资料简介
北师大版九年级上册数学第二章测试题及答案
(考试时间：120分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题 共18分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
1．用配方法解一元二次方程x2＋4x－5＝0，此方程可变形为( A )
A．(x＋2)2＝9 B．(x－2)2＝9
C．(x＋2)2＝1 D．(x－2)2＝1
2．若方程x2－3kx＋k＋1＝0的两根之积为2，则( D )
A．k＝2 B．k＝－1 C．k＝0 D．k＝1
3．关于x的方程(m＋1)x2＋2mx－3＝0是一元二次方程，则m的取值是( C )
A．任意实数 B．m≠1
C．m≠－1 D．m＞1
4．(衡阳中考)绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为( B )
A．x(x－10)＝900 B．x(x＋10)＝900
C．10(x＋10)＝900 D．2[x＋(x＋10)]＝900
5．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程y2－7y＋10＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为( B )
A．8 B．20 C．8或20 D．10
6．如果关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有两个不相等的实根，则k的取值范围是( D )
A．－≤k＜ B．k≠0
C．k＜且k≠0 D．－≤k＜且k≠0
第Ⅱ卷(非选择题 共102分)
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
7．已知方程3x2－9x＋m＝0的一个根是1，则m的值 6 .
8．已知关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－4＝0的常数项为0，则m的值为__－2 .
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9．已知x为实数，且满足(x2＋3x)2＋2(x2＋3x)－3＝0，则x2＋3x的值为 1 .
10．三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2－13x＋40＝0的根，则该三角形的周长为 12 .
11．某种T恤衫，平均每天销售40件，每件盈利20元．若每降价1元，则每天可多售出10件．如果每天盈利1 400元，那么每件应降价 6或10 元．
12．(成都中考)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且x－x＝10，则a＝ .
三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13．解方程：
(1)(2017·兰州)2x2－4x－1＝0；
解：原方程可化为(x－1)2＝，
∴x1＝1＋，x2＝1－；
(2)(山西中考)2(x－3)2＝x2－9.
解：2(x－3)2－(x＋3)(x－3)＝0，
(x－3)(2x－6－x－3)＝0，
(x－3)(x－9)＝0，
x－3＝0或x－9＝0，
∴x1＝3，x2＝9.
14．(巴中中考)定义新运算：对于任意实数m，n都有m☆n＝m2n＋n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算，例如：－3☆2＝(－3)2×2＋2＝20.根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程2x2－bx＋a＝0的根的情况．
解：∵2☆a的值小于0，
∴22a＋a＝5a＜ 0，解得a＜ 0.
在方程2x2－bx＋a＝0中，
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Δ＝(－b)2－8a≥ －8a＞ 0，
∴方程2x2－bx＋a＝0有两个不相等的实数根．
15.已知关于x的方程x2＋2x＋a－2＝0.
(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
(2)当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
解：(1)依题意有Δ＝22－4(a－2)＞ 0，
解得a＜ 3；
(2)依题意得1＋2＋a－2＝0，
解得a＝－1，
∴原方程为x2＋2x－3＝0.
∴x＝＝，
即x1＝1，x2＝－3，
∴a＝－1，方程的另一根为－3.
16．一个直角三角形的斜边为4 cm，两条直角边的长相差4 cm，求这个直角三角形两条直角边的长．
解：设其中一条较长的直角边长为x cm，
则另一条直角边长为(x－4) cm.
根据题意，得x2＋(x－4)2＝(4)2，
解得x 1＝－4(舍去)，x 2＝8.
∴x－4＝4.
∴两条直角边的长分别为4 cm，8 cm.
17．某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份的营业额的月平均增长率．
解：3月份到5月份月增长是经过2次增长，平均月增长率是每次增长的百分数相同．设平均月增长率为x，则5月份的营业额是：3月份的营业额× (1＋x)2，因此，应先求3月份的营业额．显然，3月份的营业额是2月份的营业额×(1＋10%)＝400(1＋10%)＝440，故依题意，得440(1＋x)2＝633.6，(1＋x)2＝1.44，
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两边直接开平方，得1＋x＝± 1.2，
所以x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．
故3月份到5月份的营业额的月平均增长率为20%.
四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18．(菏泽中考)某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20 000元？
解：设销售单价为x，则：
(x－360)[160＋2(480－x)]＝20 000，
∴x2－920x＋211 600＝0，
解得x1＝x2＝460.
答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20 000元．
19．(十堰中考)已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＋2＝0.
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为x 1，x 2，且满足x＋x＝31＋|x 1x 2|，求实数m的值．
解：(1)Δ＝b2－4ac＝[－(2m＋3)]2－4(m2＋2)＝12m＋1，
∵方程有实数根，
∴12m＋1≥ 0，解得m≥ －.
(2)∵x 1，x 2是方程x2－(2m＋3)x＋m2＋2＝0的两个实数根，
∴x 1＋x 2＝2m＋3，x 1x 2＝m2＋2＞ 0.
∵x＋x＝31＋x1x2，∴(x1＋2)2－2x1x2＝31＋x1x2，
∴(2m＋3)2－2(m2＋2)＝31＋m2＋2，
∴m2＋12m－28＝0，解得m1＝2，m2＝－14.
∵m≥ －，∴m＝2.
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20.中秋节前夕，旺客隆超市采购了一批土特产，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下表的关系：
每天的售价(元/kg)
38
37
36
35
…
20
每天的销售量(kg)
50
52
54
56
…
86
设当每天的售价从38元/kg下调到x元/kg时，销售量为y kg.已知y是x的一次函数．
(1)求y与x的函数表达式；
(2)如果这种土特产的成本价是20元/kg，为使某一天的利润为780元，那么这一天的销售价应为多少元？(利润＝销售总金额－成本)
解：(1)∵y与x是一次函数关系．
∴设y与x之间的函数表达式是y＝kx＋b(k≠0)．
根据题意，得解得
所以，所求的函数表达式是y＝－2x＋126.
(2)设这一天的销售价为x元/kg, 根据题意，
得(x－20)(－2x＋126)＝780.
整理，得x2－83x＋1 650＝0，
解得x1＝33，x2＝50.
答：这一天的销售价应为33元/kg或50元/kg.
五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋a－c＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
解：(1)△ABC是等腰三角形．
理由如下：∵x＝－1是方程的根，
∴将x＝－1代入得(a＋c)× (－1)2－2b＋a－c＝0，
∴a＋c－2b＋a－c＝0，
∴a－b＝0，∴a＝b，
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∴△ABC是等腰三角形；
(2)△ABC是直角三角形．
理由如下：∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，
∴4b2－4a2＋4c2＝0，
∴a2＝b2＋c2，
∴△ABC是直角三角形．
22．某单位于“三·八”妇女节期间组织女职工到温泉“星星竹海”观光旅游．下面是领队与旅行社导游收费标准的一段对话：
领队：组团去“星星竹海”旅游每人收费是多少？
导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元．
领队：超过25人怎样优惠呢？
导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．
该单位按旅行社的收费标准组团浏览“星星竹海”结束后，共支付给旅行社2 700元．
请你根据上述信息，求该单位这次到“星星竹海”观光旅游的共有多少人？
解：设该单位这次参加旅游的共有x人，
∵100× 25＜ 2 700，∴x＞ 25.
依题意，得[100－2(x－25)]x＝2 700，
整理，得x2－75x＋1 350＝0.
解得x1＝30，x2＝45.
当x＝30时，100－2(x－25)＝90＞ 70，符合题意．
当x＝45时，100－2(x－25)＝60＜ 70，不符合题意，舍去．
∴x＝30.
答：该单位这次参加旅游的共有30人．
六、(本大题共12分)
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23．如图，在△ABC中，AB＝6 cm，BC＝7 cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1 cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2 cm/s的速度向C点移动．如果P，Q两点同时出发：
(1)经过几秒后△PBQ的面积等于4 cm2?
(2)当△PBQ的面积等于4 cm2时，△PBQ是什么形状的三角形？
解：(1)如图，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°.
∵∠ABC＝30°，
∴2QE＝QB.∴S△PBQ＝·PB·QE.
设经过t s后△PBQ的面积等于4 cm2，
则PB＝6－t，QB＝2t，QE＝t.
根据题意，·(6－t)·t＝4.
t2－6t＋8＝0，t1＝2，t2＝4.
当t＝4时，2t＝8，8＞ 7，不合题意舍去，所以t＝2.
答：经过2 s后△PBQ的面积等于4 cm2.
(2)∵△PBQ的面积等于4 cm2时，t＝2，
∴PB＝6－t＝6－2＝4，QB＝2t＝4，∴QB＝PB，
∴△PBQ是等腰三角形．
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