资料简介
分式方程
知识精讲
一．分式方程
分式方程
的概念
分母中含有未知数的方程
2
2 16 2
2 4 2
x x
x x x
可表示为：
2 16 2
2 2 2 2
x x
x x x x
最简公分母为：(x+2)(x-2)
化为整式方程：
（x+2）2+16=（x-2）2，
解得：x=﹣2，
经检验：
x=﹣2 为原方程的增根，舍去
则原方程无解
分式方程
的解法
（1）能化简的先化简；
（2）方程两边同乘以最简公分母，
化成整式方程；
（3）解整式方程；
（4）验根
（将解代入原方程，若原分母为 0，
则该解舍去，此方程无解；若原分母
≠0，则该解正确）
二．分式方程的实际应用
解题步骤
步骤：审题—-设未知数—-列方程—-解方程—-检验—-解答
验根：从方程本身和实际问题两个方面进行检验
工程问题
一项工程，甲队单独完成这项工程需要 150 天，甲队单独施工 30 天后增加
乙队，两队又共同工作了 15 天，共完成总工程的
1
3 ，求乙队单独完成这项
工程需要多少天？
设乙队单独完成这项工程需要 x 天，
根据题意得
1
150
×（30+15）+
1
x
×15= 1
3
，
得：x=450，
经检验 x=450 是方程的根，
∴乙队单独完成这项工程需要 450 天
经济问题
某校在去年购买 A，B 两种足球，费用分别为 2400 元和 2000 元，其中 A
种足球数量是 B 种足球数量的 2 倍，B 种足球单价比 A 种足球单价多 80
元/个，求 A，B 两种足球的单价
设 A 种足球单价为 x 元/个，则 B 足球单价为（x＋80）元/个，
根据题意，得：
2400 20002
80x x
解分式方程
例题 1、 解分式方程
1 32
1 1x x
，去分母得（ ）
A.1 2( 1) 3x B.1 2( 1) 3x
C.1 2 2 3x D.1 2 2 3x
例题 2、 解分式方程
2 2 3
1 1
x
x x
时，去分母后变形为（ ）
A.2＋（x＋2）＝3（x－1） B.2－x＋2＝3（x－1）
C.2－（x＋2）＝3（1－x） D.2－（x＋2）＝3（x－1）
例题 3、 解方程与化简
（1）解方程：
2 11
2 2
x
x x
；
（2）当 x＝－2，求分式： 2 2
( 2)( 3) 3 2
9 2
x x x
x x x x
的值．
随练 1、 当 x＝（ ）时，分式 2
5
x
x
与
1x
x
互为相反数．
A.
6
5
B.
5
6
C.
3
2
D.
2
3
随练 2、 关于 x 的分式方程
1 0
1
m
x x
的解，下列说法正确的是（ ）
A.不论 m 取何值时，该方程总有解
B.当 m≠1 时该方程的解为
1
mx
m
C.当 m≠1 且 m≠0 时，该方程的解为
1
mx
m
D.当 m＝2 时该方程的解为 x＝2
随练 3、 解下列分式方程．
（1） 2 71
3 2 6
x
x x
（2） 2
1 3 3 1 12
1 3 3 1 1 9
x x
x x x
分式方程的实际应用
例题 1、 一项工程，一半由甲单独做需要 m 小时完成，另一半由乙单独做需要 n 小时完
成，则甲、乙合做这项工程所需的时间为（ ）
A. m n
mn
小时 B. 1
mn
小时 C. mn
m n
小时 D. 2mn
m n
小时
例题 2、 轮船在河流中来往航行于 A 、B 两码头之间，顺流航行全程需 7 小时，逆流航行
全程需 9 小时，已知水流速度为每小时 3km ，求 A 、 B 两码头间的距离．若设 A 、 B 两码
头间距离为 x ，则所列方程为（ ）
A. 3 3
7 9
x x
B. 3 3
7 9
x x
C. 3
7 9
x x
D. 3
7 9
x x
例题 3、 小明元旦前到文具超市用 15 元买了若干练习本，元旦这一天，该超市开展优惠
活动，同样的练习本比元旦前便宜 0.2 元，小明又用 20.7 元钱买练习本，所买练习本的数量
比上一次多 50％，小明元旦前在该超市买了多少本练习本？
随练 1、 某广告公司招标了一批灯箱加工工程，需要在规定时间内加工 1400 个灯箱，该
公司按一定速度加工 5 天后，发现按此速度加工下去会延期 10 天完工，于是又抽调了一批
工人投入灯箱加工，使工作效率提高了 50％，结果如期完成工作．
（1）求该公司前 5 天每天加多少个灯箱；
（2）求规定时间是多少天．
随练 2、 元旦晚会上，王老师要为她的学生及班级的六位科任老师送上贺年卡，网上购买
贺年卡的优惠条件是：购买 50 或 50 张以上享受团购价．王老师发现：零售价与团购价的比
是 5︰4，王老师计算了一下，按计划购买贺年卡只能享受零售价，如果比原计划多购买 6
张贺年卡就能享受团购价，这样她正好花了 100 元，而且比原计划还节约 10 元钱；
（1）贺年卡的零售价是多少？
（2）班里有多少学生？
随练 3、 近几年我国高铁及城际铁路快速发展，2017 年 12 月 28 日“青烟威荣”城际铁路正
式开通．从烟台到北京的高铁里程比普快里程缩短了 100 千米，运行时间减少了 8 小时．已
知烟台到北京的普快列车里程约 1000 千米，高铁平均时速为普快平均时速的 2.5 倍．
（1）求高铁列车的平均时速；
（2）某日王老师要去距离烟台大约 700 千米的某市参加 14:00 召开的会议，如果他买到当
日 8:40 从烟台至该市的高铁票，而且从该市火车站到会议地点最多需要 1.5 小时，试问在高
铁列车准点到达的情况下他能在开会之前赶到吗？
含参的分式方程
知识精讲
一．增根问题
增根
（1）分式方程去分母后化成的
整式方程的解
（2）使分式方程的分母为零的
未知数的值
关于 x 的分式方程
7 3
1 1
m
x x
有增
根，则增根为______
∵原方程有增根，
∴x－1＝0 ∴x=1
由增根求
参数的值
（1）将原方程化成整式方程；
（2）确定增根；
（3）将增根代入变形后的整式
方程，求出参数的值
a 为何值时，关于的方程
2
2 3
2 4 2
ax
x x x
会产生增根？
（1）原方程可化为
2 2 3 2x ax x
（2）此方程的增根，x=±2
（3）x=2 时， 2 1 10 4a a ，
x=-2 时， 1 2 10 6a a ，
∴ 4a 或 6a
由分式方
程根的情
况，求参数
的取值范
围
（1）将原方程化成整式方程；
（2）把参数看成常数求解；
（3）根据根的情况，确定参数
的取值范围（注意要排除增根
时参数的值）
关于 x 的方程
1 =1
2
m
x
的解是正数，求
m 的取值范围。
（1）原方程可化为 m+1=x-2
（2）求解：x=m+3
（3）需满足“解是正数，分式有意义”
∴m+3＞0 且 x-2= m+1≠0
（4）解得 m＞-3 且 m≠-1
二．整数根问题
（1）利用参数表示未知数
（2）分离常量
（3）对分式部分进行整除性讨论，
得到分式方程的整数解
若关于 x 的分式方程
1 3 2
2
a
x
解为整数，请写
出 a 所有可能值
（1）原方程可化为
4 7
2 3
ax
a
，
（2）分离常量：
4 7 4 6+1 1 = 2
2 3 2 3 2 3
a ax
a a a
（3）进行整除性讨论，即 2 3a 为1的约数，得
2a+3=-1 或 2a+3=1，得 2a 或 1
增根问题
例题 1、 若分式方程
1
x a a
x
无解，则 a 的值为（ ）
A.0 B.－1 C.0 或－1 D.1 或－1
例题 2、 若关于 x 的分式方程
7 3
1 1
mx
x x
无解，则实数 m ________．
随练 1、 关于 x 的方程
1
2 3
k
x x
无解，则 k 的值为（ ）
A.0 或
1
2 B.－1 C.－2 D.－3
随练 2、 关于 x 的方程
3 2 2
1 1
x m
x x
无解，则 m 的值为（ ）
A.－5 B.－8 C.－2 D.5
整数根问题
例题 1、 已知关于 x 的方程 2
3 3
x m
x x
有一个正数解，则 m 的取值范围________．
例题 2、 若方程
3 2
3x x k
有负数根，则 k 的取值范围是（ ）
A. 2k B. 2k 且 3k C. 2k D. 2k
随练 1、 若关于 x 的分式方程
3 2 1a a
x a
的解为非负整数，求整数 a 的值．
随练 2、 已知关于 x 的方程 1
3
x a
x
有正根，则实数 a的取值范围是（ ）
A.a＜0 且 a≠﹣3 B.a＞0 C.a＜﹣3 D.a＜3 且 a≠﹣3
课堂小结
拓展
1、 若关于 x的分式方程 2
2 2
x m
x x
的解为正数，则满足条件的正整数 m 的值为（ ）
A.1，2，3 B.1，2 C.1，3 D.2，3
2、 正偶数 x 使得方程
1 1 1
x x a
成立，求整数 a 的值．
3、 如果解关于 x 的分式方程
2 1
2 2
m x
x x
时出现增根，那么 m 的值为（ ）
A.－2 B.2 C.4 D.－4
4、 若关于 x 的分式方程
2
2
1 3 2
2 5 3
a a
x a a
的解为整数，则 a 的值为（ ）
A. 1 B. 3 C. 0 D. 1 或 3
5、 当 a 为何值时，关于 x 的方程
3 1
1
x a
x x
无解？
1、分式方程的解法：
（1）能化简的先化简；
（2）方程两边同乘以最简公分母，化成整式方程；
（3）解整式方程；
（4）验根
（注意：将解代入原方程，若原分母为 0，则该解舍去，此方程无解；若原分母≠0，则该
解正确）
2、分式方程的实际应用：
步骤：审题—-设未知数—-列方程—-解方程—-检验—-解答
验根：从方程本身和实际问题两个方面进行检验
3、增根：
（1）分式方程去分母后化成的整式方程的解
（2）使分式方程的分母为零的未知数的值
4、整数解问题：
（1）利用参数表示未知数
（2）分离常量
（3）对分式部分进行整除性讨论，得到分式方程的整数解
6、 解方程：
2 2
2 2
6 12 4 0
4 4 4 4 4
y y y
y y y y y
7、 在解分式方程 2
2 3 1
1 1 1x x x
时，小明的解法如下：
解：方程两边同时乘以 ( 1)( 1)x x ，得
2( 1) 3 1x ①
2 1 3 1x ②
解得
5
2
x ③
检验：当
5
2
x 时， ( 1)( 1) 0x x ④
所以，原分式方程的解为
5
2
x
假设上一步骤正确的前提下，你认为小明在哪些步骤出现了错误________（只填序号）．
8、 阅读下列材料：
在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于 x的分式方程
3 1
1 1
a
x x
的解为正数，求 a 的取值范围？
经过小组交流讨论后，同学们逐渐形成了两种意见：
小明说：解这个关于 x 的分式方程，得到方程的解为 x＝a－2．由题意可得 a－2＞0，所以
a＞2，问题解决．
小强说：你考虑的不全面．还必须保证 a≠3 才行．
老师说：小强所说完全正确．
请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里？请你简要说明：________．
完成下列问题：
（1）已知关于 x 的方程
2 1 1
2
mx
x
的解为负数，求 m 的取值范围；
（2）若关于 x 的分式方程
3 2 2 1
3 3
x nx
x x
无解．直接写出 n 的取值范围．
9、 某地下管道，若由甲队单独铺设，恰好在规定时间内完成；若由乙队单独铺设，需要
超过规定时间 15 天才能完成，如果先由甲、乙两队合做 10 天，再由乙队单独铺设正好按时
完成．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为 5000 元，乙队每天的施工费用为 3000 元，为了缩短工期
以减少对居民交通的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成，那么该工程
施工费用是多少？
10、 某学校在商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费 2000 元，购买乙种足
球共花费 1400 元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的 2 倍，且购买一个乙种足球比
购买一个甲种足球多花 20 元．
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元？
（2）为响应“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共 50 个．恰逢该
商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了 10％，乙种足球售
价比第一次购买时降低了 10％，如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过 2900 元，那
么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
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