资料简介
８７
读读新课标 忆忆旧知识
１ 认识成正比例的量ꎬ初步理解正比例的意义ꎮ (重
点)
２ 发现两种相关联的量的变化规律ꎮ (难点)
３ 能根据正比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例关系ꎮ
(难点)
１.比例的意义ꎮ
２.比例的基本性质ꎮ
填填预习卡 课前预习卡内容详见配赠小册子 Ｐ２５５
课本例题精讲
正比例的意义(重点)
(教材第 ５６ 页例 １)
一辆汽车在公路上行驶ꎬ行驶时间和路程如下表:
时间 /时 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ?
路程 /千米 ８０ １６０ ２４０ ３２０ ４００ ４８０ ５６０ ?
观察表中的数据ꎬ你有什么发现?
１.思维导引:
通过计算相对应的路程和时间的比值发现规律ꎮ
２.方法探究:
根据表中数据看出ꎬ行驶的路程随着时间的变化而变化ꎬ行驶的时间
一种量变化ꎬ另一
种量也随着变化ꎬ说明
这两种量之间存在内在
联系ꎬ这两种量叫作相
关联的量ꎮ
８８
越长ꎬ行驶的路程越多ꎻ时间越短ꎬ行驶的路程越少ꎮ 相对应的路程和时间的比
及比值如下:
８０
１
＝ ８０ １６０
２
＝ ８０ ２４０
３
＝ ８０ ??
相对应的路程和时间的比值都是 ８０ꎬ表示这辆汽车行驶的速度不变ꎮ 用
式子表示上面三种量之间的关系是
路程
时间
＝速度(一定)ꎮ
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? 路程
时间
＝速度(一定)ꎬ路程和时间是两种相关联的量ꎬ时间变化ꎬ
路程也随着变化ꎮ 当路程和相对应时间的比的比值总是一定时ꎬ行驶
的路程和时间成正比例关系ꎬ那么行驶的路程和时间是成正比例的量ꎮ
３.知识拓展:
正比例关系体现了
函数思想ꎮ 函数思想是
用运动的、变化的观点
去反映客观事物、数量间
相互联系的内在规律ꎮ
有些相关联的量ꎬ虽然也是一种量随着另一种量的变化而变化ꎬ但是它们相对应的比值不一定ꎬ
它们就不成正比例ꎮ
两种相关联的量ꎬ一种量变化ꎬ另一种量也随着变化ꎬ如果这两种量中相对应的两个数
的比值(也就是商)一定ꎬ它们成正比例关系ꎬ这两种量就是成正比例的量ꎻ如果用字母 ｘ 和 ｙ 表示两
种相关联的量ꎬ用 ｋ(一定)表示它们的比值ꎬ正比例关系可以表示为
ｙ
ｘ
＝ ｋ(一定)ꎮ
１.一种圆珠笔的总价与数量如下表ꎮ
数量 /支 １ ２ ３ ４ ５ ６ ?
总价 /元 ２.５ ５ ７.５ １０ １２.５ １５ ?
设数法
(１)写出几组总价和数量的比ꎬ并比较比值的大小ꎮ 这个比值的意义是什么? 用式子表示它与总
价、数量之间的关系ꎮ
(２)圆珠笔的总价和数量成正比例吗? 为什么?
正比例关系的判断方法
(教材第 ５７ 页试一试)
购买一种铅笔的数量和总价如下表:
数量 /支 １ ２ ３ ４ ５ ６ ?
总价 /元 ０.４ ０.８ １.２ ?
８９
(１)填写上表ꎬ说说总价是随着哪个量的变化而变化的ꎮ
(２)写出几组相对应的总价和数量的比ꎬ并比较比值的大小ꎮ
(３)这个比值表示的实际意义是什么? 你能用式子表示它与总价、数量之间的关系吗?
(４)铅笔的总价和数量成正比例吗? 为什么?
(５)生活中还有哪些成正比例的量? 你能举例说一说吗?
１.思维导引:
根据正比例的意义解决问题ꎮ
２.方法探究:
(１)因为 ０.４÷１＝ ０.４ꎬ０.８÷２＝ ０.４ꎬ１.２÷３＝ ０.４ꎬ商都是 ０.４ꎬ所以空格内依次填 １.６ꎬ２.０ꎬ２.４ꎮ
总价是随数量的变化而变化的ꎬ总价和数量是两种相关联的量ꎮ
(２)０.４ ∶１ ＝ ０.４ꎬ０.８ ∶２ ＝ ０.４ꎬ１.２ ∶３ ＝ ０.４??这几组比的比值都是 ０.４ꎬ相等ꎮ
(３)这个比值表示的实际意义是铅笔的单价ꎮ 总价和数量之间的关系是:总价
数量
＝单价ꎮ
(４)铅笔的总价和数量是两种相关联的量ꎬ总价
数量
＝单价ꎮ 已知铅笔的单价一定ꎬ也就是总价与数
量的比值是一定的ꎬ所以铅笔的总价和数量成正比例ꎮ
(５)如果长方形的长一定ꎬ那么长方形的面积和宽成正比例ꎻ如果速度一定ꎬ那么路程和时间成正
比例ꎻ如果每天生产的零件数一定ꎬ那么生产的零件总量和生产的天数成正比例??
判断两种量是否成正比例的方法:(１)首先判断这两种量是不是相关联的量ꎮ (２)再看
这两种量相对应的两个数的比值是否一定ꎬ比值一定ꎬ这两种量成正比例ꎻ反之ꎬ不成正比例ꎮ
２.李师傅生产零件的情况如下表ꎮ
时间 /时 １ ２ ４ ６ ８
数量 /个 ２５ ５０ １００ １５０ ２００
生产零件的数量和时间成正比例吗? 说明理由ꎮ
课本难题解答
教材第 ５９ 页“练习十”第 ２ 题
先分别按 ２ ∶１、３ ∶１和 ４ ∶１的比画出正方形放大后的图形ꎬ再填写下表ꎮ
９０
正方形边长 / ｃｍ １ ２ ３ ４
正方形周长 / ｃｍ
正方形面积 / ｃｍ２
?思路提示 先按 ２ ∶１、３ ∶１和 ４ ∶１的比画出边长分别是 ２ 厘米、３ 厘米和 ４ 厘米的正方形ꎬ再计
算出各正方形的周长和面积并填表ꎬ然后根据正比例的意义判断正方形的周长与边长是否成正比例ꎬ
面积与边长是否成正比例ꎮ
?规范解答
正方形边长 / ｃｍ １ ２ ３ ４
正方形周长 / ｃｍ ４ ８ １２ １６
正方形面积 / ｃｍ２ １ ４ ９ １６
因为正方形的周长 ∶边长＝ ４ꎬ比值一定ꎬ正方形的周长与边长成正比例ꎻ因为正方形的面积与边
长的比是
边长×边长
边长
＝边长ꎬ比值不一定ꎬ所以正方形的面积与边长不成正比例ꎮ
?规律方法 判断两种相关联的量是否成正比例ꎬ关键是看这两种相关联的量中相对应的两个
数的比值(商)是否一定ꎬ如果比值一定ꎬ这两种量就成正比例ꎬ否则ꎬ就不成正比例ꎮ
易错易混点击
易错点 １:错误理解正比例关系
判断:圆的面积与半径成正比例ꎮ ( √ )
错点警示:本题错在没有理解成正比例的量的意义ꎬ根据圆的
面积公式 Ｓ＝πｒ２ 得ꎬ Ｓ
ｒ
＝ πｒꎬｒ 不一定ꎬπｒ 也不一定ꎬ即圆的面积与
半径的比值不一定ꎬ所以圆的面积与半径不成正比例ꎮ
正确解答:( ✕ )
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规避策略:圆的面积与半径不成正比例ꎬ与半径的平方成正比例ꎮ
易错点 ２:对正比例关系中两种量理解有误
判断:小明的身高和体重成正比例ꎮ ( √ )
错点警示:小明的身高和体重不是两种相关联的量ꎬ它们的比
值是不确定的ꎬ不成正比例ꎮ 如人成年后ꎬ身高基本不发生变化ꎬ体
重却发生变化ꎮ
正确解答:( ✕ )
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９１
规避策略:判断成正比例的前提是两种量存在联系ꎬ即相关联ꎬ身高和体重不是相关联的量ꎬ即使
在某个时间段这两种量同时扩大ꎬ它们也不成正比例关系ꎮ
培优例题精讲
培优链接:利用推理法解决行程问题
在 ６０ 米赛跑中ꎬ小强冲过终点线时ꎬ领先小亮 １０ 米ꎬ领先小新 ２０ 米ꎬ如果小亮和小
新按原来的速度不变ꎬ那么当小亮到达终点时ꎬ将领先小新多少米?
?思路提示 以小强到达终点的时间为标准ꎬ当小强到达终点时ꎬ小亮和小新所跑的路程的比
是(６０－１０) ∶(６０－２０)ꎮ 假设小亮到达终点时ꎬ小新离终点 ｘ 米ꎬ则小亮和小新所跑的路程的比是
６０ ∶(６０－ｘ)ꎮ 因为两人的速度不变ꎬ所以路程比不变ꎮ 因此 ６０ ∶(６０－ｘ)＝ (６０－１０) ∶(６０－２０)ꎮ
?规范解答 解:设小亮到达终点时ꎬ小新离终点 ｘ 米ꎮ
６０ ∶(６０－ｘ)＝ (６０－１０) ∶(６０－２０)
ｘ＝ １２
答:当小亮到达终点时ꎬ将领先小新 １２ 米ꎮ
培优闯关演练
１.甲、乙两人进行百米赛跑ꎬ当甲到达终点时ꎬ乙在甲后面 ２０ 米ꎮ 如果两人各自的速度不变ꎬ要使甲、
乙两人同时到达终点ꎬ甲的起跑线应比原来后移多少米?
２.甲、乙两车同时从两地相对开出ꎬ在离中点 １５ 千米处相遇ꎬ已知甲、乙两车的速度比是７ ∶６ꎬ则两地相
距多少千米?
９２
读读新课标 忆忆旧知识
１ 初步认识正比例的图像是一条直线ꎮ (重点)
２ 能利用给出的成正比例关系的数据在方格纸上画出相应
的直线ꎮ (重点)
３ 能根据正比例的图像上的一个点估计它的一个量或两个量的数
值ꎮ (难点)
１.正比例的意义ꎮ
２.折线统计图ꎮ
填填预习卡 课前预习卡内容详见配赠小册子 Ｐ２５７
课本例题精讲
正比例的图像(重点)
(教材第 ５８ 页例 ２)
一辆汽车在公路上行驶ꎬ行驶时间和路程如下表:
时间 /时 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ?
路程 /千米 ８０ １６０ ２４０ ３２０ ４００ ４８０ ５６０ ?
表中的各组数据可以用下图中的点表示ꎮ
(１)图中的点 Ａ 表示 １ 小时行 ８０ 千米ꎬ点 Ｂ 表示 ５ 小时行
４００ 千米ꎮ 其他各点呢?
(２)连接图中各点ꎬ你有什么发现?
(３)根据图像判断ꎬ这辆汽车 ２.５ 小时行驶多少千米? 行
驶 ４４０ 千米需要多少小时?
已知信息:(１)表中给出了这辆汽车行驶的路程和时间的对应数据ꎻ(２)图中给出了表中每组数据对
应的点ꎮ
要求问题:(１)图中各点所表示的实际意义ꎻ(２)连接各点ꎬ了解正比例图像的特征ꎻ(３)根据正比例中
的一个量的数值ꎬ借助图像估计另一个量的数值ꎮ
１.思维导引:
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?
? 观察图像ꎬ了解各点
表示的实际意义
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?
? 作出正比例的图像ꎬ发
现正比例图像的特点
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?
? ??????
?
? 借助图像
解决问题
９３
解决问题(１)
观察图中点 Ａꎬ横轴上对应的时间是 １ 小
时ꎬ纵轴上对应的路程是 ８０ 千米ꎬ点 Ａ 表示 １ 小
时行 ８０ 千米ꎻ点 Ｂ 在横轴上对应的时间是 ５ 小
时ꎬ纵轴上对应的路程是 ４００ 千米ꎬ点 Ｂ 表示 ５
小时行 ４００ 千米ꎮ 由此可知ꎬ图像上的每个点都
表示时间和路程的一组对应数值ꎮ
解决问题(２)
顺次连接各点ꎬ观察正比例图像的特征ꎮ
解决问题(３)
先在横轴上找到表示 ２.５ 小时的点ꎬ并过这
点作纵轴的平行线ꎬ得到与已知图像的交点ꎻ再
过交点作横轴的平行线ꎬ从而得到与纵轴的交
点ꎬ最后依据与纵轴的交点进行判断ꎻ先在纵轴
上找到表示 ４４０ 千米的点ꎬ并从这点起作横轴的
平行线ꎬ从而得到与已知图像的交点ꎬ再过交点
作纵轴的平行线ꎬ从而得到与横轴的交点ꎬ最后ꎬ
依据与横轴的交点进行判断ꎮ
(１)图像中除点 Ａ、点 Ｂ 外ꎬ其他各点
(从下往上)分别表示 ２ 小时行驶 １６０ 千
米ꎬ３ 小时行驶 ２４０ 千米ꎬ４ 小时行驶 ３２０
千米ꎬ６ 小时行驶 ４８０ 千米ꎬ７ 小时行驶
５６０ 千米ꎮ
(２)
发现图中各点在一条直线上ꎬ即正比
例的图像是一条直线ꎮ
(３)这辆汽车 ２.５ 小时行驶 ２００ 千米ꎬ
行驶 ４４０ 千米需要 ５.５ 小时ꎮ
正比例关系的图像是一条直线ꎬ从图像中不仅可以直观地看出两种量的变化规律ꎬ还可
以由一个量的值直接找到对应另一个量的值ꎮ
右图反映了一台织布机织布的米数与所用时间的关系ꎮ
(１)这台织布机织布的米数与所用的时间成正比例吗?
为什么?
(２)根据图像判断ꎬ这台织布机 １５ 小时织布多少米? 织
１５０ 米布用多少小时?
课本难题解答
教材第 ６０ 页“练习十”第 ５ 题
一根弹簧挂上物体(质量不超过 ２０ 千克)后长度会伸长ꎬ物体的质量与伸长的长度如下:
物体质量 / ｋｇ ２ ４ ６ ８ １０ ? ２０
弹簧伸长长度 / ｃｍ ０.５ １ １.５ ２ ２.５ ? ５
(１)在图中描出物体的质量和弹簧伸长的长度所对应的点ꎬ再按顺序连接起来ꎮ
９４
(２)物体的质量与弹簧伸长的长度成正比例吗? 为
什么?
(３)根据图像判断ꎬ如果挂上质量是 ５ 千克的物体ꎬ
弹簧应伸长多少厘米? 要使弹簧伸长 ４ 厘米ꎬ应挂上多少
千克的物体?
?思路提示 先根据表中数据在图中描出各点ꎬ并
连接各点ꎬ再根据正比例的判断方法ꎬ看物体的质量与弹簧伸长的长度的比值是否一定ꎬ如果一定ꎬ就
成正比例ꎬ否则ꎬ就不成正比例ꎬ然后借助图像找出挂上质量是 ５ 千克的物体时弹簧应伸长的长度及
要使弹簧伸长 ４ 厘米时应挂物体的质量ꎮ
?规范解答 (１)
(２)成正比例ꎮ 因为物体的质量与弹簧伸长的长度是两种相关联的量ꎬ且弹簧伸长的长度
物体的质量
＝ １
４
(一定)ꎬ所以物体的质量与弹簧伸长的长度成正比例ꎮ
(３) １.２５ ｃｍ １６ 千克
?规律方法 判断两种量是否成正比例ꎬ首先判断两种量是不是相关联的量ꎬ再判断这两种相
关联的量中相对应的两个数的比值(商)是否一定ꎬ如果比值一定ꎬ这两种量就成正比例ꎬ否则ꎬ就不成
正比例ꎻ借助正比例图像可以根据一个量的值估计另一个量的值ꎮ
易错易混点击
易错点:对正比例图像认识不深刻
填空:在弹簧秤上吊物品时ꎬ所吊物品的质量与弹簧长度的变化如下图ꎮ
当吊起的物品的质量是 ５ 千克时ꎬ弹簧伸长了( ２０ )厘米ꎮ
错点警示:本题错在混淆了“弹簧的长度”和“弹簧伸长的长度”ꎮ 在
没有吊物品时ꎬ弹簧长 １０ 厘米ꎬ所以当吊起的物品的质量是 ５ 千克时ꎬ弹
簧伸长了 ２０－１０＝ １０(厘米)ꎮ
正确解答:１０
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规避策略:吊起的物品的质量与弹簧伸长的长度成正比例ꎬ弹簧伸长的长度等于吊起物品后弹簧
的长度减去没有吊物品时弹簧的长度ꎮ
９５
培优例题精讲
培优链接:利用正比例图像解决问题
下面的图像反映甲、乙两车行驶的路程和时间的关系ꎮ
(１)甲车行驶的路程和时间成正比例吗? 乙车呢?
(２)甲车每分钟比乙车多行驶多少千米?
?思路提示 根据甲、乙两车行驶的路程和时间的图像是一条直线可以判断甲、乙两车行驶的路
程和时间成正比例ꎮ 求甲车每分钟比乙车多行驶多少千米就是求两车的速度差ꎮ
?规范解答 (１)成正比例 成正比例
(２)４０÷４０－４０÷５０＝ ０.２(千米)
答:甲车每分钟比乙车多行驶 ０.２ 千米ꎮ
培优闯关演练
下面是淘气用自制的皮筋秤称量物体质量与皮筋长度的统计图ꎮ (皮筋秤最多可以称 ３ ｋｇ 物体)
(１)根据统计图填表ꎮ
质量 / ｇ ０ ４００ ６００ ８００ １０００ １６００ ａ(ａ≤３０００)
伸长长度 / ｃｍ ０ ７
(２)淘气用这个皮筋秤称一本«现代汉语词典»ꎬ皮筋长 １４.８ ｃｍꎬ这本词典重多少克?
９６
读读新课标 忆忆旧知识
１ 认识成反比例的量ꎬ初步理解反比例的意义ꎮ (重点)
２ 理解成反比例的两种量的变化规律ꎮ (重点)
３ 能根据反比例的意义判断两种相关联的量是否是成反比例的
量ꎮ (难点)
１.常见的数量关系ꎮ
２.正比例关系的判断方
法ꎮ
填填预习卡 课前预习卡内容详见配赠小册子 Ｐ２５９
课本例题精讲
反比例的意义(重点)
(教材第 ６１ 页例 ３)
用 ６０ 元购买笔记本ꎬ购买笔记本的单价和数量如下表:
单价 / (元 /本) １ ２ ３ ４ ５ ６ ?
数量 /本 ６０ ３０ ２０ １５ １２ １０ ?
表中的两个量是怎样变化的? 这种变化有什么规律?
１.思维导引:
通过计算相对应的单价和数量的积发现规
律ꎮ
２.解题方法:
观察表中数据ꎬ探究两个相关联的量的变化
规律ꎮ 购买笔记本的数量随单价的变化而变化ꎮ
相对应的两个量的积(笔记本的总价)不变ꎮ
１×６０＝ ６０ ２×３０＝ ６０ ３×２０＝ ６０ ??
可以用式子表示这几个量之间的关系:单价×数
量＝总价(一定)ꎮ
单价和数量是两种相关联的量ꎬ购买
笔记本的数量随着单价的变化而变化ꎮ
当单价和数量的积总是一定(也就是总价
一定)时ꎬ即单价×数量 ＝总价(一定)ꎬ笔
记本的单价和购买的数量成反比例关系ꎬ
笔记本的单价和购买的数量是成反比例
的量ꎮ
９７
两种相关联的量ꎬ一种量变化ꎬ另一种量也随着变化ꎬ如果这两种量中相对应的两个数
的积一定ꎬ它们成反比例关系ꎬ这两种量就是成反比例的量ꎻ如果用字母 ｘ 和 ｙ 表示两种相关联的量ꎬ
用 ｋ 表示它们的积(一定)ꎬ反比例关系可以表示为 ｘ×ｙ＝ ｋ(一定)ꎮ
１.一批运输车为地震灾区抢运一批救灾物资ꎬ如果把这批救灾物资一次运出ꎬ每辆车的载重量与所需
车辆如下表:
载重量 /吨 ２ ３ ５ ６ １０ ?
数量 /辆 ７５ ５０ ３０ ２５ １５ ?
表中相关联的量是( )和( )ꎬ( )随( )的变化而变化ꎬ( )是
一定的ꎬ因此每辆运输车的载重量与所需车辆数量成( )比例ꎮ
反比例关系的判断方法(重点)
(教材第 ６１ 页试一试)
生产 ２４０ 个零件ꎬ工作效率和工作时间如下表:
工作效率 / (个 /时) １２０ ８０ ６０ ４８ ４０ ?
工作时间 /时 ２ ３ ４ ?
(１)填写上表ꎬ说说工作时间是随着哪个量的变化而变化的ꎮ
(２)相对应的两个数的乘积各是多少?
(３)这个乘积表示的实际意义是什么? 你能用式子表示它与工作效率、工作时间之间的关系吗?
(４)工作效率和工作时间成反比例吗? 为什么?
１.思维导引:
根据反比例的意义解决问题ꎮ
２.方法探究:
(１)根据公式“工作时间＝工作总量÷工作效率”计算工作时间ꎬ并把计算的数值填入表格ꎮ
工作效率 / (个 /时) １２０ ８０ ６０ ４８ ４０ ?
工作时间 /时 ２ ３ ４ ５ ６ ?
?????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????? 工作时间随着工作效率的变化而变化ꎬ工作时间和工作效率是两种相关联的量ꎮ
(２)１２０×２＝ ２４０ ８０×３＝ ２４０ ６０×４＝ ２４０ ４８×５＝ ２４０ ４０×６＝ ２４０??
?????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????? 相对应的两个数的乘积都是 ２４０ꎮ
(３)这个乘积表示工作总量ꎮ 工作总量、工作效率和工作时间之间的关系:工作效率×工作时间＝
工作总量(一定)ꎮ
(４)工作效率和工作时间是两种相关联的量ꎬ且工作效率×工作时间＝工作总量ꎬ因为工作总量一
定ꎬ也就是工作效率和工作时间的积一定ꎬ所以工作效率和工作时间成反比例关系ꎬ工作效率和工作
时间这两种量叫作成反比例的量ꎮ
９８
根据反比例的意义判断两种量成反比例的条件:(１)两种量是相关联的量ꎮ 一种量变
化ꎬ另一种量也随着变化ꎮ (２)两种量中相对应的两个数的积一定ꎮ
２.有 １２００ 毫升果汁ꎬ可以平均分成若干杯ꎬ分得的杯数与每杯的果汁量如下表:
杯数 ６ ５ ４
每杯果汁量 /毫升 ２００ ４００ ６００
(１)把上表填完整ꎮ
(２)每杯的果汁量与分得的杯数是否成反比例? 为什么?
课本难题解答
教材第 ６４ 页“练习十一”第 ６ 题
四名同学都看了«我们爱科学»这本书ꎮ
(１)填写每人看完这本书需要的天数ꎮ
王明新 李 虹 张之华 郑 强
每天看的页数 ２０ １５ １０ ６
看的天数 ９
每天看的页数和看的天数之间有什么关系?
(２)照这样的速度看 ３ 天ꎬ他们各看了多少页ꎬ还剩多少页? 把结果填在表中ꎮ
王明新 李 虹 张之华 郑 强
已看的页数
剩下的页数
已看的页数和剩下的页数成比例吗? 为什么?
?思路提示 (１)根据王明新每天看的页数和看的天数ꎬ计算全书的页数ꎬ从而求出李虹、张之
华、郑强看的天数ꎮ 由于每天看的页数和看的天数的积(全书的页数)一定ꎬ所以每天看的页数和看的
天数成反比例关系ꎮ (２)照原来的速度ꎬ分别计算每人已看的页数和剩下的页数ꎬ发现已看的页数和
剩下的页数的和一定ꎬ所以已看的页数和剩下的页数不成比例ꎮ
?规范解答 (１)１２ １８ ３０ 因为看同一本书ꎬ书的总页数一定ꎬ所以每天看的页数和看的天
数成反比例ꎮ
(２)６０ ４５ ３０ １８ １２０ １３５ １５０ １６２ 已看的页数和剩下的页数不成比例ꎬ因为已看的页
数与剩下的页数的和一定ꎬ不是商一定ꎬ也不是积一定ꎬ所以不成比例ꎮ
?规律方法 判断两种量成不成比例时ꎬ首先要看清这两种量是不是相关联的量ꎬ其次是看这
两种相关联的量相除的商或相乘的积是否一定ꎬ如果这两种量的商一定ꎬ就成正比例ꎬ积一定ꎬ就成反
比例ꎬ否则就不成比例ꎮ
９９
易错易混点击
易错点 １:混淆了成反比例的两种量
判断:铺地的面积一定ꎬ方砖的边长和所需方砖的块数成反比例ꎮ ( √ )
错点警示:本题错在没有找准成反比例的两种量ꎮ 方砖的面
积×所需的块数＝铺地面积(一定)ꎬ所以方砖的面积和所需方砖的
块数成反比例ꎬ方砖的边长和所需方砖的块数不成反比例ꎮ
正确解答:( ✕ )
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规避策略:铺地的面积一定ꎬ方砖边长的平方与所需方砖的块数成反比例ꎮ
易错点 ２:错误理解反比例的意义
判断:六(１)班出勤人数和缺勤人数成反比例ꎮ ( √ )
错点警示:本题错在没有正确理解反比例的意义ꎮ 虽然出勤
人数与缺勤人数是相关联的量ꎬ出勤人数＋缺勤人数＝全班人数(一
定)ꎬ但是它们只是和一定ꎬ不是积一定ꎬ所以出勤人数和缺勤人数
不成反比例ꎮ
正确解答:( ✕ )
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规避策略:判断两种相关联的量是否成反比例的关键是看它们的积是否一定ꎮ
培优例题精讲
培优链接:利用抓不变量法解决问题
一辆货车从甲地到乙地然后返回共用了 １１ 小时ꎬ从甲地开往乙地时ꎬ每小时行 ５０ 千
米ꎬ返回时ꎬ每小时行 ６０ 千米ꎬ这辆货车往返各行了几小时?
?思路提示 货车往返的路程不变ꎬ速度和时间成反比例ꎮ 可以根据等量关系“去时速度×去时
时间＝返回速度×返回时间”列方程ꎬ求去时时间和返回时间ꎮ
?规范解答 解:设去时行了 ｘ 小时ꎬ则返回时行了(１１－ｘ)小时ꎮ
５０ｘ ＝ ６０×(１１－ｘ)
ｘ ＝ ６
１１－ｘ＝ ５
答:货车去时行了 ６ 小时ꎬ返回时行了 ５ 小时ꎮ
培优闯关演练
一艘轮船所带的柴油最多可以用 ６ 小时ꎬ驶出时顺流而行ꎬ每小时行驶 ３０ 千米ꎬ返回时逆流而
行ꎬ每小时行驶 ２４ 千米ꎮ 这艘轮船最多驶出多远就应返回了?
１００
同学们ꎬ请认真阅读课本 Ｐ５６~Ｐ６５ꎬ再把下面的知识点整理后放入你的小锦囊吧!
知识点 举例说明 自我提醒
正比例
李老师打字的速度一定ꎬ打字的总字数和时间成正
比例ꎮ
当两种相关联的量中相对应的两个
数的比值(也就是商)一定时ꎬ它们
成正比例关系ꎬ这两种量就是成正
比例的量ꎮ
正比例
的图像
一种花布的长度和总价的关系如下图:
(１)购买花布的米数和总价成(正)比例ꎮ
(２)根据图像可知ꎬ买 ５ 米这样的花布需要(２５)元ꎬ
３５ 元可以买(７)米花布ꎮ
正比例的图像是一条直线ꎬ从图像
中可以直观地看出两种量的变化规
律ꎬ由一个量的值可以直接找到对
应的另一个量的值ꎮ
反比例
(１)总价一定ꎬ单价和数量成反比例ꎮ
(２)三角形的面积一定ꎬ底和高成反比例ꎮ
当两种相关联的量中相对应的两个
数的积一定时ꎬ它们成反比例关系ꎬ
这两种量就是成反比例的量ꎮ
附:
正反比例的比较 具体内容
相同点 都有两种相关联的量ꎬ且一种量随着另一种量的变化而变化ꎮ
不同点
正比例:(１)变化方向相同ꎬ一种量扩大或缩小ꎬ另一种量也扩大或缩小ꎮ
(２)相对应的两种量的比值(商)一定ꎮ (３)关系式: ｙ
ｘ
＝ ｋ(一定)
反比例:(１)变化方向相反ꎬ一种量扩大或缩小ꎬ另一种量反而缩小或扩大ꎮ
(２)相对应的两种量的积一定ꎮ (３)关系式:ｘ×ｙ＝ ｋ(一定)
１０１
一个锅炉房烧煤的天数和烧煤的总吨数、每天烧煤的吨数如下表(１)和表(２):
烧煤的天数 /天 ２ ３ ４ ５ ６ ７
烧煤的总量 /吨 ３ ４.５ ６ ７.５ ９ １０.５
表(１)
表(１)中ꎬ( )和( )是相关联的量ꎬ( )随着( )
的变化而变化ꎬ它们的( )是一定的ꎬ因此ꎬ烧煤的天数和烧煤的总量成( )比例关系ꎮ
每天的烧煤量 /吨 １ １.５ ２ ２.５ ３ １.２
烧煤的天数 /天 ３０ ２０ １５ １２ １０ ２５
表(２)
表(２)中ꎬ( )和( )是相关联的量ꎬ( )随着( )的
变化而变化ꎬ它们的( )是一定的ꎬ因此ꎬ每天的烧煤量和烧煤的天数成( )比例关系ꎮ
融汇考点:正比例和反比例的异同点ꎮ
?思路提示 先观察各表中两个相关联的量的变化规律ꎬ通过计算找出不变量ꎬ如果两个相关
联的量的比值(商)一定ꎬ那么它们成正比例关系ꎬ如果两个相关联的量的积一定ꎬ那么它们成反比例
关系ꎮ
?规范解答 烧煤的天数 烧煤的总量 烧煤的总量 烧煤的天数 比值 正
每天的烧煤量 烧煤的天数 烧煤的天数 每天的烧煤量 积 反
学校教室用方砖铺地ꎬ用边长 ６ ｄｍ 的方砖铺地需要 ４００ 块ꎬ如果改用边长 ８ ｄｍ 的
方砖铺地ꎬ需要多少块?
融汇考点:反比例的应用ꎮ
?思路提示 依题意ꎬ铺地总面积一定ꎬ每块方砖的面积和需要方砖的块数成反比例关系ꎬ可以
根据每块方砖的面积与所需方砖的块数的积相等列出等式ꎮ
?规范解答 解:设需要 ｘ 块ꎮ
(８×８)ｘ＝ ６×６×４００
６４ｘ＝ １４４００
ｘ＝ ２２５
答:需要 ２２５ 块ꎮ
１０２
１.下表中 ａ 和 ｂ 是两种相关联的量ꎮ
ａ ６０ ｘ ?
ｂ １５ ５０ ?
当 ｘ＝ ２００ 时ꎬａ 和 ｂ 成( )比例ꎻ当 ｘ＝( )时ꎬａ 和 ｂ 成反比例ꎮ
２.下面各题中的两种量是否成比例? 若成比例ꎬ是成正比例还是成反比例?
(１)电脑的单价一定ꎬ购买电脑的台数和总价ꎮ ( )
(２)长方体的体积一定ꎬ底面积和高ꎮ ( )
(３)一本书已看的页数和剩下的页数ꎮ ( )
(４)出粉率一定ꎬ小麦的质量和面粉的质量ꎮ ( )
(５)教室的面积一定ꎬ学生人数和人均占地面积ꎮ ( )
３.某商场出售同一种大米的质量和总价如下表:
质量 / ｋｇ １００ ２００ ３００ ４００ ５００ ?
总价 /元 ３５０ ７００ １０５０ １４００ １７５０ ?
(１)把上面的数据在下面的方格纸上表示出来ꎬ并按顺序连一连ꎮ
(２)根据图表回答问题ꎮ
①表中哪两种量是相关联的量? 它们成哪种比例关系? 为什么?
②估计出售 ８００ｋｇ 大米的总价是多少元? 要使总价为 ２４５０ 元ꎬ需要出售多少大米?
４.某工程队要铺设一条长 １８００ 米的天然气管道ꎬ前 ３ 天铺了总长的
３
１０
ꎬ照这样的进度ꎬ余下的还要几
天铺完?
１０３
读读新课标
１ 掌握影子长度与目标物实际高度之间的比例关系ꎮ
(重点)
２ 应用物体的高度与影长的规律ꎬ测量出大树的高度ꎮ (难
点)
３ 灵活运用物体高度与影长的变化规律解决生活中的实际问题ꎮ
(难点)
活动内容
探索同一时间、同一地点ꎬ物体的高度与影长的变化规律ꎮ
活动准备
活动工具:卷尺、测绳等测量工具ꎬ竹竿ꎮ
活动分工:每个小组 ４~５ 人ꎬ其中记录员 １ 人ꎬ操作员 ３~４ 人ꎮ
活动过程
１.提出问题
２.实验操作
(１)在同一地点ꎬ同时测量几根同样长的竹竿的影长ꎮ
①在阳光下ꎬ把几根同样长的竹竿直立在平坦的地面上ꎬ同时量出每根竹竿的影长ꎮ
②记录并比较测量结果ꎮ
③发现规律:在阳光下ꎬ同一时间、同一地点ꎬ同样长的竹竿的影子长度相同ꎮ
(２)在同一地点ꎬ同时测量几根不同长度的竹竿的影长ꎮ
①把几根不同长度的竹竿直立在平坦的地面上ꎬ同时量出每根竹竿的影长ꎬ记录在表里ꎬ并计算
出比值ꎮ (得数保留两位小数)
１０４
① ② ③ ④ ?
竹竿长 / ｃｍ
影长 / ｃｍ
竹竿长与影长的比值
(得数保留两位小数)
②发现规律:在阳光下ꎬ同一时间、同一地点ꎬ不同长度的竹竿的高度与影长的比值是相等的ꎮ
(３)总结规律ꎮ
在阳光下ꎬ同一时间、同一地点ꎬ同样长的直立竹竿的影子长度相同ꎬ不同长度的直立竹竿的高度
与影长的比值相等ꎮ
３.解决问题
应用上面发现的规律测量大树的高度ꎮ
①在阳光下ꎬ同时量出一根直立竹竿和一棵大树的影长ꎬ再量出竹竿的长度ꎬ把结果填入下表ꎮ
影长 / ｃｍ 实际高度 / ｃｍ
竹竿
大树
②计算大树的高度ꎮ
方法一:把大树的影长看作单位“１”ꎬ用乘法计算ꎮ
大树的高度＝大树的影长× 竹竿的长
竹竿的影长
(即大树的高度与大树的影长的比)
方法二:把大树的高度看作单位“１”ꎬ用除法计算ꎮ
大树的高度＝大树的影长÷竹竿的影长
竹竿的长
(即大树的影长与大树的高度的比)
４.延伸思考
问题:同一棵大树ꎬ在不同时间测量它的影长ꎬ结果相同吗?
方法:实地测量ꎬ在不同时间测量大树的影长ꎬ发现影子长度不同ꎮ
小结:同一棵大树ꎬ在不同时间测量它的影长ꎬ结果是不同的ꎮ
活动总结
１.同样高度的物体在不同时间、不同地点测出的影长是会变化的ꎮ
２.比较物体的高度和影长时ꎬ要在同一时间、同一地点进行ꎮ
３.在同一时间、同一地点ꎬ物体的高度和影长成正比例ꎮ
４.利用物体的高度和影长的关系可以测量大树或其他物体的高度ꎮ 只要把测量物体高度的问题
转化为通过测量物体的影长ꎬ再计算物体高度的问题即可ꎮ
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