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考点 14 不等式选讲 一、解答题 1.(2021·河南高三月考(理))已知    | | | 2|f x x a x x x a     . (1)当   1a  时,求不等式   0f x  的解集 M ; (2)对实数 ,m n M ,证明 2 2 81 1 m n n m    . 【答案】(1)  | 1M x x  ;(2)证明见解析. 【分析】(1)当   1a  时,    | 1| | 2| 1f x x x x x     , 当 1x  时,    22 1 0f x x    ,不满足; 当1 2x  时,         1 2 1 2 1 0f x x x x x x        , 当 2x  时,          1 2 1 2 1 1 0f x x x x x x x         , 满足    0f x  , 所以不等式   0f x  的解集  | 1M x x  . (2)证明: ,m n M ,  1 0m   , 1 0n   ,   2 4 1 41 m n mn     ①,   2 4 1 41 n m nm    ②, 当且仅当  22 4 1m n  ,  22 4 1n m  , 即 2m n  时取等号, ①②两不等式相加得 2 2 81 1 m n n m    , 2 2 81 1 m n n m     . 2.(2021·全国高三专题练习(文))已知关于 x 的不等式 2 1x m x   . (1)当 4m  时,求此不等式的解集; (2)若对任意的 1[ ]2x   , ,不等式 2 1x m x   恒成立,求实数 m 的取值范围. 【答案】(1) 3x x  或 5 3x   ;(2) 2m m  或 5m  . 【分析】(1) 4m  时原式化为 2 4 1 0x x    , ①当 2x  时, 2 4 1 0x x    , 3x  , ②当 2x  时, 2 4 1 0x x     ,则 3 5 0x   ,∴ 5 3x  , 综上原不等式的解集 3x x  或 5 3x   ; (2)依题意 2 1x m x   在[ 1 2] , 上恒成立, 即 | 2 |y x m  的图像恒在直线 1y x  的上方, 如图 又 1y x  过点 2,1 , 所以只需 12 m  或 2y m x  在 2x  时的函数值大于等于 1, 即 2m  或 5m  , 实数 m 的取值范围为 2m m  或 5m  . 3.(2021·全国高三月考(文))已知函数   3 2f x ax a x    的图像关于原点对称. (1)求不等式   2f x x  的解集; (2)若关于 x 的不等式   2 9 4f x mx  恒成立,求实数 m 的取值范围. 【答案】(1){ 8x x   或1 4}x  ;(2) 1, . 【分析】(1)依题意,函数  f x 为奇函数,故  0 3 2 0f a   ,解得 3 2a   , 当 3 2a   时,   3 33 32 2f x x x    ,    f x f x   ,经验证,满足条件,故 3 2a   成立, 故   2f x x  等价于  3 33 3 22 2x x x      ; 当 2x   时,  式化为 3 33 3 22 2x x x      .解得 8x   ,故 8x   ; 当 2 2x   时,  式化为 3 33 3 22 2x x x     ,解得 1x  ,故1 2x  ; 当 2x  时,  式化为 3 33 3 22 2x x x     ,解得 4x  ,故 2 4x  ; 故不等式的解集为{ 8x x   或1 4}x  ; (2)作出函数  f x 的图像如图所示;因为 2 9 4y mx  的图像过定点 90, 4      ,故 0m  不合题意,舍去; 当 0m  时,临界状态为 2 9 4y mx  与直线 3y x 相切(如图); 联立 2 9 ,4 3 , y mx y x      故 2 93 04mx x   ,解得 99 4 04 m     ,故 1m  , 故实数 m 的取值范围为 1, . 4.(2021·全国高三月考(理))已知函数 ( ) | 1| | 2 | ( )f x ax x a a     R . (1)当 2a  时,求不等式 ( ) 4f x  的解集; (2)当 1a  时,若关于 x 的不等式    5 24f x mn m n   对 xR 恒成立,且 m , n 均为正实数,求 2m n 的取值范围. 【答案】(1) 79 3x x       ;(2)[12, ) . 【分析】(1)当 2a  时,函数 ( ) | 2 1| | 4 |f x x x    , 即不等式为| 2 1| | 4 | 4x x    .当 1 2x   时,不等式化为 5 4x   , 解得 19 2x    ;当 1 42 x   时,不等式化为3 3 4x   ,解得 1 7 2 3x   ; 当 4x  时,不等式化为 5 4x   ,解得 x .综上所述,得原不等式的解集为 79 3x x       . (2)当 1a  时, ( ) | 1| | 2 |f x x x    | ( 1) ( 2) | 3x x     (当且仅当 2x  时取等号). 要使不等式 5( ) ( 2 )4f x mn m n   对 xR 恒成立,等价于 max 5( ) ( 2 )4f x mn m n   ; 而 max( ) 3f x  ,只需 5 ( 2 ) 34mn m n   成立. 又 , 0m n  , 21 1 222 2 2 m nmn m n        2( 2 ) 8 m n (当且仅当 2m n 时取等号); 由 2( 2 ) 5 ( 2 )8 4 m n m n   5 ( 2 ) 34mn m n    ,得 2( 2 ) 5 ( 2 ) 38 4 m n m n    , 即 2( 2 ) 10( 2 ) 24 0m n m n     ,解得 2 12m n  ,或 2 2m n   (舍去). 故 2m n 的取值范围为[12, ) . 5.(2021·全国高三其他模拟(文))已知函数 ( ) | 1| | 2 4 |f x x x    . (1)求不等式   6f x  的解集; (2)若存在 xR ,使不等式 2( ) 3| 2 | 2f x x t t    成立,求 t 的取值范围. 【答案】(1) 1,3 ;(2) 1,3 . 【分析】(1) | 1| | 2 4| 6x x    , 1 ( 1) (2 4) 6 x x x       或 1 2 ( 1) (2 4) 6 x x x         或 2 ( 1) (2 4) 6 x x x       解得 1 1 x x      或 1 2 1 x x       或 2 3 x x    1x   或 1 2x   或 2 3x  1 3x   原不等式的解集为 1,3 (2)令 ( ) ( ) 3 2 1 | 2|h x f x x x x       则 3, 1 ( ) 2 1, 1 2 3, 2 x h x x x x           max( ) 3h x  ,  存在 xR ,使得 2( ) 3| 2 | 2f x x t t    成立, 23 2t t   , 1 3t   故满足条件的 t 的取值范围为 1,3 6.(2021·吉林白山市·高三月考(理))已知函数 ( ) | 2| | 1|f x x a x    . (1)当 1a  时,求不等式  f x x 的解集; (2)当 2a  时,若关于 x 的不等式 ( ) 1f x m  恰有 2 个整数解,求实数 m 的取值范围. 【答案】(1) 1 ,3      ;(2) 0,1 . 【分析】(1)由已知不等式| 2| | 1|x x x    ,得| 2| | 1|x x x    当 2x  时,不等式为 2 1x x x    ,解得 3x   ,所以 2x  ; 当 1 2x   时,不等式为 2 1x x x    ,解得 1 3x  ,所以 1 23 x  ; 当 1x   时,不等式为 2 1x x x    ,解得 3x  ,此时无解. 综上,原不等式的解集为 1 ,3      . (2)由题意,函数 ( ) | 2| 2| 1|f x x x    ,可得 4, 1 ( ) 3 , 1 2 4, 2 x x f x x x x x            , ( )f x 的图象如图: ( 3) 1f   , ( 2) 2f   , ( 1) 3f   , (0) 0f  , 因为关于 x 的不等式 ( ) 1f x m  恰有 2 个整数解, 由图可知,1 1 2m   ,所以 0 1m  , 故 m 的取值范围为 0,1 . 查看更多

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