天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 华东师大版（2012） / 七年级上册 / 第4章 图形的初步认识 / 华师版七年级数学上册第4章图形的初步认识
资料简介
第4章 图形的初步认识
HS版
从两方面进行比较：一看底面；二看侧面
从两方面进行比较：一看底面；二看侧面
三棱锥 四棱锥 五棱锥 六棱锥
三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
1、棱柱分类(按棱数分)：
2、棱锥分类(按棱数分)：
棱柱
圆柱
柱体
棱锥
圆锥
锥体
多面体
棱柱
棱锥
围成棱柱和棱锥等立体图形的面是平的面，像
这样的立体图形，又称为多面体。
1.说出下列立体图形的名称：
四棱锥 圆柱 三棱柱
三棱锥 圆锥
…棱柱
…棱锥
3.判断下列的陈述是否正确：
⑴柱体的上、下两个面不一样大（ ）
⑵圆柱、圆锥的底面都是圆（ ）
⑶棱柱的底面不一定是四边形（ ）
⑷圆柱的侧面是平面（ ）
⑸棱锥的侧面不一定是三角形（ ）
⑹柱体都是多面体 （ ）
╳
√
√
╳
╳
╳
1、学习了柱体、锥体、球体及其分类；
2、明白了柱体与锥体的相同点与不同点；
3、了解了棱柱与棱锥的命名；
4、知道了什么是多面体；
5、根据所学知识能够判定生活中物体的形
状。
1、常见的立体图形有哪些？
2、柱体包括哪些图形?这些图形之间有什么相
同的地方和不同的地方？
3、锥体包括哪些图形？这些图形之间有什么相同
地方和不同的地方？
4、棱柱按棱数怎样分类？棱锥按棱数怎样分类？
5、什么是多面体？本节所学习的图形哪些是多体？
四棱柱
六棱柱
五棱柱
三棱柱
四棱锥
五棱锥
六棱锥
三棱锥
圆锥
棱锥
圆柱
棱柱
柱体 锥体
球体
1.什么叫立体图形？
列举生活中常见的立体图形。
2.什么叫平面图形？
列举生活中常见的平面图形。
题 西 林 壁
---苏轼
横看成岭侧成峰，远近高低各不同.
不识庐山真面目，只缘身在此山中.
想一想：
“横看成岭侧成峰”
一句中,蕴含了怎样的数学道理?
T26M坦克实物
摩托车
对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形
来研究和处理.从不同方向看立体图形,往往会得到不同形
状的平面图形.在建筑、工程等设计中,也常常用从不同方
向看到的平面图形来表示立体图形.
这是一个工件的立体图,设计师们常常画出从不同方
向看它得到的平面图形来表示它.
阅读课本124页，并回答下列问题：
1.视图来自于————，投影分为————投影和————
投影。 视图是一种特殊的————投影。
2.从正面得到的投影，称为——————；
从上面得到的投影，称为——————；
从侧面得到的投影，称为——————；
依据投影方向的不同，侧视图分为————视图和
————视图。
通常将————、——————与————————-------称做
一个物体的三视图。
投影 中心 平行
平行
主视图
侧视图
俯视图
左
右
主视图 俯视图 左（或右）视图
从正面得到的投影
从上面得到的投影
从侧面得到的投影,
立体图形的三视图：主视图、俯视图、侧视图
主视图：
俯视图：
侧视图：
分左视图和右视图
3.（1）正方体的三视图都是——————形，
并且三个————形的大小完全——————。
（2）圆柱体的———图和———图都是———形，
两个———形的大小完全——----。———图是———。
（3）圆锥的———图和———图都是————形，
且这两个———形的大小完全———。俯视图是
带————的————。
正方
正方 一样
主视 侧视 长方
长方 一样 俯视 圆
主视 侧视 三角
三角 一样
圆圆心
阅读课本125—126页，并回答下列问题：
例1 画出如图4.2.7和图4.2.8所
示的正方体和圆柱体的三视图。
图4.2.7 图4.2.8
主
视
图
正方体的三视图都是正方形.
俯
视
图
左
视
图
注意三视图位置
的摆放！
且三个正方形的大小完全一样
圆柱的主视图和左视图都是长方形，两个长方形
大小完全一样，俯视图是圆。
主视图 左视图
俯视图
注意三视图位
置的摆放！
若是一个横放的
圆柱，三视图又
该怎样呢？
横放圆柱的三视图：
主
视
图
俯
视
图
左
视
图
若是一个平放的
圆柱，三视图又
该怎样呢？
平放圆柱的三视图：
主
视
图
俯
视
图
左
视
图
那么圆锥的
三视图又该
怎样呢？
例2 画出如图4.2.11的圆锥的三视图：
主
视
图
俯
视
图
左
视
图
圆锥的主视图和左视图都是三角形，两个三
角形的大小完全一样。俯视图为带圆心的圆.
若是一个倒放的
圆锥，三视图又
该怎样呢？
倒圆锥的三视图.
主
视
图
左
视
图
俯
视
图 那么三棱锥
的三视图又
该怎样呢？
正三棱锥的三视图：
主
视
图
俯
视
图
左
视
图
注意:画三视图时看得见的线都要画上去.
正四棱锥的三视图：
正
视
图
俯
视
图
左
视
图
注意：棱锥俯视
图正方形两对角
线不能漏！
那么球体的
三视图又该
怎样呢？
主视图
俯视图
左视图
球体的三视图. 球体的三视图为三个
大小完全一样的圆
1.你能画出下列立体图形的三视图吗?.
（ ）
2.观察下面三个平面图形分别是下面立体图形的
哪个视图？
（ ）主视图
俯视图 （ ）左视图
3.下面是由四个相同的长方体堆成的物体，指出下
列平面图形分别是此物体的哪个视图.
（ ）
（ ）主视图
俯视图（ ）左视图
画左视图 画主视图 画俯视图
4.根据要求画出下列立体图形的视图
5.由4个相同的小立方块搭成如图所示的几何体.请画
出它的三视图.
主视图 侧视图
俯视图
从上面看
从左面看
从正面看
主视图 左视图 俯视图
6.画下列立体
图形的三视图
这节课我们主要学习了从不同方向看立体
图形得到平面图形。
回顾学习过程，谈一谈自己有哪些学习成果.
1.什么是三视图？
2.什么是正视图、左视图、俯视图？
3.画三视图的原则是什么？
你还有什么不明
白的地方吗？
甲 丙
乙
丁
画出如图所示正方体的三视图
正
视
图
解：正方体的三视图都是正方形.
俯
视
图
左
视
图
例3 如图所示的是一些立体图形的三视图，
请根据视图说出立体图形的名称。
（1）
正
视
图
左
视
图
俯
视
图
（2）
正
视
图
左
视
图
俯
视
图 下面这种情况你
能解决吗？
正
视
图
左
视
图
俯
视
图
圆柱 四棱锥
正视图 左视图
俯视图 俯视图
正视图左视图
（1）
（2）
思考： 下面是一些立体图形的三视图，请根
据视图说出立体图形的名称。
下面所给的三视图表示什么几何体?
读图时，无法根据某一个视图确定其空间
形状，因此必须将有关视图联系起来分析，找
出各个视图之间的关系，从而把握整个立体图
形的形状。
1.一个物体的三视图如下图所示，试举例
说明物体的形状。
正
视
图
左
视
图
俯
视
图
2.如图是一个物体的三视图，试说出物体的形状。
正
视
图
左
视
图
俯
视
图
3.如图是一个物体的三视图，试说出物
体的形状。
正
视
图
左
视
图
俯
视
图
1、如图是一个物体的三视图，试说出
物体的形状
（1）
正视图 左视图
俯视图
（2）
正
视
图
左
视
图
俯
视
图
3、如图所示的三棱柱的三视图是（ ）。
A、三个三角形
B、两个长方形和一个三角形
C、两个长方形和一个三角形，且长方
形的有一条连接对边中点的线段。
C
正
视
图
左
视
图
俯
视
图
4、下面是某个立体图形的三视图，则该
立体图形的名称是 。三棱柱
1、如图是一个物体的三视图，试描述该
物体的形状。
正
视
图
左
视
图
俯
视
图
2.下面所给的三视图表示什么几何体?
正视图 左视图
俯视图
3.如图是一个物体的三视图，试说出物体的形状。
正
视
图
左
视
图
俯
视
图
正视图 左视图 俯视图
4.下列是一个物体的三视图，请描述出它的形状
3
2
1
5.由几个相同的小立方块搭成的几何体的俯视图如
图所示。方格中的数字表示该位置的小方块的个数.
请画出这个几何体的三视图。
主视图 左视图 俯视图
6.下列是一个物体的三视图，请描述出它的形状
7.一个物体由几块相同的正方体叠成，它的三
个视图如图所示，试 回答下列问题：
（1）该物体共有多少层？
（2）最高部分位于哪里？
（3）一共需要几个小正方体？
正
视
图
右
视
图
俯
视
图
3层
左侧最后一排
13个
怎样根据三视图描述物体的形状呢？
一般先从俯视图结合正视图推测原物
体的大体轮廓，再由侧视图展开联想。要尽
可能准确地运用“长对正，高平齐，宽相等”
的原则，使物体现出庐山真面目！
1.常见的立体图形有那些？常见的平
面图形有那些？
2.生活中很多图案都由简单的几何图
形构成,我们也有能力设计美观、有
意义的图案.
蚊子
●
●
壁虎
一面长方形的墙壁，壁虎在下方，蚊
子在上方，饥饿的壁虎想尽快的吃掉上
方的蚊子，该走哪条路最近呢？
有一天壁虎在圆桶的下方,发现上方
有一只蚊子，饥饿的它要想尽快吃到蚊
子，应该走哪条路最近呢？
● 蚊子
壁虎 ●
●
壁虎
蚊子
●
● 蚊子
壁虎 ●
多面体是由平面图形围成的立体图
形,沿着多面体的一些棱将它剪开,可以
把多面体展开成一个平面图形.
下面我们就来讨论一些简单多面体的
展开图。
思考猜测
你还记得下面立体图形的平面展开
图是什么?
展开
圆
柱
展开
圆锥
展开
长方体
长
方
体
长方体的展开图
侧
面
侧
面
侧
面
侧面
底面
底
面
侧
面
侧
面
侧
面
侧
面
底面
底面
发现规律：
1.沿多面体的棱将多面体剪开成平面图形,若
干个平面图形也可以围成一个多面体.
2.同一个多面体沿不同的棱剪开,得到的平面
展开图是不一样的,就是说:同一个立体图形可
以有多种不同的展开图.
下列图形是哪些多面体的展开图？
1)
3)2)
正方体 长方体
四棱锥 三棱柱
试试看：下面4个图是一些多面体的
表面展开图,你能说出这些多面体的
名字吗?
1、观察上面的11种正方体的展开图有没有什么规律？
2、小组讨论这些正方体展开图可以分为几类？哪几号展
开图可以分为一类,为什么?
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11
分一分：
蓝
黄
红
巧记正方体的展开图口诀 :
“一四一”“一三二”，
“一”在同层可任意,
“三个二”成阶梯,
“二个三”“日”相连,
异层必有“日”，
“凹”“田”不能有，
掌握此规律，运用定自如。
1、右图需再添上一个面，折叠后才能
围成一个正方体，下面是四位同学补
画的情况（图中阴影部分），其中正
确的是（ ）
A ． Ｂ ． Ｃ ．
Ｄ．
B
2、如图所示的纸板上有10个无阴影的正方形，
从中选出一个，与图中5个有阴影的正方形一起
折一个正方体的包装盒，有多少种不同的选法。
共有四种不同的选法
l
S T
P H R U V
M N Q
Z Y
W K
3，如图，这是一个正方体的展开图，如果
将它组成原来的正方体，哪些点与点P重合。
与P点重合的有：V，T
5
6
4
32
FE
A B C
1 祝
你前
程似
锦
D
4.下面图形中，哪些是正方体的平面展开图？
5. 如图是一个正方体纸盒的展开图，请在图
中的6个正方形中分别填入1、2、3、-1、-2、-3，
使展开图沿虚线折叠成正方体后相对面上的两个
数互为相反数。
1
2 5
2
1
4
4
6
1
6. 有一正方体木块，它的六个面分别标上数字
1——6，下图是这个正方体木块从不同面所观察
到的数字情况。请问数字1和5对面的数字各是多
少？
5----4 1----3
7. 下面几个图形是一些常见几何体的展开图，
你能正确说出这些几何体的名字么？
圆锥 四棱锥 长方体 三棱柱
三棱锥 三棱柱 正方体 圆柱
本节课你收获了什么?
能谈一谈立体图形与平面图形的
关系?
圆锥 四棱锥 长方体 三棱柱
三棱锥 三棱柱 正方体 圆柱
1.观察上面5张图片，你能说出它们的表面形状吗?
2.请观察下面的6张图片,你能说出它们的形状吗?
3.仔细观察下面哪些图形是封闭的？
不是 是
是
是 是 是
请你说一说：以下几个封闭图形由什么线围成的？
B C
D E
A
F
由线段围成的封闭图形叫做多边形.
注意：由于圆是由曲线围成的封闭图形，
所以圆不是多边形.
按照组成多边形的边的个数，多边形可分为：
三角形、四边形、五边形、六边形…
B
C D E
A
四边形
三角形
六边形
八边形五边形
思考： 最基本最简单的多边形是
________。三角形
从多边形的一个顶点出发可把这
个多边形分成几个三角形？
数一数：
四边形：
五边形：
六边形：
从多边形某边上的一点可把这个多边
形分成几个三角形？
探索1：
四边形：
五边形：
六边形：
·
·
·
从多边形上的内部一点出发可把这个
多边形分成几个三角形？
探索2：
四边形：
五边形：
六边形：
·
·
·
三角形 四边形 五边形 六边形 … n边形
从一个顶点出发 …
从某边一点出发 …
从内部一点出发 …
分成
三角形个数
2 31 4 n-2
5432 n-1
n4 5 63
归纳：
本节课我们学习了平面图形这一节内
容,讨论了多边形的识别及分类，并了解
了多边形分割为三角形的规律.通过平面
图形的学习，我们既认识了形形色色的
平面图形，同时学会了如何利用简单图
形设计漂亮的图案，体现了数学的实质
即数学来源于生活，数学服务于生活.
下面平面图形是否是多边形？并说明理由.
判断1：
A
B C
D FE
下面平面图形哪些是四边形？并说明
理由。
判断2：
A B C D
FE G H
3.一个二十五边形，
从一个顶点出发可以分割成_______
个三角形；
从内部一点出发可以分割成_______
个三角形；
4.从十八边形的某边一点出发至少可以分
割成 个三角形.
23
17
25
5.请你画一画：
请你以给定的图形“ ”
（两个圆、两个三角形、两条直线）为构
件，构思出独特且有意义的图形，并写出
一两句贴切、诙谐的解说词.
如：
电灯 三毛的哥哥二毛
1.几何图形
2.立体图形
3.平面图形
图（1）城市的位置地图
（2）北斗七星的位置
图（1）城市的位置地图
（2）北斗七星的位置
我们都是用点表示的，通过以上两
副图，我们知道：
点可以用来表示一个物体的位置
1.想一想
日常生活中，哪些物体是给我们点的印
象？哪些是给我们线段的印象？
（点A，点B） （线段a）（线段AB）
a
A B
A B
从学生举的例子中可得：线段有两个端点
2.试一试
如图，从A地到B地有三条路径，聪明的你会选
择哪一条？
在实际生活中，我们都希望走的路越短越好，当
然选择笔直的路线。这条路线就是线段AB。也就
是我们平时所说的：两点之间，线段最短。
3 .猜一猜
如图，有一圆筒，蚂蚁在A处，有一食物在B处，
蚂蚁会从哪一条路径去吃它的食物呢？
A
C
A
CB
D
1、通过线段的学习，我们来学学射线、直
线
（1）举一些实际生活中的例子
（2）它们表示方法 把线段向一方无限延伸所
形成的图形叫做射线。
把线段向两方无限延伸所
形成的图形叫做直线。
2、 如图：射线OA与射线OB是同一条
射线吗？射线OB与射线AB是同一条射线
吗？射线OA与射线AO是同一条射线吗？
在纸上画出一个点A和一个点B，经过A你能画出几条
直线？经过A、B两点画直线，你又可以画出几条？
3.试一试
可得：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。
即两点确定一条直线。
思考：在纸上有A、B、C三点，
过其中任意两点画一条直线，
最多可以画几条？
1.总结归纳：
线段、射线、直线的区别和联系
区别：
直线无端点，长度无限，向两方无限延伸．射
线只有一个端点，长度无限，向一方无限延
伸．线段有两个端点，长度有限．
联系：
射线、线段都是直线的一部分，线段是直线的
有限部分．
2.由学生填写下表，归纳以上知识．
图 形 有几个端点 向几个方向延伸
线段
射线
直线
两个
一个
无
不能延伸
一个
两个
1、图中有三点，按下列语句画图
（1）画直线AB （2）画射线AC
（3）连结BC
2、下图的直线上各有哪几条线段
3、按下图填空
（1）点O在直线AB______
（2）点B在射线AB____
（3）点A是线段AB的一个_____
4、请举出生活中运用“两点之间线段最
短”的几个例子。
5、选做题：在同一平面内的四个点，过
两点画直线最多可以画几条？五个点呢？
你从中得到什么规律？
6.要在墙上钉牢一根木条，至少要钉几
颗钉子？为什么？
1.直线、射线、线段的定义
2.直线、射线、线段之间的关系
3.直线、射线、线段的表示方法
还记得你
和同学是怎
样比较个子
高矮的吗?
请说出你的
想法
问题1：
老师手里的纸上有一条线段，你能在你
的本上作出一条同样大小的线段来吗？
a
问题2：
黑板上有两条线段，你能判断一下它们的
长短吗？你有什么方法来验证你的判断？
1.度量法
2.叠合法（叠合法要注意什么问题？）
a b
A(C) B D
图1
A(C) BD
图2
A(C) B(D)
图3
判断线段AB和CD的大小.
（1）如图1，线段AB和CD的大小关系是AB CD；
（2）如图2，线段AB和CD的大小关系是AB CD；
（3）如图3，线段AB和CD的大小关系是AB CD.
＜
＞
＝
问题3:
如图，线段AB和AC的大小关系是怎样的？线
段AC与线段AB的差是哪条线段？你还能从图中
观察出其他线段间的和、差关系吗？
A B C
(1) AB＜AC
(2) AC－AB＝BC
AC－BC＝AB
BC＋AB＝AC
问题4:
如图，已知线段a和线段b，怎样通过作图得到a
与b的和、a与b的差呢？
b
a
BC
a
b
A PB C
a b
A P
AC＝a＋b CB＝a－b
如图，已知线段a，求作线段AB＝2a.
a
B C
a
A P
AC＝2a
a
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条
线段的中点。上图中，点B是线段AC的中点，可以
写成AB=BC= AB,或AB=2AC=2BC.2
1
M N
类似于数，线段页可以相加减。
如图，AB=6cm，点C是线段AB的中点，点D是
线段CB 的中点，求线段AD的长度？
·
A C D B
·
如图，已知线段a、b，画一条线段使它等于2a－b.
a b
(1) (2) (3)
估计下列图形中AB、AC的大小关系，再用刻度
尺或圆规检验你的估计.
A
B
C
A AB B
C C
这节课你学到了什么？
画一条线段等于已知线段
线段比较大小
线段的和、差、分点（中点）
（1）重叠法—从“形”的角度比较
（2）度量法—从“数值”的角度比较
1、线段长度的比较方法：
线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，
叫做这条线段的中点。
2、线段中点
几何表示法 ABCBAC
2
1
或 AB=2AC=2CB
A CB D
解：∵ 点C是线段AD的中点
∴AD=2AC=10
∴AB=AD-BD =10-6 =4cm
即 线段AB的长是4cm
练习1：如图，B、C为线段AD上的两点，点C为
线段AD的中点，AC=5cm,BD=6cm,求线段AB的长度？
A BM NP
线段PB=________.AM=_______.BM=_______28cm 40cm 40cm
线段PM=________.AP=_______.AN=_______12cm 52cm 66cm
练习2：已知线段AB=80cm，M为AB的中点，P在MB
上，N为PB的中点，且NB=14cm。
2、A、B、C在同一条直线上，若AB=4cm，
BC=2cm，求线段AC的长度。
1、 在直线L上顺次取A B C三点，使得
AB=4cm,BC=3cm,如果O 是线段AC的中点，
求线段OB的长度。
图形 表示方法 端点个数 延伸方向
线段
射线
直线
1.填表：
线段AB
或线段a
射线AB
或射线a
直线AB
或直线a
两个
一个
0个
不向任何一方延伸
向一方无限延伸
向两方无限延伸
2.下图中共有几条线段？
我们知道，线段是一种基本的几何图
形，角也是一种基本的几何图形．在小
学我们已经对角有些粗浅的认识，本节
课在已有的知识基础上，我们将对角作
进一步的研究．
现实有关角的实物
角
是
怎
样
构
成
的?
1.角:有公共端点的两条射线组成的图形叫
做角.公共端点叫角的顶点，两条射
线叫角的边.——角的静态定义.
顶点
射线
射线
边
边
通过以上生活中的实例以及小
学对角的认识，根据你的理解，如
何定义一个角？
2.角也可以看做一条射线绕端点旋转
所组成的图形——角的动态定义。
B
B
O B
如图，如何表示这个角？
（1）用三个大写字母：
∠AOB 或∠BOA ；
A
O B
注意:
1.用三个大写字母表示时，
中间字母是顶点字母；
2.用一个大写字母表示时，
顶点处只能有一个角.
或用一个大写字母：∠O．
角用符号“∠”来表示.
角的表示：
C
∠ BOC能记作
∠O吗？为什
么？
角的表示：
（2）用一个数字加弧线表示：
1
α
（3）用一个小写希腊字母加弧线表示：
∠1
∠α
注意：这两种方法必须在图上标
注后才能使用,并且只能表示单独
的一个角.
A
O B
C1
能把 AOB
记作∠ 1吗？
为什么？
O A
B
3）射线 OA绕点O 旋转360度后，回到原来的位置
时,所成的角叫做 。
OB A
2）射线 OA绕点O旋转180度后，终边OB和始边 OA
成一直线时，所成的角叫做 ;
3.特殊角的类型
1）射线 OA绕点O 旋转90度
后,终边OB和始边 OA垂直时,
所成的角叫做 。 O A
B
平角
直角
周角
4.把一个周角360等分，每一份就是1
度的角，记做1°.除了“度”之外，
还有其它的度量单位吗？
1°的60分之一为1分，记作1′，即1°＝60′
1′的60分之一为1秒，记作1″，即1′＝60″
角的度、分、秒是60
进制的，这和计量时间的
时、分、秒是一样的.
5.如图,已知∠AOB，用量角
器量出它的度数.
A
O B
1.对中——角的顶点对量角器的中心;
3.读数——读出角的另一边所对的度数.
2.重合——角的一边与量角器的零线重合;
用量角器度量角的方法:
例1 （1）把18°15′化成用度作单位的角。
（2）把93.2°化成用度、分、秒表示。
想一想：
18°15′和18.15°相等吗？
（为什么？）哪一个比较大？
6.方位角：
有时以正北、正南方向为基准，描述物
体运动的方向.
表示方向的角（方位角）在航行、测绘
等工作中经常用到.
例2 如图，OA是表示北偏东30°方向的
一条射线。
西 东
北
南
O
A
30°
仿照这条射线，画出
表示下列方向的射线。
（1）南偏东25°。
（2）北偏西60°。
25°
60°
角
有公共端点的两条射线
组成的图形
一条射线绕着它的端点
旋转而成的图形
用三个大写字母或
一个大写字表示.
用一个数字表示
用一个希腊字母表示
角的定义
角的表示
方法
1. 判断下面各角的表示方法是否正确.
A
B C
A
B C
A
B C
A
B C
A
B C
∠ACB ∠B∠ABC∠CAB ∠A
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）× × × √ √
2. 下面表示∠DEF的图是( )
E
D
E F
（1）
E
D F
（2）
D
E F
（3）
D
EF
（4）
（3）
3. 请你把图中用数字表示的角改为用
字母表示的角.
4．如图，点O是直线AB上任意一
点，OC、OD、OE是三条射线，
图中共有几个小于平角的角？
9个
1. 1小时= 分， 1分= 秒.
2. 3.3小时= 小时 分，
2小时30分= 小时.
3. 1°= ′，1′= ″.
4. 0.75°= ′= ″，
34.37°= ° ′ ″.
5. 1800″= °，39°36′= °.
60 60
3 18
2.5
60 60
45
34 22 12
0.5 39.6
2700
5.填一填：
3. 如图，已知线段AB、CD,你有哪些办法
比较它们的大小？
1.叠合法 2.度量法
1．角是怎样形成的图形？
2．请同学们回忆一下，前面我们学习了
线段的哪些内容？
类比线段大小的比较，你认为该如何比较两个
角的大小？试着画图来解决.
1.度量法 ∠ABC ＞∠DEF
B
C
A
FE
D
70° 30°
2.叠合法
步骤：
1. 将两个角的顶点及一边重合,
2. 两个角的另一边落在重合一边的同侧,
3.由两个角的另一边的位置确定两个角的
大小.
A
D(B)
C
P(O)
如图，∠AOB和∠CPD的大小
关系就明显了，可记为：
∠AOB＜ ∠CPD
或∠CPD ＞ ∠AOB
想一想：在放大镜下，一个角变大了吗？
30°、45°、60°、90°、15°、75°、
105°、120°、135°、150°、 180°
3.如图，借助三角尺画出15°，75°的
角。
利用三角板
还可以画出哪
些度数的角？
4.操作：
如图，∠AOB是已知角，试用圆规
和直尺准确地画一个角等于∠AOB。
O
A
B
O
∠AOC=∠AOB ∠BOC+
O A
C
B
5.角的和差
如图，图中共有几个角？它们之间有
什么关系？
∠AOB=∠AOC ∠BOC-
∠BOC= ∠AOC ___∠AOB-
D
C
B
AO
∠AOC=∠AOB+∠＿＿
∠BOD=∠COD+∠＿＿
∠AOC=∠AOD-∠＿＿
∠BOD=∠＿＿-∠＿＿
BOC
BOC
COD
AOBAOD
填空
6.角平分线
如图，如果∠AOB=∠BOC，
A
B
C
O
从角的顶点引出的一条射线，把这个
角分成两个相等角，这条射线叫做这个
角的平分线.
类似地，还有角的
三等分线等……
αα
α A
B
C
D
O
OB、OC是∠AOD的三等分线。
那么射线OB叫做∠AOC的角
平分线。
例1.如图，OB平分∠COD，∠AOB=90°，
∠AOC=125°，求∠COD的度数。
∠BOC=
∴∠BOD=∠BOC =35°
∴∠COD=35°×2=70°
D
B
C
O
A∠AOC-∠AOB
=125°-90°
解：
=35°
∵OB平分∠COD
例2.如图，OC平分∠AOD,∠BOD=2∠AOB.若
∠AOD=114°，求∠BOC的度数？
A B
C
DO
=57°-38°=19°
解：
57
2
1 AODAOC
38
3
1 AODAOB
AOBBOD 2
AODOC 平分
AOBAOCBOC
如图∠AOB=∠COD=900，
∠AOD=1460，∠BOC= .340
O
D
C
B
A
练习一
如图，OD平分∠AOC，OE平分∠COB，
①如∠AOC=70°,∠COB=40°,∠DOE= .
②如果∠DOE=n°，则∠AOB= .
D
B
AO
C
E
（2n）°
55°
练习二
已知O为直线AB上一点，OE平分∠AOC，
OF平分 ∠COB,则∠EOF= .
A B
E
C F
O
练习三
90°
O A
BC
D
如图：∠AOC=∠BOD=90°
⑴已知∠BOC=20 °,则∠AOD= .160 °
⑵已知∠AOD=150 °，则∠BOC= .30 °
练习四
图中∠1=∠2,试判断∠BAD和∠EAC的大小, 并说明
理由.
AB
C
D
E
1
2
∠BAD=∠EAC解：
理由是：
∵∠1=∠2
∴∠1+∠3=∠2+∠3
即∠BAD=∠EAC
3
练习五
1.角的大小比较方法（叠合、度量）。
2.角的和差关系。
3.角的平分线的性质。
4.画一个角等于已知角
本节课你有什么收获？
1.你能用一副三角板画出哪些角？
2.什么叫做角的平分线？
如左图所示，打台球时，选择适当的方向用白
球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时
∠1=∠2.这个问题可以简单地表示为右图.其中
∠EDC=90º，那么各个角与∠1有什么关系？
1 2
A
C
B
E D F
1 2
有的角与∠1的和等于90º，例如（ ） ∠ADC
有的角与∠1的和等于180º，例如（ ） ∠ADF
1
一.余角和补角定义：
1. 如果两个角的和等于90º（直角），
就说这两个角互为余角，简称互余。
即其中每一个角是另一个角的余角.
如果两个角的和等于180º（平角），就
说这两个角互为补角，简称互补。
即其中一个角是另一个角的补角.
1）.定义中的“互为”是什么意思？
2）.把下图中∠1与∠ADF分离并多次变换位置，如
图，这两角还是互为补角吗？
1
A
D F
11
即每一个角都是另一个角的余角（补角）
2.定义剖析：
（1）若∠1与∠2互补，则∠1＋∠2=______.
(2) ∠1=90º－∠2,则∠1与∠2的关系
为___________.
180°
互为余角
3.定义应用
（3）图中给出的各角中，哪些互为余角？
哪些互为补角？
(1)已知∠1与∠2，∠3都互为补角.那么∠2
和∠3的大小有什么关系？
由∠1与∠2和∠3都互为补角，
那么 ∠2＝180º－∠1，
∠3＝180º－∠1，
所以∠2＝∠3.
余角和补角的性质
(2)已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补.若
∠1＝∠3，那么∠2和∠4 相等吗？为什么？
由∠1与∠2互补，得∠1＋∠2＝180º，
所以 ∠2＝180º－∠1.
由∠3与∠4互补，得∠3＋∠4＝180º,
所以∠4=180º－∠3.
又因为∠1＝∠3，180º－∠1＝180º－∠3，
所以∠2＝∠4.
1 2
3
4
同角或等角的余角相等
同角或等角的补角相等
余角的性质
补角的性质
例3 已知：∠A=50°17′，
求：∠A的余角和补角。
解： ∠A的余角=90°- 50°17′=39°43′
∠A的补角=180°-50°17′=129°43′
例 如图，A，O，B在同一直线上,射
线OD和射线OE分别平分∠AOC和
∠BOC，图中哪些角互为余角？
所以∠COD +∠COE＝ ∠AOC+ ∠BOC
解：因为A，O，B在同一直线上,
所以∠AOC和∠BOC互为补角.
又因为射线OD和射线OE
分别平分∠AOC∠BOC，
2
1
2
1
＝ (∠AOC+ ∠BOC)
2
1
＝90°
所以， ∠COD 和∠COE互为余角，
同理， ∠AOD +∠BOE，
∠AOD +∠COE ，
∠COD +∠BOE也互为余角.
互为余角 互为补角
对应图形
数量关系
性 质
12
1
2
∠1+ ∠2 = 90 °∠1+ ∠2 = 180 °
同角或等角
的余角相等.
同角或等角
的补角相等.
（1）若∠1与∠2互余，∠2与∠3互余， 则
_____＝______，根据是＿＿＿＿＿＿＿＿ .
(2)若∠3与∠4互补，∠6与∠5互补，且∠3＝
∠6, 则_____＝______，根据是＿＿＿＿＿＿＿＿
＿＿.
同角的余角相等
等角的补角相等
∠1 ∠3
∠4 ∠5
填空
2.一个角是70º39′，求它的余角和补角
解：它的余角是90º-70º39′=19º21′，
它的补角是180º-70º39′=109º21′.
3.∠α的余角是它的3倍，∠α是多少度？
解：根据题意得，90°- ∠α=3 ∠α
解得， ∠α=22.5°
4.（选做题）一个角的余角比这个角的补
角的 还小10°，求这个角的余角及这个角
的补角的度数.（用两种方法求解）
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