资料简介
第
4
章 一元一次不等式（组）
4.1
不等式
用适当的式子表示下列数量关系
:
1.
甲班有
a
人
,
乙班有
b
人
,
已知甲班比乙班少
1
人
,
怎样表示
a
与
b
之间的关系？
2.
汽车每小时行驶
v
千米
,2
小时后路程超过了
160
千米
,
怎样表示
v
与
160
之间的关系
?
做一做
a=b-1
2v>160
等式：
不等式：
下列问题中的数量关系应该用怎样的式子来表示
:
(1)
如图
,
是公路上对汽车的限速标志
,
表示汽车在该路段行驶的速度
不得超过
40km/h,
用
v (km/h)
表示汽车的速度
,
怎样表示
v
与
40
之间的关系
?
v≤40
(2)
根据科学家测定，太阳表面的温度
不低于
6 000℃
，
设太阳表面的温度为
t
（℃），怎样表示
t
与
6 000
之间的关系？
t≥
6 000
(3)
如图，天平左盘放
3
个质量相等的乒乓球，右盘放
5
g
砝码，设每个乒乓球的质量为
x
（
g
），怎样表示
x
与
5
的数量关系？
3x
＞
5
(4)
如图
,
小聪与小明玩跷跷板
,
大家都不用力时
,
跷跷板左低、右高
,
小聪的身体质量为
p (kg),
书包的质量为
2kg,
小明的身体质量为
q (kg),
怎样表示
p , q
之间的关系
?
q5, v
≤40
这样用
＜，＞，≤，≥，≠
连接而成的数学式子叫做
不等式．
＜，＞，≤，≥，≠
这些符号叫
不等号．
符号
读法
＜
＞
≤
≥
≠
不
大于
不
小于
小于
大于
不
等于
知识
篇
关键词语
不等号
第一类
—
明显
的不等关系
比
…
大
大于
>
小于
< ≤ 至多 不 大于 不 超过 ≥ 不 小于 不 低于 至少 超过 低于 比 … 小 注意 “ 不 ” 字哦！ 1 、判断下列式子哪些是不等式？ 若不是，请 说明理由。 (1)2>0 (2)a
2
+1
＞
0 (3)3x
2
+2x (4)x
＜
2x+1 (5)x=2x-5 (6)a+b≠c
练习
1
(1
)
（
2
）（
4
）（
6
）是不等式
选择适当的不等号填空
(1) 2____3
(2) - ____-3
(3) -a
2
____ 0
(4) a
2
+b
2
____ 0
(5) 若x
≠
y,则-x____-y
＜
＞
≤
≥
≠
(6)
实数
a,b
在数轴上的位置如图
,
则
a+b____
0,b-a____0,
∣a∣
____
∣b∣
a
0
b
＜
＞
＞
试一试
≥
例
1
根据下列数量关系列不等式：
（
1
）
y
的
2
倍与
6
的和比
1
小；
（
2
）
x
2
减去
10
不大于
10
；
（
3
）设
a
，
b
，
c
为一个三角形的三条边长，两边
之和大于第三
边
;
（
4
）
a
是正
数
.
2y+6c
，
a+c>b
，
b+c>a
小结：
1
、确定不等量关系两边的代数式
2
、抓住
关键词
，选准
不等号
再探新知
a>0
1
、小明和小华在探究数学问题
.
小明说
:” 3y
＜
4y .”
小华认为小明说错了
,
聪明的你觉得呢
?
拓展练习
2
、用不等式表示：
（
1
）
a
与
b
的平方和大于
3
（
2
）
x
与
y
差的平方不小于
2
（
3
）
m
与
2
的差是非负数
3
、填空
（
1
）某食品包装袋上标有“净含量
385
克
5
克”，
则
食品的合格净含量
x
的范围是
________
（
2
）写出满足不等式
的
所有
正整数：
______
（
3
）写出满足不等式
的
最小
整数：
______
拓展练习
第
4
章 一元一次不等式（组）
4.2
不等式的基本性质
双
休日，小明进行上网、学习、体育运动的时间分别为
a
小时、
b
小时、
c
小时
.
已知
a
>
>
1
+(-1
)
_
0.5
+(-1)
1
-2
_
0.5
-2
1
-
(-3
)
__0.5
-
(-3)
1
若
a>b
，
则
a
+c
__b
+c
；
a
-c
__b
-c
.
>
>
猜想
b
a
b+c
a+c
c
c
b-c
a-c
b
a
c
c
把
a>b
表示在数轴上，
不妨设
c>0
∴a+c>b+c
∴a-c>b-c
数形
结合、
平移思想
不等式的两边都加上（或都减去）
同一个数
，所得到的不等式仍成立
.
如果
a
＞
b
，那么
a+c
＞
b+c
，
a-c
＞
b-c
；
如果
a
＜
b
，那么
a+c
＜
b+c
，
a-c
＜
b-c.
即
选择适当的不等号填空，并说明理由
.
>
≥
≥
≤
温馨提示：在不等式的基本性质中，
a
、
b
、
c
代表的可以是数字、字母，还可以是多项式。
比较大小
8
＿＿
12
8×4
＿＿
12×4
8÷4
＿＿
12÷4
8×(
－
4)
＿＿
12×(
－
4)
8÷(
－
4)
＿＿
12÷(
－
4)
＜
＜
＜
＞
＞
想一想：从上面的变化
,
你
发现了什么
?
探索学习
猜想
如果
a
＞
b
，且
c
＞
0
，
那么
ac
＞
bc
， ＞ ；
如果
a
＞
b
，且
c
＜
0
，
那么
ac
＜
bc
， ＜
.
不等式的两边都乘（或都除以）
同一个正数
，
所得的不等式仍成立
;
不等式的两边都乘（或都除以）
同一个负数
，必须
改变不等号的方向
，
所得的不等式成立
.
如果
a
＞
b
，且
c
＞
0
，那么
ac
＞
bc
，
＞
；
如果
a
＞
b
，且
c
＜
0
，那么
ac
＜
bc
，
＜
.
即
选择适当的不等号填空，并说明理由
.
>
>
>
等式
不等式
基本性质
1
基本性质
2
基本性质
3
若
a
＜
b
，
b
＜
c
，则
a
＜
c
如果
a
＞
b,
那
么
a+c
＞
b+c
，
a-c
＞
b-c
如果
a=b,
那么
a+c=b+c,a-c=b-c
若
a=b,b=c,
则
a=c
等式与不等式的基本性质的区别与联系
特殊值法
:
设
a=-1
，则
2a=-2.
∵-2
＜
-1
，
∴
2a
＜
a.
例
1
已知
a
2.
解下列不等式：
（
1
）
3
x
-1
>
2(2-5
x
)
；
（
2
）
.
解
（
1
） 原不等式为
3
x
-1
> 2(2-5
x
)
去括号，得
3
x
-1
> 4-10
x
移项，得
3
x
+10
x
> 1+4
化简，得
13
x
> 5
两边同除以
13
，
x
>
（
2
） 原不等式
为
去分母，得
2(
x
+2
)≥ 3(2
x
-3)
去括号，得
2
x
+4
≥
6
x
-9
移项，得
2
x
-6
x
≥ -4-9
化简
，得
4
x
≥ -13
两边同除以
-4
，得
x
≤-
一个不等式的解集常常可以借助数轴
直
观地表示出来
.
先在数轴上标出表示
2
的点
A
则点
A
右边所有的点表示的数都大于
2
，而点
A
左边所有的点表示的数都小于
2
因此可以像图那样表示
3
x
>6
的解集
x
>2.
动脑筋
如何在数轴上表示出不等式
3
x
＞
6
的解集呢？
容易解得不等式
3
x
＞
6
的解集是
x
＞
2.
0
1
2
3
4
5
6
-1
A
把
表示2 的点
Ａ
画成空心圆圈，表示解集不包括2
.
例
2
解
不等式
12-6
x
≥
2(1-2
x
)
，并把它的解集
在数轴
上表示
出来
.
举
例
解
首先将括号去掉
去括号，得
12
-6
x
≥
2-4
x
移项，得
-
6
x+
4
x
≥
2-12
将同类项放在一起
合并同类项，
得
-
2
x
≥
-10
两边都除以
-2
，得
x
≤ 5
根据
不等式的基本
性质
2
原不等式的解集在数轴上表示如
图
.
-
1
0
1
2
3
4
5
6
解集
x
≤5
中包含
5
，所以在数轴上将表示
5
的点画成实心圆点
.
举
例
解
解这个不等式，
得
x
≤ 6
x
≤6
在数轴上表示如图所示：
-
1
0
1
2
3
4
5
6
根据题意，得
x
+2
≥
0
所以当
x
≤6
时，代数式
x
+2
的值大于或等于
0.
由图可知，满足条件的正整数有
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6.
例
3
当
x
取什么值时，代数式
x
+2
的值大于或等于
0
？求
出所有满足条件的正整数
.
练习
1.
解下列不等式，并把它们的解集
在数轴上
表示出来：
（
1
）
4
x
-3
< 2 x +7 ； （ 2 ） . 解 （ 1 ） 原不等式为 4 x -3 < 2 x +7 移项，得 4 x -2 x < 3+7 化简，得 2 x < 10 两边同除以 2 ，得 x
-2
解得
y
> 3
解
-
1
0
1
2
3
4
5
中考 试
题
例
1
去分母，得
6+3
x
≥4
x
+2.
移项、合并
同类项，得
x
≤4.
所以正整数
解为
1
，
2
，
3
，
4.
解
求
不等式
的
正整数解
.
首先求出不等式的
解集
，
然后
求出正整数解
.
分析
中考 试题
例
2
已知
且
x
>
y
，则
k
的取值范围是
.
分析
①×3-②×2
，得
x =
7
k
+5
.
③
将③代入①
，
得
3(7
k
+5
)-2
y
=3
k
+1.
化简，整理，得
y
=9
k
+7.
∵
x > y
，
∴
7
k
+5>9
k
+7.
解得
k
b,c>0
，那么
ac>bc(
或
a/c>b/c)
如果
a>b,c190
x
>
在本题中，
x
应是
___
数而且不能超过
____
，所
以小
明至少要答对
____
道题。
20
整
13
3
.
某种
彩电出厂价为每台
1 800
元，各种管理费约为出厂价的
12
%
，商家零售价为每台多少元时，才能保证毛利率不低于
15%(
精确到
10
元
)?
分析
:
本题要清楚两个基本公式
:
出厂价
+
管理费
=
成本
;
解
:
设每台零售价为
x
元
,
则成本价为
1 800+1 800 12
%
由
题意，得
解得
x
≥
2 318.4
(
精确到
10
元
)
，
取
x=2 320.
答
:
当
零售价为
2 320
元
时，商家
毛利率不低于
15
%.
自我挑战
1.
已知关于
x
的不等式
(a+1)x
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