资料简介
第
3
章 圆的基本性质
3.1
圆
观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？
3.1
圆
圆的
定义：
在一个平面内，线段
OA
绕它固定的一个端点
O
旋转一周，另一个端点
A
所形成的图形叫做
圆
．
·
r
O
A
圆心
：
固定的端点
O
叫做圆心
；
半径
：
线段
OA
叫做半径
；
圆的表示：
以点
O
为圆心的圆，记作
⊙
O
，读作“圆
O
”
．
确定一个圆的两个要素
:
圆心
半径
．
圆心确定其位置，
半径确定其大小．
同心圆
等圆
圆心相同，半径不同
半径相同，圆心不同
O
如果车轮不是圆形会是什么样子？
把车轮做成圆形，
车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径
，当车轮在平面上滚动时，
车轮中心与平面的距离保持不变
，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理．
为什么车轮做成圆形的？
动态
：在一个平面内，
动点
A
绕定点
O
旋转一周，点
A
所形成的图形叫做
圆
．
静态
：在一个平面内，所有到定点
O
的距离等于定长
r
的点的集合．
圆的两个观点：
d + h = r
d
h
a
r
有哪些等量关系？
在
a
，
d
，
r
，
h
中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量．
经常是过圆心作弦的
垂线
，或作
垂直于弦的直径
，
连结半径
等辅助线，为应用垂径定理创造条件．
解决有关弦的问题
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
表示：直径AB
·
C
O
A
B
连接圆上任意两点的线段（如图
AC
）叫做
弦
.
表示：弦
AC
弦
弧、弦、圆心角
弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．
表示：以A、B为端点的弧记作
⌒
AB
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
·
C
O
A
B
小于半圆的弧（如图中的 ）叫做劣弧；
⌒
AC
大于半圆的弧（用三个字母表示，
如图中的 叫做
优弧
.
ABC
⌒
弧有三类，分别是优弧、劣弧、半圆。
等弧
:
在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧．
记作：
B
O
A
C
D
AB
=
CD
注意：弧等含义：弯度相同，长度相等
写出下图中的弧和弦．
C
O
A
B
C
O
A
B
D
在⊙
O
中，点
A,E
在圆上
.
四边形
OABC
、
ODEF
都是矩形，则
BC
和
DF
的大小关系为
__________
O
D
B
思路：
(1)
矩形对角线相等;
(2)同圆半径相等。
A
C
E
F
第
3
章 圆的基本性质
3.2
图形的旋转
扇叶
水轮
3.2
图形的旋转
齿轮
地球自转
荡秋千
旋转的运动
（１）上面情景中的转动现象，有什么共同的特征？
（２）钟表的指针、秋千在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生变化呢
？
旋转角
旋转中心
一般的，一个图形变为另一个图形，在运动过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个固定点叫做旋转中心。转动的角度叫旋转角度。
A
o
B
旋转的三要素
旋转中心
旋转方向
旋转角度
将等边△
ABC
绕着点
C
按某个方向旋转
90
0
后得到△
A
/
B
/
C
A
B
C
A
/
B
/
△
ABC
在旋转过程中，哪些发生了变化？
归纳
各点的位置发生变化。
点
A
′
点
A
点
B
′
点
B
点
C
′
点
C
从而，各线段、各角的位置发生变化。
OA=OA′
OB=OB′
OC=OC′
边的相等关系：
AB=A′B′
BC=B′C′
CA=C′A′
对应边相等
△ABC在旋转过程中，哪些没有改变？
角的相等关系：
∠ABC=∠A′B′C′
∠AOA ′=∠BOB ′=∠COC ′
∠BCA=∠B′C′A′
∠CAB=∠C′A′B′
对应角相等
=
旋转角
注：图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同
样大小的角度。
对应点到旋转中心的距离
相等。
对应点与旋转中心所连线段的夹角
等于旋转角。
旋转前、后的图形
全等
。
图形的旋转是由
旋转中心
和
旋转角
决定。
图形的旋转不改变图形的形状、大小，只改变图形的
位置
。
知识要点
旋转的基本性质
有哪些证明方法？
如图，如果把钟表的指针看做四边形
AOBC
，它绕
O
点旋转得 到四边形
DOEF.
在这个旋转过程中：
（
1
）旋转中心是什么
?
（
2
）经过旋转，点
A
、
B
分别移动到什么位置？
（
3
）旋转角是什么？
（
4
）
AO
与
DO
的长有什么关系？
BO
与
EO
呢？
（
5
）
∠
AOD
与∠
BOE
有什么大小关系？
旋转中心是
O
点
D
和点
E
的位置
AO=DO
，
BO=EO
∠AOD=∠BOE
∠AOD
和∠
BOE
都是旋转角
B
A
C
O
D
E
F
旋转的基本性质
（１）旋转不改变图形的大小和形状．
（２）任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角，旋转角相等。
（３）对应点到旋转中心的距离相等.
平移和旋转的异同：
1
、相同：都是一种运动；运动前后 不改变图形的形状和大小
2
、不同
运动方向
运动量的衡量
平移
直线
移动一定距离
旋转
顺时针或逆时针
转动一定的角度
思考
:
图形的旋转是由什么决定的
?
图形的旋转是由旋转中心和
旋转的角度决定
.
在平面内，将一个图形绕着一个
定点
沿某个方向
转动一个角度
，这样的图形运动称为
旋转
旋转的概念：
旋转的性质：
1
、旋转不改变图形的大小和形状．
2
、任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角，旋转角相等．
3
、对应点到旋转中心的距离相等
第
3
章 圆的基本性质
3.3
垂径定理
已知：如图在
⊙
O
中，
CD
是直径，
AB
是弦，
CD
⊥
AB
，垂足为
E
．
求证：
AE
＝
BE
，
AC
＝
BC
，
AD
＝
BD
．
⌒
⌒
⌒
⌒
D
O
A
B
E
C
⑵定理中的弦为直径时，结论仍然
成立
．
⑴垂径定理：垂直于弦的直径
平分
弦，并且平分弦所对的两条
弧
．
从上面的证明我们知道：
注意：⑴垂径定理中的垂径可以是
直径
、半径或过圆心的直线或
线段
，其本质是“过圆心”.
⑵垂径定理也可理解为，如果一条直线，它具有两个性质：①经过
圆心
； ②
垂直
于弦.那么这条直线就
平分
这条弦， 弦
平分
所对劣弧和优弧.
结论改为：②垂直于弦，④平分弦所对的劣弧，⑤平分弦所对的优弧
.
这个命题正确吗？
１
.
垂径定理的条件和结论分别是什么？
条件：
结论：
③平分弦，④平分弦所对的劣弧，⑤平分弦所对的优弧
.
①过圆心，②垂直于弦
.
质疑
2
.
条件改为：
①过圆心，③平分弦
.
①
直径过圆心
③
平分弦 （
不是直径）
②
垂直于弦
④
平分弦所对优弧
⑤
平分弦所对的劣弧
（
1
）
平分弦
（不是直径）的
直径
垂直于弦
，并且
平分弦所对的两条弧
．
垂径定理的推论
D
O
A
B
E
C
已知：
CD
是直径，
AB
是弦（
不是直径）
，
CD
平分
AB
求证：
CD
⊥
AB
，
AD
＝
BD
，
AC
＝
BC
⌒
⌒
⌒
⌒
①
直径过圆心
④
平分弦所对优弧
③
平分弦
②
垂直于弦
⑤
平分弦所对的劣弧
（
2
）
平分弦所对的一条弧
的
直径
，
垂直平分弦
，并且
平分弦所对的另一条弧
．
已知：
CD
是直径，
AB
是弦，并且
AC
＝
BC
求证：
CD
平分
AB
，
CD
⊥
AB
，
AD
＝
BD
⌒
⌒
⌒
⌒
D
O
A
B
E
C
②
垂直于弦
③
平分弦
①
直径过圆心
④
平分弦所对优弧
⑤
平分弦所对的劣弧
（
3
）弦的
垂直平分
线 经
过圆心
，并且
平分弦所对的两条弧
．
已知：
AB
是弦，
CD
平分
AB
，
CD
⊥
AB
，
求证：
CD
是直径，
AD
＝
BD
，
AC
＝
BC
⌒
⌒
⌒
⌒
D
O
A
B
E
C
②
垂直于弦
④
平分弦所对优弧
①
直径过圆心
③
平分弦
⑤
平分弦所对的劣弧
②
垂直于弦
⑤
平分弦所对的劣弧
①
直径过圆心
③
平分弦
④
平分弦所对优弧
（
4
）
垂直于弦
并且
平分弦所对的一条弧
的
直
径
过圆心
，
并且
平分弦和所对的另一条弧
．
③
平分弦
④
平分弦所对优弧
①
直径过圆心
②
垂直于弦
⑤
平分弦所对的劣弧
（
5
）
平分弦
并且
平分弦所对的一条弧
的
直
径
过圆心
，
垂直于弦
，
并且
平分弦所对的另一条弧
．
③
平分弦
⑤
平分弦所对的劣弧
①
直径过圆心
②
垂直于弦
④
平分弦所对优弧
④
平分弦所对优弧
⑤
平分弦所对的劣弧
①
直径过圆心
②
垂直于弦
③
平分弦
（
6
）
平分弦所对的两条弧
的
直
径
过圆心
，
并且
垂直平分弦
．
∴
AM
＝
BM
，
CM
＝
DM
⌒
⌒
⌒
⌒
圆的两条
平行弦
所夹的
弧相等
．
M
O
A
B
N
C
D
证明：作直径
MN
垂直于弦
AB
∵
AB
∥
CD
∴
直径
MN
也垂直于弦
CD
∴
AM
－
CM
＝
BM
－
DM
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
即
AC
＝
BD
A
B
C
D
两条弦在圆心的同侧
两条弦在圆心的两侧
垂径定理的推论
2
有这两种情况：
O
O
A
B
C
D
d + h = r
d
h
a
r
有哪些等量关系？
在
a
，
d
，
r
，
h
中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量．
第
3
章 圆的基本性质
3.4
圆心角
逆定理
1:
平分弦
（不是直径）
的直径垂直于弦
,
并且平分弦所对的弧
.
逆定理
2:
平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
.
垂径定理
:
垂直于弦的直径平分弦
,
并且平
分弦所对的弧
.
复习
.
O
A
B
圆绕圆心旋转
.
O
A
B
圆绕圆心旋转
.
O
A
B
圆绕圆心旋转
.
O
B
A
180°
所以圆是中心对称图形
.
圆绕圆心旋转
180°
后仍与原来的圆重合
。
圆心就是它的对称中心
.
N
O
把圆
O
的半径
ON
绕圆心
O
旋转任意一个角度
，
N
O
N'
把圆
O
的半径
ON
绕圆心
O
旋转任意一个角度
，
N
O
N'
把圆
O
的半径
ON
绕圆心
O
旋转任意一个角度
，
N
O
N'
把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合。
把圆
O
的半径
ON
绕圆心
O
旋转任意一个角度
，
由此可以看出，
点
N'
仍落在圆上。
如图中所示，
∠
NO
N
'
就是一个圆心角。
N
O
N'
定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．
判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
①
②
③
④
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
∠
AOB
=∠
COD
A
B
C
D
o
∵
OA=OC
，
OB=OD
，
∠AOB=∠COD,
∴
当点
A
与点
C
重合时，
点
B
与点
D
也重合。
∴
AB=CD
圆心角定理：
在同圆或等圆中，
相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，
所对弦的弦心距也相等。
弦
AB
和弦ＣＤ对应的弦心距有什么关系？
1°
弧
n°
1°
n°
弧
我们把顶点在圆心的周角等分成
360
份
,
则每一份的圆心角是
1º.
因为在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成
360
份
.
我们把每一份这样的弧叫做
1º
的弧
.
这样
,1º
的圆心角对着
1º
的弧
,
1º
的弧对着
1º
的圆心角
.
n º
的圆心角对着
nº
的弧
,
n º
的弧对着
nº
的圆心角
.
性质
:
弧的度数和它所对圆心角的度数相等
.
已知：
AB
为
⊙O
直径，
AC∥OD
求证：
CD=BD
⌒
⌒
第
3
章 圆的基本性质
3.5
圆周角
圆周角
一、回顾
如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？
顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做
圆心角
.
究竟什么样的角是圆周角呢？
像图（
3
）中的角就是圆周角，而图（
1
）、（
2
）、（
4
）、（
5
）中的角都不是圆周角.
认识圆周角
如何判断一个角是不是圆周角
？
顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做
圆周角
.
练习
:
指出下图中的圆周角.
（
1
）
（
2
）
（
3
）
（
4
）
×
√
×
×
如图，线段
AB
是⊙
O
的直径，点
C
是⊙
O
上任意一点（除点
A
、
B
），
那 么，
∠
ACB
就是直径
AB
所对的圆周角.
想想看，∠
ACB
会是怎么样的角？为什么呢？
探索半圆或直径所对的圆周角的度数
∴
△
AOC
、△
BOC
都是等腰三角形
∠
OAC
＝∠
OCA
，∠
OBC
＝∠
OCB
又 ∠
OAC
＋∠
OBC
＋∠
ACB
＝ 180°
∠
ACB
＝∠
OCA
＋∠
OCB
＝ ＝90°
因此，不管点
C
在⊙
O
上何处（除点
A
、
B
），∠
ACB
总等于90°
证明：因为
OA
＝
OB
＝
OC
，
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于
90°
（直角）.
反过来也是成立的，即
90°
的圆周角所对的弦是圆的直径.
探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系
1
、分别量一量图中弧
AB
所对的两个圆周角的度数比较一下
.
再变动点
C
在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化
.
你发现其中有什么规律吗？
2、分别量出图23.1.10中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么？
（
1
） 折痕是圆周角的一条边，
（
2
） 折痕在圆周角的内部
，
（
3
） 折痕在圆周角的外部.
为了验证这个猜想，如图所示，可将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C，这时可能出现三种情况:
定理的证明
（
1
）圆心在∠
BAC
的一边上。
A
O
B
C
由于
OA=OC
因此∠
C=∠BAC
而∠
BOC=∠BAC+∠C
所以∠
BAC= ∠BOC
1
2
O
A
B
C
（
2
）圆心在∠
BAC
的内部
.
D
O
A
B
C
（
3
）圆心在∠
BAC
的外部
.
D
例
如图，
AB
为⊙
O
的直径，∠
A = 80°
，求∠
ABC
的度数.
A
B
O
解：∵
AB
为⊙
O
的直径
∴∠
C=90°
，
又∠
A=80°
∴ ∠
B=10 °
1
、圆周角的概念
.
顶点在圆上，角的两边与圆相交的角.
2
、圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半.
第
3
章 圆的基本性质
3.6
圆内接四边形
O
C
A
B
D
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形；⊙O为四边形ABCD的外接圆。
若一个四边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个
四边形的外接圆
。
若一个多边形
各顶点都在同一个圆上
，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆
。
O
B
C
D
E
F
A
O
A
C
D
E
B
如图：圆内接四边形
ABCD
中，
∠A＋∠C的和为多少，同理∠B＋∠D的和呢？
C
O
D
B
A
如图：圆内接四边形ABCD中，
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角
∴∠
A
＋∠
C
＝
180°
同理∠
B
＋∠
D
＝
180°
圆的内接四边形的对角互补。
如果延长
BC
到
E
，那么∠
DCE
＋∠
BCD
＝
180°
所以
∠
A
＝∠
DCE
又 ∠
A
＋∠
BCD
＝
180°
C
O
D
B
A
E
因为∠
A
是与∠
DCE
相邻的内角∠
DCB
的对角，我们把∠
A
叫做∠
DCE
的内对角。
圆内接四边形的一个
外角等于它的内对角。
C
O
D
B
A
E
定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
C
O
D
B
A
E
1
2
3
4
5
6
7
你能找出下图各相等或互补的角吗？
例 如图⊙
O
1
与⊙
O
2
都经过
A
、
B
两点，经过点
A
的直线
CD
与⊙
O
1
交于点
C
，与⊙
O
2
交于点
D
。经过点
B
的直线
EF
与⊙
O
1
交于点
E
，与⊙
O
2
交于点
F
。
求证：
CE∥DF
1
2
O
O
F
A
B
E
C
D
1
2
O
O
F
A
B
E
C
D
CE∥DF
1
∠
E
＋∠
F
＝
180°
∠
E
＋∠
1
＝
180°
、∠
1
＝∠
F
四边形
ABEC
是⊙
O
1
的内接四边形
四边形
ABFD
是⊙
O
2
的内接四边形
连结
AB
证明：连结
AB
∵
ABEC
是⊙
O
1
的内接四边形，
∴∠
1
＝∠
F
∵
ADFB
是⊙
O
2
的内接四边形，
∴∠
E
＋∠
1
＝
180°
∴∠
E
＋∠
F
＝
180°
∴
CE∥DF
1
2
O
O
F
A
B
E
C
D
1
1
、如图，四边形
ABCD
为⊙
O
的内接四边形，已知∠
BOD
＝
100°
，求∠
BAD
及∠
BCD
的度数。
A
O
D
B
C
求证：圆内接平行四边形是矩形
。
O
C
D
B
A
已知：如图，四边形
ABCD
是圆的内接四边形并且
ABCD
是平行四边形。
求证：四边形
ABCD
是矩形。
谢谢大家！
第
3
章 圆的基本性质
3.7
正多边形
正多边形和圆
A
B
C
D
E
正多边形：
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形
.
正
n
边形：
如果一个正多边形有
n
条边，那么这个正多边形叫做
正
n
边形
.
三条边相等，三个角也相等（
60
度）
.
四条边都相等，四个角也相等（90度）.
想一想：
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？
弦相等（多边形的边相等）
弧相等
—
圆周角相等（多边形的角相等）
—
多边形是正多边形
⌒
⌒
⌒
1
2
3
A
B
C
D
E
4
⌒
⌒
5
E
F
C
D
.
.
O
中心角
半径
R
边心距
r
正多边形的中心
:
一个正多边形的外
接圆的圆心
.
正多边形的半径
:
外接圆的半径
正多边形的中心角
:
正多边形的每一条边所对的圆心角
.
正多边形的边心距：
中心到正多边形的一边的距离
.
E
F
C
D
.
.
O
中心角
A
B
G
边心距把△AOB分成
2个全等的直角三角形
设正多边形的边长为
a
，半径为
R
，它的周长为
L=na.
R
a
1
、正多边形的各边相等
2
、正多边形的各角相等
正多边形的性质：
3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心.
4、边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
画正多边形的方法
1.
用量角器等分圆
2.
尺规作图等分圆
(1)
正四、正八边形的尺规作图
（
2
）正六、正三 、正十二边形的尺规作图
如图：
已知点
A
、
B
、
C
、
D
、
E
是⊙
O
的
5
等分点，画出⊙
O
的内接和外切正五边形
小结：
1
、怎样的多边形是正多边形？
你能举例说明吗？
2
、怎样判定一个多边形是正多边形？
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形
.
根据正多边形与圆关系的第一个定理
1
、判断题
.
①
各边都相等的多边形是正多边形
.
（ ）
②一个圆有且只有一个内接正多边形
.
（ ）
2
、证明题
.
求证：顺次连结正六边形
各边中点所得的多
边形是正六边形
.
A
B
C
D
E
F
×
×
第
3
章 圆的基本性质
3.8
弧长及扇形的面积
3.8
弧长及扇形的面积
若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长为 ，
则
180
R
n
l
p
=
n°
A
B
O
弧长公式
已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。
=
(cm)
答：此圆弧的长度为
cm
解：
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如下图，由组成圆心角的两条
半径
和圆心角所对的
弧
围成的图形是
扇形
。
半径
半径
圆心角
圆心角
弧
A
B
O
B
A
扇形
z
在半径为
R
的圆中,
n
°的圆心角所对的扇形面积的计算
公式
为
A
B
O
则
用弧长表示扇形面积
为
:
S
R
圆锥的侧面积全面积
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的
,
它的底面是一个
圆
，侧面是一个
曲面
.
问题：圆锥的母线有几条？
准备好的圆锥模型沿着母线剪开，观察圆锥的侧面展开图．
圆锥的侧面积和全面积
问题
:
1
、沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？
2
、圆锥侧面展开图是扇形，
这个扇形的半径与圆锥
中的哪一条线段相等？
c
圆锥的
底面周长
就是其侧面展开图
扇形的弧长
，
圆锥的
母线
就是其侧面展开图
扇形的半径
。
c
2
、圆锥形烟囱帽
(
如图
)
的地面直径是
80cm
，母线长是
50cm,
制作
100
个这样的烟囱
帽
至少需要多少平方米的铁皮？
练习：
思考：如何计算展开图中圆心角的大小？
c
n
o
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