，画出△ABC 的位似图形△A′B′C′；
（2）写出△A′B′C′的各顶点坐标．
4．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移 a 个单位，坐标 P（x，y）
⇒
P（x+a，y）
①向左平移 a 个单位，坐标 P（x，y）
⇒
P（x﹣a，y）
①向上平移 b 个单位，坐标 P（x，y）
⇒
P（x，y+b）
①向下平移 b 个单位，坐标 P（x，y）
⇒
P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数 a，相应的新图形就
是把原图形向右（或向左）平移 a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整
数 a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移 a 个单位长度．（即：横坐标，右移____，
左移____；纵坐标，上移____，下移____．）
5．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：_________、_________．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺
次连接对应点即可得到平移后的图形．
【练习】
练 1、如图，在边上为 1 个单位长度的小正方形网格中：
（1）画出△ABC 向上平移 6 个单位长度，再向右平移 5 个单位长度后的△A1B1C1．
（2）以点 B 为位似中心，将△ABC 放大为原来的 2 倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2．
（3）求△CC1C2 的面积．
练 2. 已知：△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为 A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正
方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC 向下平移 4 个单位长度得到的△A1B1C1，点 C1 的坐标是 ；
（2）以点 B 为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2 与△ABC 位似，且位似比为 2：1，点 C2
的坐标是 ；
（3）△A2B2C2 的面积是 平方单位．
练 3、在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A
（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）．
（1）画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1；
（2）以 M 点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1 的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2 与△A1B1C1 的相似比
为 2：1．
练 4．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 三个顶点坐标分别为 A（﹣2，4），B（﹣2，1），C（﹣
5，2）．
（1）请画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1．
（2）将△A1B1C1 的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得到对应的点 A2，B2，C2，请画出△A2B2C2．
（3）求△A1B1C1 与△A2B2C2 的面积比，不写解答过程，直接写出结果
课堂检测
1．如图，△ABE 和△CDE 是以点 E 为位似中心的位似图形，已知点 A（3，4），点 C（2，2），点 D（3，
1），则点 D 的对应点 B 的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（4，1） C．（5，2） D．（5，1）
2．如图，以点 O 为位似中心，将△ABC 放大得到△DEF．若 AD=OA，则△ABC 与△DEF 的面积之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：6
3．在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点 O 为位似中心，相似比为 1/2，
把△ABO 缩小，则点 A 的对应点 A′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
4． 如图，△OAB 与△OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形，相似比为 1：2，∠OCD=90°，CO=CD．
若 B（1，0），则点 C 的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（1，1） C．（
√2
，
√2
） D．（2，1）
5．如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（4，4），B（6，2），以原点 O 为位似中心，在第一象你限
内将线段 AB 缩小为原来的 1/2 后得到线段 CD，则端点 C 和 D 的坐标分别为（ ）
A．（2，2），（3，2） B．（2，4），（3，1） C．（2，2），（3，1） D．（3，1），（2，
2）
6．如图，△ABC 与△DEF 位似，位似中心为点 O，且△ABC 的面积等于△DEF 面积的 4/9，则 AB：
DE= ．
7．如图，正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形，点 O 为位似中心，相似比为 1：
√2
，点 A 的坐标为（0，
1），则点 E 的坐标是 ．
审批
数学科组长
教务主管
校区主任
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