资料简介
北师大版九年级上册数学期中测试题及答案
(考试时间：120分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题 共18分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
1．方程(x－2)2＝9的解是( C )
A．x＝5 B．x＝－1
C．x＝－1或x＝5 D．x＝－5或x＝1
2．班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为( A )
A．x(x－1)＝90 B．x(x－1)＝2×90
C．x(x－1)＝90÷2 D．x(x＋1)＝90
3．在盒子里放有三张分别写有整式a＋1，a＋2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是( B )
A. B. C. D.
4．若关于x的方程x2＋x－a＋＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( C )
A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a＜2
5．如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥AB交BC于点E.若AD＝8 cm，则OE的长为( B )
A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
第5题图 第6题图
6．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD＝60°，则花坛对角线AC的长等于( A )
A．6 米 B．6米 C．3 米 D．3米
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第Ⅱ卷(非选择题 共102分)
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
7．已知一元二次方程x2－3x－2＝0的两个实数根为x1，x2，则(x1－1)(x2－1)的值是 －4 .
8．一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，那么添加的球是 红球 ．
9．如图，阴影部分表示的四边形是__正方形 ．
第9题图 第11题图
10．某种商品零售价经过两次降价后，每件的价格由原来的800元降为现在的578元，则平均每次降价的百分率为__15%__.
11．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合．若BC＝，则折痕CE的长为__2__.
12．已知直角三角形两边x，y满足|x2－9|＋＝0，则第三边长为__5或__.
三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13．(1)解方程x(2x－4)＝5－8x.
解：去括号，得2x2－4x＝5－8x，
移项，得2x2＋4x＝5，二次项系数化为1，得x2＋2x＝，
配方，得x2＋2x＋1＝＋1，即(x＋1)2＝，
两边开平方，得x＋1＝±，
∴x1＝－1＋，x2＝－1－.
(2)已知：直角三角形的周长为2＋，斜边上的中线长为1，试求这个直角三角形的面积．
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解：设两条直角边分别为a，b，根据题意，得
故2ab＝6－4＝2，
即ab＝，所以直角三角形的面积为.
14．关于x的一元二次方程x2－3x－k＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．
解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，
∴(－3)2－4(－k)＞ 0，
即4k＞ －9，解得k＞ －.
(2)若k是负整数，k只能为－1或－2.
如果k＝－1，原方程为x2－3x＋1＝0，
解得x1＝，x2＝.
(如果k＝－2，原方程为x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2)
15．如图，在菱形ABCD中，E是AB上一点，DE交对角线AC于F.试说明：∠FBC＝∠AED.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝DC，∠DCA＝∠BCA，
∴△DCF≌△BCF，∴∠FBC＝∠CDF.
∵CD∥AB，∴∠CDF＝∠AED，
∴∠FBC＝∠AED.
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16．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
(1)商场日销售量增加__2x__件，每件商品盈利__(50－x)__元(用含的代数式表示);
(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？
解：由题意得(50－x)(30＋2x)＝2 100，
化简得x2－35x＋300＝0，解得x1＝15，x2＝20.
∵该商场为了尽快减少库存，则x＝15不合题意，舍去．
∴x＝20.即每件商品降价20元，商场日盈利可达2 100元．
17．如图，菱形ABCD中，分别延长DC，BC至点E，F，使CE＝CD，CF＝CB，连接DB，BE，EF，FD.求证：四边形DBEF是矩形．
证明：∵CE＝CD，CF＝CB，
∴四边形DBEF是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∴CE＝CF，∴BF＝DE，
∴四边形DBEF是矩形．
四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18．已知α，β是关于x的方程mx2＋2x－3＝0的两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)取一个适当的m值，求2α－3αβ＋2β的值．
解：(1)由题意得Δ≥ 0，且m≠0.
∴22－4m× (－3)≥ 0，∴m≥ －且m≠0.
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(2)取m＝1，则方程为x2＋2x－3＝0，
∴α＋β＝－2，α β＝－3.
∴2α－3α β＋2β＝2(α＋β)－3α β＝2× (－2)－3× (－3)＝5.
19．(连云港中考)小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？
(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗？请说明理由．
解：(1)设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为(10－x) cm.
由题意得x2＋(10－x)2＝58.解得x1＝3，x2＝7.
则这两个正方形的周长分别为4× 3＝12 cm，4× 7＝28 cm.
所以小林应把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段；
(2)小峰的说法是对的．
假设能围成，由(1)得x2＋(10－x)2＝48.
化简得x2－10x＋26＝0.
∵(－10)2－4× 1× 26＝－4＜ 0，
∴此方程没有实数根，即围成的两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.所以小峰的说法是对的．
20．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8 cm，BC＝10 cm，求EC的长．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DC＝AB＝8，AD＝BC＝10，
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∠B＝∠D＝∠C＝90°.
∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，
∴AF＝AD＝10，DE＝EF.
在Rt△ABF中，BF＝＝＝6，
∴FC＝BC－BF＝4.
设EC＝x，则DE＝8－x，EF＝8－x.
在Rt△EFC中，∵EC2＋FC2＝EF2，
∴x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3.
∴EC的长为3 cm.
五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21．(玉林、崇左、梧州中考)在一个不透明的袋子中有一个黑球a和两个白球b，c(除颜色外其他均相同)，用画树状图法(或列表法)解答下列问题：
(1)小丽第一次从袋子中摸出一个球不放回，第二次又从袋子中摸出一个球，则小丽两次都摸到白球的概率是多少？
(2)小强第一次从袋子中摸出一个球，摸到黑球不放回，摸到白球放回；第二次又从袋子中摸出一个球，则小强两次都摸到白球的概率是多少？
解：(1)
所有可能结果共有6种，两次都摸出白球的结果共有2种，
∴两次都摸到白球的概率是P1＝＝.
(2)
所有可能结果共有8种，两次都摸出白球的结果共有4种，
∴两次都摸到白球的概率是P2＝＝.
22．如图，▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
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(2)若DF＝BF，求证：四边形DEBF为菱形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C.
∵在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS)；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵AE＝CF，∴EB＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵DF＝FB，∴四边形DEBF为菱形．
六、(本大题共12分)
23．操作与探究：如图①，在正方形ABCD中，AB＝2，将一块足够大的三角板的直角顶点P放在正方形的中心O处，将三角板绕O点旋转，三角板的两直角边分别交边AB，BC于点E，F.
(1)试猜想PE，PF之间的大小关系，并证明你的结论；
(2)求四边形PEBF的面积；
(3)如图②，现将直角顶点P移至对角线BD上其他任意一点，PE，PF之间的大小关系是否改变？并说明理由．
解：(1)PE＝PF.证明如下：
如图①.作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N.
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∵四边形ABCD是正方形，
∴BD平分∠ABC.∴PM＝PN.
在四边形BEPF中，
∵∠EBF＝∠EPF＝90°，∴∠PFB＋∠PEB＝180°.
又∵∠PEB＋∠PEM＝180°，∴∠PFB＝∠PEM.
在Rt△PEM和Rt△PFN中，
∴Rt△PEM≌Rt△PFN(AAS)．∴PE＝PF.
(2)由(1)知四边形PEBF的面积等于正方形PMBN的面积．
∵BO＝OD，OM∥AD，∴BM＝AM＝1.
∴S四边形PEBF＝1.
(3)不会改变．
理由：如图②，作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N.
∵四边形ABCD是正方形，∴BD平分∠ABC.∴PM＝PN.
在四边形BEPF中，∵∠EBF＝∠EPF＝90°，
∴∠PFB＋∠PEB＝180°.
又∵∠PEB＋∠PEM＝180°，∴∠PFB＝∠PEM.
在Rt△PEM和Rt△PFN中，
∴Rt△PEM≌Rt△PFN(AAS)，
∴PE＝PF.
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