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北师大版九年级上册数学期中测试题附答案
(满分：120分 考试时间：120分钟)
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
1．下列对方程2x2－7x－1＝0的变形，正确的是( B )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
2．如图，要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明( B )
A．AB＝AD且AC⊥BD
B．AB＝AD且AC＝BD
C．∠BAD＝∠ABC且AC＝BD
D．AC和BD互相垂直平分
第2题图第5题图第6题图
3．若关于x的一元二次方程x(x＋1)＋ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为( A )
A．－1 B．1
C．－2或2 D．－3或1
4．将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的概率是( B )
A. B. C. D.
5．如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，EF⊥AD交AD于点F，若EF＝3，AE＝5，则AD等于( C )
A．5 B．6 C．7 D．8
6．如图，正方形ABCD中，点E在AB上，且BE＝AB，点F是BC的中点，点G是DE的中点，延长DF，与AB的延长线交于点H，以下四个结论：①FG＝EH；②△DFE是直角三角形；③FG＝DE；④DE＝EB＋BC.其中正确结论的个数是( D )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
7．方程(3x－1)(2x＋4)＝2化为一般形式是__3x2＋5x－3＝0__，其中二次项系数为__3__，一次项系数为__5__．
8．今年某市中考增加了体育测试科目，考生考试顺序和考试项目(考生从考试的各个项目中抽取一项作为考试项目)由抽签的方式决定，具体操作流程：①每位考生从写有A，B，C的三个小球中随机抽取一个小球确定考试组别；②再从写有“引体向上”“立定跳远”“800米”的抽签纸中抽取一个考试项目进行测试，则考生小明抽到A组“引体向上”的概率是．
9．某学校准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长30 cm、宽20 cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为x cm，则列方程并整理成一般形式为__x2＋25x－150＝0__．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为 17 .
第10题图第11题图第12题图
11．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为(2＋，)．
12．如图，正方形ABCD的边长为3 cm，E为CD边上一点，
∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD，BC相交于点P，Q.若PQ＝AE，则AP＝ 2或1 cm.
三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13．解下列方程：
(1)(x－1)(x＋2)＝2(x＋2)；
解：x1＝－2，x2＝3.
(2)x(2x－4)＝5－8x.
解：x1＝－1＋，
x2＝－1－.
14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝5，BC＝12，AC＝13.求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵AB∥CD，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝90°.
∵在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，满足AC2＝AB2＋BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形．
15.《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，完成于明嘉靖三年(1524年)，王文素著，全书12本42卷，近50万字，代表了我国明代数学的最高水平．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长十二步，问长阔各几何？”
译文：一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽是多少步？请你解决这个问题．
解：设矩形长为x步，宽为(x－12)步，依题意得x(x－12)＝864，即x2－12x－864＝0，解得x1＝36，x2＝－24(舍)．∴x－12＝24.
答：该矩形长为36步，宽为24步．
16．如图是由相同的小正方形组成的网格，A，B两点都在小正方形的顶点上．现请你在图①，图②中各画一个以A，B，C，D为顶点的菱形．要求：(1)顶点C，D在小正方形的顶点上；(2)工具只有无刻度的直尺；(3)所画的两个菱形不全等．
解：答案不唯一，可参考图①、图②.
17．(2018·曲靖)数学课上，李老师准备了四张背面看上去无差别的卡片A，B，C，D，每张卡片的正面标有字母a，b，c表示三条线段(如图)，把四张卡片背面朝上放在桌面上，李老师从这四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张．
(1)用树状图或者列表表示所有可能出现的结果；
(2)求抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率．
解：(1)
∴共有12种情况．
(2)∵A，B卡片不能构成三角形；C，D卡片可以构成三角形，
∴同时构成三角形的情况需抽到C，D，∴P＝.
四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18．如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿AC对折，使点B落在B′处，AB′和CD相交于点O.
(1)求证：OA＝OC；
(2)过O点作OE⊥AC交AB于E点，连接CE，求证：四边形OAEC是菱形．
证明：(1)∵△AB′C是由△ABC沿AC对折得到的图形，∴∠BAC＝∠B′AC.
∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，∴∠DCA＝∠B′AC，∴OA＝OC；
(2)∵∠BAC＝∠B′AC，OE⊥AC，∴AC垂直平分OE.∵OA＝OC，∴OE垂直平分AC，∴AC与OE互相垂直平分，∴四边形OAEC是菱形．
19．E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F，G.
求证：(1)四边形CFEG是矩形；
(2)AE＝FG.
证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，EF⊥BC，EG⊥CD，∴∠GCF＝∠CFE＝∠CGE＝90°，∴四边形EFCG为矩形；
(2)连接EC.∵四边形EFCG为矩形，∴FG＝CE.又∵
BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ABE＝∠CBE.在△ABE和△CBE中，
∴△ABE≌△CBE(SAS)．∴AE＝EC，∴AE＝FG.
20．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元．
试问小华选择哪种方案更优惠，并说明理由．
解：(1)设平均每次下调的百分率为x，依题意得5(1－x)2
＝3.2，解这个方程，得x1＝0.2，x2＝1.8(舍去)，即平均每次下调的百分率是20%；
(2)小华选择方案一购买更优惠，
方案一所需要费用为3.2×0.9×5 000＝14 400 元，
方案二所需费用为3.2×5 000－200×5＝15 000 元，
∵14 400
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