资料简介
第一章 勾股定理
1
探索勾股定理
情境引入
勾股定理，我们把它称为世界第一定理．
首先，勾股定理是数形结合的最典型的代表；
其次，正是由于勾股定理得发现，导致无理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一点，我们将在
《
实数
》
一章里讲到；
第三，勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完整的解答的最早的不定方程，最为著名的就是费马大定理，直到
1995
年，数学家怀尔斯才将它证明．
1
．勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为
a
，
b
，斜边为
c
，那么
__________ .
2
．勾股定理各种表达式：
在
Rt
△
ABC
中，∠
C
=90°
，∠
A
，∠
B
，∠
C
的对边也分别为
a
，
b
，
c
，则
c
=_________
，
b
=_________
，
a
=_________.
知识要点
知识要点
3
．勾股定理的逆定理：
在△
ABC
中，若
a
、
b
、
c
三边满足
___________
，则△
ABC
为
___________.
4
．勾股数：
满足
________
的三个
________
，称为勾股数
.
5
．几何体上的最短路程是将立体图形的
________
展开，转化为
_________
上的路程问题，再利用
___________
两点之间，
___________,
解决最短线路问题
.
6
．直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？
（教师引导，小组讨论、总结）
7
．举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形．
（教师引导，小组讨论、总结）
合作交流
8
．通过回顾与思考中的问题的交流，由同学们自己建立本章的知识结构图．
（小组内展示自己总结的知识框图，相互交流完善知识框图；每个小组选取一名代表，展示本组的知识框图．）
合作交流
探究一：利用勾股定理求边长
已知直角三角形的两边长分别为
3
、
4
，求第三边长的平方．
解：（
1
）当两直角边为
3
和
4
时，第三边长的平方为
25
；
（
2
）当斜边为
4
，一直角边为
3
时，第三边长的平方为
7
．
合作探究
探究二：利用勾股定理求图形面积
1
．求出下列各图中阴影部分的面积．
合作探究
谈谈你的收获
交流小结
1.
课本
《
复习题
》
．
2.
一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形
DEFH
的边长为
2 m
，坡角∠
A
＝
30°
，∠
B
＝
90°
，
BC
＝
6 m
．当正方形
DEFH
运动到什么位置，即当
AE
＝
m
时，有
DC
2
＝
AE
2
＋
BC
2
．
课后作业
第一章 勾股定理
2
一定是直角三角形吗
一、学习目标 ：
1
.
描述直角三角形全等的判定定理。
2.
应用
HL
定理解决与直角三角形全等有关的问题。
3.
在证明过程中，认识归纳
.
类比
.
转化等数学思想。
二、学习重点：
1
.
描述直角三角形全等的判定定理。
2
.
应用
HL
定理解决与直角三角形全等有关的问
题。
三、学习难点：
应用
HL
定理解决与直角三角形全等有关的问题。
情境提问
问题1 在一个直角三角形中三条边满足什么样
的关系呢？
问题2 如果一个三角形中有两边的平方和
等于第三边的平方，那么这个三角形是否就
是
直角三角形呢？
答：在一个直角三角形中两直角边的平方和
等
于斜边的平方
合作探究
下面有三组数分别是一个三角形的三边长
a
,
b
,
c
:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
回答这样两个问题:
1.这三组数都满足
a
2
+
b
2
=
c
2
吗？
2.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
合作探究
实验结果：
① 5,12,13满足
a
2
+
b
2
=
c
2
,可以构成直角三角形;
② 7,24,25满足
a
2
+
b
2
=
c
2
,可以构成直角三角形;
③ 8,15,17满足
a
2
+
b
2
=
c
2
,可以构成直角三角形.
合作探究
从刚才的分组实验，有什么样的结论发现吗？
如果三角形的三边长
a
,
b
,
c
满足
a
2
+
b
2
=
c
2
,那么这个三角形是
直角
三角形.
猜想
有同学认为测量结果可能有误差,不同意
这个发现.你觉得这个发现正确吗?你能给
出一个更有说服力的理由吗?
议一议
议一议：
理由一：锐角三角形和钝角三角形三
边
不
满足
a
2
+
b
2
=
c
2
.
理由二：
例如以3和4为边构造三角形,随着夹角的
变大
,第三边的长度也
变大
,而根据勾股定理知道：
夹角是直角的时候,第三边长度是5
,
因此,边长为3,4,5的三角形一定是直角三角形.
提问1
同学们还能找出哪些勾股数呢？
合作探究
提问3
到今天为止，你能用哪些方法判断一个
三角形是直角三角形呢？
提问2
今天的结论与前面学习的勾股定理
有哪些异同呢？
如果三角形的三边长
a
,
b
,
c
满足
a
2
+
b
2
=
c
2
,那么这个三角形是
直角
三角形.
满足
a
2
+
b
2
=
c
2
的
三个正整数
,
称为
勾股数
.
例．一个零件的形状如图（
a
）所示，按规定这个零件中∠
A
和∠
DBC
都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图（
b
）所示，这个零件合格吗？
A
B
C
D
A
B
C
D
3
4
5
12
13
(
a
)
(
b
)
解：在△
ABD
中，
AB
2
+
AD
2
=9+16=25=
BD
2
，
所以
△
ABD
是直角三角形，∠
A
是直角。
在△
BCD
中，
BD
2
+
BC
2
=25+144=169=
CD
2
，所以△
BCD
是直角三角形
，∠
DBC
是直角。
因此这个零件符合要求。
巩固提高
1.如图，在正方形
ABCD
中，
AB
=4，
AE
=2，
DF
=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流。
4
1
2
2
4
3
易知:△
ABE
，△
DEF
，△
FCB
均为直角三角形
由勾股定理知
BE
2
=2
2
+4
2
=20，
EF
2
=2
2
+1
2
=5，
BF
2
=3
2
+4
2
=25
∴
BE
2
+
EF
2
=
BF
2
∴ △
BEF
是直角三角形
2．一艘在海上朝正北方向航行的轮船，在航行240海里时方位仪坏了，凭经验，船长指挥船左传90°，继续航行70海里，则距出发地250海里，你能判断船转弯后，是否沿正西方向航行？
解:由题意画出相应的图形
AB
=240海里,
BC
=70海里,
AC=250海里;在△ABC中
AC
2
-
AB
2
=250
2
-240
2
=(250+240)(250-240)
=4900=70
2
=BC
2
即
AB
2
+
BC
2
=
AC
2
∴△
ABC
是Rt△
答:船转弯后,是沿正西方向航行的
。
A
B
C
北
巩固提高
2.如图，哪些是直角三角形，哪些不是，说说你的理由？
①
②
③
④
⑤
⑥
答案：
④⑤是直角三角形
①②③⑥不是直角三角形
谈谈你的收获
小结：
1、如果三角形的三边长
a
，
b
，
c
满足
a
2
+
b
2
=
c
2
，
那么这个三角形是直角三角形。
2.
勾股数：
满足
a
2
+
b
2
=
c
2
的三个
正整数
，
称为
勾股数
.
第一章 勾股定理
3
勾股定理的应用
两点之间
,
线段最短
．
从
二教楼到综合楼怎样走最近？说明理由
．
B
A
在
一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在
B
处，恰好一只在
A
处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从
A
处爬向
B
处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
问题情境
B
A
以
小组为单位
,
研究蚂蚁爬行的最短路线．
合作探究
蚂蚁
A→B
的路线
B
A
A’
d
A
B
A’
A
B
B
A
O
A
B
A
’
B
A
A
’
r
O
h
怎样计算
AB
？
在
Rt
△
A
B
中，利用勾股定理可得
:
侧面展开图
其中
A
是
圆柱体的高
,
B
是底面圆周长的一半
( )
．
若
已知圆柱体高为
12 cm
，底面半径为
3 cm
，
π
取
3
，则
:
B
A
A
’
3
O
12
侧面展开图
12
3
π
A
A
’
B
用所学数学知识去解决实际问题
的
关键
：
根据
实际问题建立数学模型
；
具体步骤
：
1.
审题
——
分析实际问题；
2
.
建模
——
建立相应的数学模型；
3
.
求解
——
运用勾股定理计算；
4
.
检验
——
是否符合实际问题的真实性．
方法提炼
李
叔叔想要检测雕塑底座正面的
AD
边和
BC
边是否分别垂直于底边
AB
，但他随身只带了卷尺，
（
1
）你能替他想办法完成任务吗？
做一做
所以
AD
和
AB
垂直．
做一做
（
2
）李叔叔量得
AD
长是
30 cm
，
AB
长是
40 cm
，
BD
长是
50 cm
，
AD
边垂直于
AB
边吗？为什么？
解：
AD²+AB²=900+1600=2500
BD²=2500
所以
AD²+AB²=BD²
所以三角形
ABD
是直角三角形
（
3
）小明随身只有一个长度为
20 cm
的刻度尺，他能有办法检验
AD
边是否垂直于
AB
边吗？
BC
边与
AB
边呢？
做一做
小试牛刀
1
．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，
某日早晨
8
：
00
甲先出发，他以
6 km/h
的速度向正东行走
，
1
小时后乙出发，他以
5 km/h
的速度向
正北走
．
上午
10
：
00
，甲、乙两人相距多远？
小试牛刀
解
:
如图
:
已知
A
是甲、乙的出发点，
10:00
甲到达
B
点
,
乙到达
C
点
．
则：
AB=2×6=12(km)
AC=1×5=5(km)
在
Rt△ABC
中
AB²+AC²=144+25=169
∴BC=13(km)
．
即甲乙两人相距
13 km.
2
．如图，台阶
A
处的蚂蚁要爬到
B
处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离
．
小试牛刀
解
:
答：沿
AB
走最近，最近距离为
25
．
3
．有一个高为
1.5 m
，半径是
1 m
的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为
0.5 m
，问这根铁棒有多长？
小试牛刀
你能画出示意图吗
?
解
:
设伸入油桶中的长度为
x
m
,
则最长时
:
最短时
:
∴
最长是
2.5+0.5=3(m)
．
答
:
这根铁棒的长应在
2
～
3m
之间．
∴
最短是
1.5+0.5=2(m)
．
小试牛刀
1
．如图，在棱长为
10 cm
的正方体的一个顶点
A
处有一只蚂蚁，现要向顶点
B
处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是
1cm/s
，且速度保持不变，问蚂蚁能否在
20 s
内从
A
爬到
B
？
B
食物
A
举一反三
B
A
B
两条线路
,
看明白了吗
?
举一反三
1
．如图，在棱长为
10 cm
的正方体的一个顶点
A
处有一只蚂蚁，现要向顶点
B
处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是
1cm/s
，且速度保持不变，问蚂蚁能否在
20 s
内从
A
爬到
B
？
中国古代人民的聪明才智真是令人赞叹
!
2
．在我国古代数学著作
《
九章算术
》
中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为
10
尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面
1
尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
举一反三
设水池的水深
AC
为
x
尺，则这根芦苇长为
AD=AB=
（
x
+1
）尺，
在直角三角形
ABC
中，
BC=5
尺
由勾股定理得
:BC
2
+AC
2
=AB
2
即
5
2
+
x
2
=(
x
+1)
2
25+
x
2
=
x
2
+2
x
+1
，
2
x
=24
，
∴
x
=
12
，
x
+1=13
．
答：水池的水深
12
尺，这根芦苇长
13
尺．
举一反三
解：
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