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考点 06 不等式
一、单选题
1．（2021·全国高三专题练习（理））等差数列{ }na 满足 0na ，且 3 4 5 6 8a a a a ，则 2 7a a 的最大值
为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【分析】等差数列{ }na 满足 0na ，则 3 4 5 6 2 72( ) 8a a a a a a ，所以 2 7 4a a ，
所以 2 7 2 74 2a a a a ，所以 2 7 4a a ，当 2 7 2a a 时等号成立．
故选：A．
2．（2021·湖南衡阳市·高三一模）设 2log 3a ， 2
4log 3b ，则
2
a b ， ab ， b
a
的大小关系为（ ）
A．
2
a b bab a
B．
2
a b b aba
C．
2
a b bab a
D．
2
b a bab a
【答案】C
【分析】易知： 0, 0a b , 12
a b ， 2
14
a bab
， 1bab aa
，显然成立.
所以
2
a b bab a
．
故选：C．
3．（2021·全国高三专题练习（理））已知 2a b ( a b R、 )，函数 2( ) 2f x ax x b 的值域为[0 ) ， ，
则
2 24
2
a b
a b
的最小值为（ ）
A． 2 B． 2 C． 4 D．8
【答案】A
【分析】当 0a 时， ( ) 2f x x b 为一次函数，值域为 R ，不符合题意；
当 0a 时， 2( ) 2f x ax x b 为二次函数，又值域为[0 ) ， ，则 0a ，
由题意可知 21 4 2 0a b ，得 1
8ab ，则 0b ，
则 2 2 2
1 1
4 ( 2 ) 4 2 2( 2 ) 2 ( 2 ) 22 2 2 2
a b a b ab a b a ba b a b a b a b
，
当且仅当 12 2a b 时等号成立，
故选：A
4．（2021·江苏高三专题练习）已知函数 2 ,1 xf x x e
若正实数 ,m n 满足 ( 9) (2 ) 2f m f n ，则
2 1
m n
的最小值为（ ）
A．8 B． 4 C． 8
3 D． 8
9
【答案】D
【分析】函数 f x 定义域为 R ，令 21 11 xg x f x x e
2 1( ) 11 1
x
x x
eh x e e
， 1
1
1( ) ( )1
x x
x x
e eh x h xe e
易知 y x 和 2( ) 11 xh x e
均奇函数，所以 g x 为奇函数
2
2
1 0
1+
x
x
eg x
e
，所以 g x 在 R 上单调递增
由 9 2 2f m f n 得 9 1 2 1 0f m f n
即 9 2 2g m g n g n ，所以 9 2 0m n ，即 2 9m n
则 2 1 1 2 1 1 4 1 82 2 2 4 49 9 9 9
m nm nm n m n n m
当且仅当 33, 2m n 时，取等号
故选：D
5．（2021·湖南高三月考）设 aR ，则“ 2a ”是“ 2 3 2 0a a ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】解：解不等式 2 3 2 0a a 得1 2a ，
因为 1,2 ,2 ，所以“ 2a ”是“ 2 3 2 0a a ”的必要不充分条件.
故选：B.
6．（2021·全国高三其他模拟）已知函数
2 2 2, 0,( )
ln( 1), 0,
x x xf x
x x
若关于 x 的不等式 1( ) 2f x ax a 在
R 上恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．
1
2e , 2
B．
1
22,e
C．
1
2e , 6
D．
1
2e , 6
【答案】A
【分析】画出函数 ( )f x 的图像如图所示.
1( ) 2f x ax a 在 R 上恒成立即函数 ( )y f x 的图像恒在直线 1
2y ax a 的图像的下方，
且直线 1
2y ax a 过定点 11, 2
，
当直线与 ln( 1)( 0) y x x 相切时，设切点 0 0,ln 1P x x ， 1
1y x
，
可得 0
0 0
1ln 11 2
1 1
x
x x
，解得
1
2
0 e 1x ，则直线斜率为 1
2e
，即 1
2ea ；
当直线与 2 2 2( 0)y x x x 相切时，此时由 21 2 22ax a x x ，
得 2 3( 2) 02x a x a ，令 2( 2) 4 6 0a a ，得 2a 或 2a （舍），
所以由图像可知 1
2e 2a
故选：A
7．（2021·浙江）已知 1,1a 时，不等式 2 4 4 2 0x a x a 恒成立，则 x 的取值范围为
A．(-∞，2)∪(3，+∞) B．(-∞，1)∪(2，+∞)
C．(-∞，1)∪(3，+∞) D．(1，3)
【答案】C
【分析】由题意，因为 1,1a 时，不等式 2 4 4 2 0x a x a 恒成立，
可转化为关于 a 的函数 22 4 4f a x a x x ，
则 0f a 对应任意 1,1a 恒成立，
则满足
2
2
1 5 6 0
1 3 2 0
f x x
f x x
，解得： 1x 或 3x ，
即 x 的取值范围为 ,1 3, .
故选：C
8．（2021·全国高三专题练习）设正实数 , ,x y z 满足 2 23 4 0x xy y z ，则当 z
xy
取得最小值时，
2x y z 的最大值为（ ）
A． 0 B． 9
8 C． 2 D． 9
4
【答案】C
【分析】
2 23 4 4 43 2 3 1,z x xy y x y x y
xy xy y x y x
当且仅当 2x y 时成立，因此
2 2 2 24 6 4 2 ,z y y y y
所以 2 22 4 2 2( 1) 2 2.x y z y y y 1y 时等号成立．
故选：C．
9．（2021·山东高三专题练习）已知函数 2 ( 0xy a a ，且 1a ）的图象恒过定点 A ，若点 A 在椭圆
2 2
1x y
m n
上，则 m n 的最小值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．9
【答案】D 由于函数 1 ( 0
x
y aa
，且 1a ）向右平移两个单位得：
21 ( 0
x
y aa
，且 1a ），即为
函数 2 ( 0xy a a ，且 1a ），所以定点 2,1A ，
由于点 A 在椭圆
2 2
1x y
m n
，所以 4 1 1m n
，且 0, 0m n
所以 4 1 45 5 2 4 9n mm n m n m n m n
，
当且仅当 4n m
m n
，即 6, 3m n 时取等号.
故选：D
10．（2021·山东高三专题练习）下列命题正确的是（ ）
A．“1 10a ”是“ ln ln10a ”的必要不充分条件
B．函数 8( ) 2 ( 3)f x x xx
的最小值为 8
C．若函数 , 5( ) ( 2), 5
x a xf x f x x
（ a 为正实数）满足 ( (2)) 12f f ，则 3a
D．若直线 l 与平面 相交，则平面 内存在直线 m 与直线l 平行
【答案】C
【分析】对于 A，由 ln ln10a ，得 0 10a ，因此，“1 10a ”是“ ln ln10a ”的充分不必要条件，故 A
错误；
对于 B，利用对勾函数性质知，函数 8( ) 2f x x x
在 3, 上是增函数，则 26( ) (3) 3f x f ，故 B 错误；
对于 C，因为 , 5( ) ( 2), 5
x a xf x f x x
， (2) (4) (6) 6f f f a ，又 a 为正实数，所以
( (2)) (6 ) 6 12f f f a a a ，得 3a ，故 C 正确；
对于 D，假设平面 内存在直线 m 与直线l 平行，则 / /l 或 l ，与已知矛盾，故 D 错误；
故选：C.
11．（2021·河南平顶山市·高三二模（理））已知各项均为正数的等比数列 na ， 6a ， 53a ， 7a 成等差数列，
若 na 中存在两项 ma ， na ，使得 14a 为其等比中项，则 1 4
m n
的最小值为（ ）
A．4 B．9 C． 2
3 D． 3
2
【答案】D
【分析】因为 6a ， 53a ， 7a 成等差数列，所以 5 6 72 3a a a ，
又 na 为各项均为正数的等比数列，设首项为 1a ，公比为 q，
所以 4 5 6
1 1 16a q a q a q ，所以 2 6 0q q ，
解得 2q = 或 3q （舍），
又 14a 为 ma ， na 的等比中项，
所以 2
1(4 ) m na a a ，
所以 2 1 1 2 2 4 2
1 1 1 1 116 2 2 2 2m n m na a a a a ，
所以 2 4m n ，即 6m n ，
所以 1 4 1 1 4 1 4 1 4 3( ) 1 4 5 26 6 6 2
m mm nm n m n n m n m
n n
，
当且仅当 4m n
n m
，即 2, 4m n 时，等号成立，
所以 1 4
m n
的最小值为 3
2 .
故选：D
12．（2021·辽宁沈阳市·高三一模）已知随机变量 2~ 1,N ，且 0P P a ，则
1 4 0 x ax a x
的最小值为（ ）
A．9 B． 9
2 C． 4 D． 6
【答案】B
【分析】因为随机变量 2~ 1,N ，且 0P P a ，则 12
a ，可得 2a ，
1 4 1 4 1 1 4 22 2 2 x xx a x x x x x
1 2 4 1 2 4 91 4 5 22 2 2 2 2
x x x x
x x x x
，
当且仅当 2
3x 时，等号成立，所以， 1 4 0 x ax a x
的最小值为 9
2 .
故选：B.
13．（2021·黑龙江校高三期末（理））已知定义在 R 上的函数 1 3y f x 是奇函数，
当 1,x 时， 1 31f x x x
，则不等式 3 ln 1 0f x x 的解集为（ ）
A． 1, B． 1,0 ,e C． 0,1 ,e D． 1,0 1,
【答案】D
【分析】因为函数 1 3y f x 是定义在 R 上的奇函数，
所以函数 f x 的图像关于点 1,3 中心对称，且 1 3f ，
当 1,x 时， 1 0x ，
则 1 1 13 1 2 2 1 2 01 1 1x x xx x x
，当且仅当 2x 时取等号，
故 1 3 01f x x x
，函数 f x 在 1, 上单调递增，
因为函数 f x 的图像关于点 1,3 中心对称，
所以函数 f x 在 R 上单调递增，
不等式 3 ln 1 0f x x 可化为
3 0
ln 1 0
f x
x
或
3 0
ln 1 0
f x
x
，
3 0
ln 1 0
f x
x
，即 1
0
x
x
，解得 1x ，
3 0
ln 1 0
f x
x
，即 1
1 0
x
x
，解得 1 0x ，
故不等式的解集为 1,0 1, ，
故选：D.
14．（2021·全国高三专题练习）如果函数 21 2 8 1 0 02f x m x n x m n ， 在区间 1 22
， 上
单调递减，则 mn 的最大值为
A．16 B．18 C．25 D． 81
2
【答案】B
【详解】
2m 时，抛物线的对称轴为 8
2
nx m
.据题意，当 2m 时， 8 22
n
m
即
2 12m n . 22 6, 182
m nm n mn .由 2m n 且 2 12m n 得 3, 6m n .当 2m 时，抛
物线开口向下，据题意得， 8 1
2 2
n
m
即 2 18m n . 2 812 9,2 2
n mn m mn .由 2n m 且
2 18m n 得 9 2m ，故应舍去.要使得 mn 取得最大值，应有 2 18m n ( 2, 8)m n .所以
(18 2 ) (18 2 8) 8 16mn n n ，所以最大值为 18.选 B..
15．（2021·全国高三其他模拟）已知函数 1 e e2 1
x x
xf x
，若不等式 2 1 2 1f ax f ax 对
x R 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． 0,e B． 0,e C． 0,1 D． 0,1
【答案】D
【分析】 1 e e2 1
x x
xf x Q ，
1 1 1 1e e e e 12 1 2 1 2 1 2 1
x x x x
x x x xf x f x
令 1
2g x f x ，则 0g x g x ，可得 g x 是奇函数，
又 2
1 2 1e e e e e2 1 e2 1
ln 2 ln 2+ +
2
12 2
x
x x x x x
x xx x
x
g x
，
又利用基本不等式知 e 2+ 1
e
x
x 当且仅当 1e e
x
x ，即 0x 时等号成立；
ln 2 ln 2
1 42 22
x
x
当且仅当 12 2
x
x ，即 0x 时等号成立；
故 0g x ，可得 g x 是单调增函数，
由 2 1 2 1f ax f ax 得 2 1 1 11 2 1 22 2 2f ax f ax f ax
，
即 2 1 2 2 1g ax g ax g ax ，即 2 2 1 0ax ax 对 x R 恒成立.
当 0a 时显然成立；当 0a 时，需 2
0
4 4 0
a
a a
，得 0 1a ，
综上可得 0 1a ，
故选：D.
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